Øvingsoppgaver med fasit

Siri setter 100 000 kr på langsiktig sparing. Den årlige rentefoten er på 9 %.

1. Sett opp funksjonsuttrykket f(x) som angir saldoen på sparekontoen og x er antall år.
2. Hvor lang tid tar det før beløpet er på 200 000 kr?
3. Hvor lang tid ville det ha tatt henne å spare opp il 200 000 hvis hun hadde satt inn 50 000? istedet for 100 000 kr?

Hovedindeksen på Oslo Børs var på 505,9 poeng den 18. juni 2007. Veksten siste 12 måneder hadde da vært på 42,1%.

a) Forklar hvorfor man kan finne veksten $p$ i prosent per måned dette året ved å løse likningen ${(1+\frac{p}{100})}^{12}=1,421$. Finn $p$.

b) Anta at denne veksten holder seg stabil det neste året. Hva kan man forvente at hovedindeksen vil være om 4 måneder?

c) Hva omtrent var hovedindeksen for 3 måneder siden?

d) Når passerer indeksen 600 poeng?

Grafer til hvilke funksjoner skjærer y - aksen i (0, 4)?

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=4\cdot {\frac{1}{4}}^x \\ g\left(x\right)=2\cdot 4^x \\ h\left(x\right)=4^x \\ i\left(x\right)=x^4 \end{gathered}$$

Sett opp funksjonsuttrykket til eksponentialfunksjonen g(x) når $g\left(1\right)=2,g\left(2\right)=4,g\left(3\right)=8,g\left(4\right)=16$.

Finn en eksponentialfunksjon som stiger raskere enn $f\left(x\right)=2\cdot {1,2}^x$. Begrunn svaret.

Finn en eksponentialfunksjon som stiger raskere enn $h\left(t\right)=1800\cdot {1,2}^t$. Oppgi svaret uten å tegne grafen til h. Begrunn svaret.

Radiumisotopen ${}^{226}Ra$ har en halveringstid på 1620 år. Anta at du har $m_0$ gram ${}^{226}Ra$ ved tiden $t=0$.

a) Forklar at antall gram ${}^{226}Ra$ du har igjen etter $t$ år er gitt ved $m\left(t\right)=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/1260}$.

b) Når er den opprinnelige mengden $m_0$ med ${}^{226}Ra$ redusert med 20% ?

c) Når er det bare 10% igjen av opprinnelig mengde ${}^{226}Ra$ ?

Populasjonen av maur i en tue, t uker etter oppdagelsen følger eksponentialfunksjonen

$M\left(t\right)=400\cdot {1,12}^t,t\ge 0$.

1. Hvor mange maur var det i maurtuen når den ble oppdaget?
2. Hvor mange maur er det i tuen etter 5 uker og etter 2 måneder?
3. Når vil det være 2000 maur i tuen?

Den amerikanske kjemikeren Willard Libby fikk i 1960 nobelprisen i kjemi for utviklingen av en dateringsmetode basert på radioaktivt henfall av karbonisotopen ¹⁴C.

Grunnlaget for metoden er at alle planter og dyr inneholder en viss mengde ¹⁴C, som stammer fra CO₂ plantene tar opp fra lufta. Så lenge en organisme lever, er det balanse mellom den mengden ¹⁴C som tas opp, og den mengden som brytes ned radioaktivt. Inntaket av ¹⁴C stopper når organismen dør, og mengden ¹⁴C avtar dermed i takt med nedbrytingen. Ved måling av ¹⁴C-aktiviteten i dyre- og planterester, kan følgelig et arkeologisk funn dateres med god nøyaktighet.

Radioaktivitet måles i enheten Bq (bequerel). Tiden det tar før aktiviteten i en gitt mengde radioaktivt materiale halveres, kalles halveringstiden. I levende materiale er aktiviteten 920 Bq per gram rent karbon. Halveringstiden til ¹⁴C er 5730 år.

a) En arkeologisk ekspedisjon finner en trebit de mener stammer fra en gammel bosetning. Forklar at aktiviteten i Bq per gram rent karbon i trebiten etter $t$ år er gitt ved funksjonen

    $A\left(t\right)=920\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/5730}$.

b) Trebiten veier 43 gram, og den inneholder 42% karbon. Aktiviteten er 8240 Bq. Hvor gammel er trebiten? Rund av til nærmeste hele år.

Du har kjøpt deg ny TV til 20 000 kroner.

Vi antar at den synker i verdi med 15 % hvert år. Hvor mye er den verdt etter

1 år, 2 år, 3 år, osv….

Skriv et funksjonsuttrykk som gir verdien f(x) etter x år.

Lag tabell. Tegn grafen.

Hva om x er negativ? Hvordan kan det utnyttes? Hva kan det fortelle oss?