Øvingsoppgaver med fasit

Vi har en rettvinklet, likebeint trekant med kateter lik $x$ og hypotenus lik $h$. Den mellomliggende vinkelen mellom $x$ og $h$, kalles $\angle v$.

a) Vis at $x=\frac{\sqrt{2}}{2}h$.

b) Hvor stor er $\angle v$ ?

c) Finn de eksakte verdiene til $\sin \left(v\right)$ og $\cos \left(v\right)$ ved hjelp av definisjonene av sinus og cosinus.

I en likebeint rettvinklet trekant er katetene 5.4 cm. Regn ut hypotenusen.

 a) Bruk Pytagoras' setning til å vise at $\angle B={90}^o$.

b) Finn de andre vinklene i trekanten.

En bonde har $40$ m netting-gjerde og skal lage en innhegning for noen høns. Han bestemmer seg for å bruke låveveggen som den ene siden av innhegningen. På grunn av vanskelige grunnforhold med mye stein, ønsker han å bruke bare én påle, og dra nettingen rundt denne. Nettingen skal festes i veggen på to steder, og på det ene stedet, må gjerdet danne ${90}^o$ vinkel med låveveggen, se figur.

a) Vis at arealet av innhegningen er gitt ved $A\left(x\right)=2x\sqrt{100-5x}$.

b) Finn største mulige areal grafisk på lommeregneren.

En sirkel med sentrum S har en radius på 5 cm. Et punkt P ligger 13 cm fra S. En tangent til sirkelen går gjennom P. Hvor langt er det fra P til tangeringspunktet?

I en sirkel er periferivinkelen  ($\angle BCA$ ) alltid lik halve sentrumsvinkelen ( $\angle ASB$ ).

a) Forklar hvorfor $\mathrm{\Delta }ABC$ må være rettvinklet.

b) Anta at $BC=a$ og at $AC$ er dobbelt så lang som $BC$. Vis at arealet av halvsirkelen unntatt $\mathrm{\Delta }ABC$ er gitt ved $A=(\frac{5\pi }{8}-1)a^2$.

a) Bruk arealformelen $A=\frac{g\cdot h}{2}$ til å vise at arealet av trekanten er $A=\frac{b\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}}{2}$.

b) Vis at $\sin v=\frac{\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}}{a}$.

c) Vis at arealet av trekanten også er gitt ved $A=\frac{1}{2}a\cdot b\cdot \sin v$.

Regn ut arealet av firkant ABCD der $\angle A={60}^o,\angle B={120}^o$, AB=CD=5 cm og AD = 3cm.

Er en trekant med sider 5, 12 og 13 rettvinklet?