Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1011 2016 Høst

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

DEL 1 uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4OOQ

Tenk deg at du har et spann med $8$ L maling. Du vil helle malingen over i mindre bokser.

I hver boks er det plass til $\frac{2}{3}$ L.

Hvor mange bokser trenger du?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Her skal vi fordele $8$ L maling på mindre malingsspann, da kan vi

Divisjon

Divisjon er en regneart som er den omvendte operasjonen av multiplikasjon.

Eksempel: $6 : 2 = 3$ fordi $2 \cdot 3 = 6$ .

dividere

volumet til det store malingsspannet på volumet til de små malingsspannene.

Det store malingsspannet rommer $8$ L maling som skal fordeles ut på bokser som rommer $\frac{2}{3}$ L. Da må vi dividere $8$ L på $\frac{2}{3}$ L. Når vi dividerer på en brøk, kan vi snu brøken og multiplisere med den snudde brøken. Siden vi dividerer to tall med samme benevning, L, vil disse kansellere hverandre. Da får vi

$8 L : \frac{2}{3} L = 8 : \frac{2}{3} = 8 \cdot \frac{3}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Svar: Vi trenger $12$ bokser.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere eksempler og forklaringer, se artikkelen Divisjon med brøk.

For å øve mer, se oppgavesetet om brøk i Treningsleiren.

Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4OOU

På et kart er en avstand $5, 0$ cm. I virkeligheten er den samme avstanden $1, 5$ km.
Bestem målestokken til kartet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Målestokk

Målestokken angir hva en måleenhet på for eksempel kartet svarer til i terrenget.

Eksempel:
Et kart har målestokken 1 : 25000 (leses: en til tjuefemtusen)

Dette betyr for eksempel at:

-	1 cm på kartet tilsvarer 25000 cm i terrenget (25000 cm = 250 m)
-	1 dm på kartet tilsvarer 25000 dm i terrenget
-	4 cm på kartet er 25000 · 4 cm i terrenget (25000 · 4 cm = 100000 cm = 1000m = 1 km).

Eller mer generelt:
1 bestemt måleenhet på kartet er 25000 slike måleenheter i terrenget.

Målestokk

forteller oss noe om forholdet mellom avstanden på kartet og avstanden i virkeligheten. Hvis et kart har målestokk

1 : 25000

så tilsvarer

1

cm på kartet

25000

cm i virkeligheten.

Vi vet at $5, 0$ cm på kartet er $1, 5$ km i virkeligheten. Vi kan finne hvor langt $1$ cm på kartet er ved å dividere $1, 5$ km på $5$ . En kilometer er $1000$ m, så $1, 5$ kilometer er $1500$ m. Da får vi

$\frac{1, 5 km}{5} = \frac{1500 m}{5} = \frac{15 \cdot 100 m}{5} = 3 \cdot 100 m = 300 m$

Én meter er $100$ cm, så vi må multiplisere svaret med $100$ for å finne ut hvor mange cm dette er i virkeligheten.

$300 \cdot 100 cm = 30000 cm$

1 cm på kartet tilsvarer $30000$ cm i virkeligheten.

Svar: Målestokken er $1 : 30000$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

Målestokk

Målestokken angir hva en måleenhet på for eksempel kartet svarer til i terrenget.

Eksempel:
Et kart har målestokken 1 : 25000 (leses: en til tjuefemtusen)

Dette betyr for eksempel at:

-	1 cm på kartet tilsvarer 25000 cm i terrenget (25000 cm = 250 m)
-	1 dm på kartet tilsvarer 25000 dm i terrenget
-	4 cm på kartet er 25000 · 4 cm i terrenget (25000 · 4 cm = 100000 cm = 1000m = 1 km).

Eller mer generelt:
1 bestemt måleenhet på kartet er 25000 slike måleenheter i terrenget.

målestokk

Måltall

Det tallet vi leser av på en linjal, en akse, en vekt eller liknende, kaller vi et måltall.

måletall

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med målestokk, se artikkelen Målestokk.

For flere eksempler og forklaringer om lengdeenheter, se artikkelen Lengdeenheter.

For å øve mer, se oppgavesettet om målestokk i Treningsleieren.

Oppgave 3 (1 poeng) Nettkode: E-4OOW

I en kasse ligger det fotballer og basketballer. Forholdet mellom antall fotballer og antall basketballer er $2 : 5$ . Det ligger $6$ fotballer i kassen.

Hvor mange baller ligger det til sammen i kassen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Siden forholdet mellom antall fotballer og antall basketballer er $2 : 5$ , kan vi dele ballene inn i $7$ grupper med like mange baller i hver gruppe slik at det blir $2$ grupper med fotballer og $5$ med basketballer.

Vi kan løse denne oppgaven som en ligning. Forholdet mellom antall fotballer og basketballer må være $\frac{2}{5}$ . Den ukjente, $x$ , er antall basketballer. Forholdet mellom $6$ fotballer og $x$ basketballer, $\frac{6}{x}$ er likt forholdet $\frac{2}{5}$ . Då får vi ligningen

$\frac{2}{5} = \frac{6}{x}$

$2 x = 6 \cdot 5$

$x = \frac{30}{2} = 15$

Vi har femten basketballer, så tilsammen har vi $6 + 15 = 21$ baller i kassen.

Svar: Vi har $21$ baller i kassen

Mer om:

Denne oppgaven er om

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forhold

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

For flere forklaringer og eksempler, se artiklene Like(verdige) brøker og Løs en førstegradslikning!.

For å øve mer, se oppgavesettet om førstegradslikninger i Treningsleiren.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4OOY

a)

Skriv som prosent

1) $\frac{1}{5}$

2) $\frac{135}{250}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi skal skrive som prosent. Da vil vi prøve å få tallene som en brøk med 100 i

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

nevneren

. I 1) kan multiplisere

5

opp slik at jeg får

100

i nevneren. I 2) har vi

250

i nevneren. I stedet for å dividere slik at vi får

100

i nevner kan vi multiplisere med

4

slik at vi får

1000

i nevner og så kan vi heller dividere etterpå.

Prosent er del av hundre, så for eksempel har vi at $\frac{1}{100} = 1 %$ .

For å få brøkuttrykket på samme form som over kan vi multiplisere teller og nevner med $20$ .

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{20}{100} = 20 %$

I stedet for å dividere teller og nevner, kan vi multiplisere slik at vi får $1000$ i nevner. $250 \cdot 4 = 1000$ .

Vi kan dermed multiplisere teller og nevner med $5$ . Da får vi:

$\frac{135}{250} = \frac{135 \cdot 4}{250 \cdot 4} = \frac{540}{1000} = \frac{54}{100} = 54 %$

Svar: 1) $20 %$ og 2) $54 %$

Mer om:

Denne oppgaven er om prosent og brøk.

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Hva er prosent?.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

b)

I en klasse er $\frac{3}{4}$ av elevene jenter. $20 %$ av jentene spiller håndball.

Ingen av guttene spiller håndball.

Hvor mange prosent av elevene i klassen spiller håndball?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

For å finne ut hvor mange jenter som spiller håndball kan vi multiplisere andelen elever som er jenter, $\frac{3}{4}$ , med andelen jenter som spiller håndball, $20 %$ . $20 %$ er det samme som $\frac{20}{100}$ .

Før vi multipliserer sammen kan vi gjøre $20 %$ om til brøk.

$20 % = \frac{20}{100} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Da får vi

$\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{3}{20}$

Nå kan vi multiplisere med $5$ i teller og nevner slik at vi får $100$ i nevner, og da får vi at

$\frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100} = 15 %$

Svar: $15 %$ av elevene i klassen spiller håndball.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Hva er prosent?.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4OP1

a)

Forklar at kroneverdi og konsumprisindeks er omvendt proporsjonale størrelser.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Her må vi huske at to størrelser er

Omvendt proporsjonal

$a$ og $b$ er omvendt proporsjonale dersom $b = \frac{k}{a}$ (dvs. $a b = k$ ), der $k$ er konstant.

omvendt proposjonale

dersom produktet av to samsvarende tall er det samme, en fast konstant. Vi må også huske at

kroneverdi = \frac{100}{konsumprisindeks}

Konsumprisindeks

Konsumprisindeks (KPI) er en indeks som viser endringer i prisene på varer og tjenester som kjøpes av husholdninger, sammenlignet med et basisår. De varer og tjenester som utgjør det meste av husholdningsbudsjettet, tillegges størst vekt.

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

Konsumprisindeks

og kroneverdi er omvendt proposjonale størrelser dersom

Produkt

Produkt er et resultat av en multiplikasjon.

Eksempel: 2 · 7 = 14

14 er produktet, mens 2 og 7 kalles faktorer.

produktet

av dem er en konstant. Vi har at

$kroneverdi = \frac{100}{Konsumprisindeks}$

Dersom vi multipliserer med $Konsumprisindeks$ på begge sider får vi

$Kroneverdi \cdot Konsumprisindeks = 100$

Produktet av dem er $100$ , en fast konstant, så kroneverdi og konsumprisindeks er omvendt proposjonale størrelser.

Svar: Produktet av kroneverdi og konsumprisindeks er en konstant, og de er derfor omvendt proposjonale.

Mer om:

Denne oppgaven er om konsumprisindeks og

Omvendt proporsjonal

$a$ og $b$ er omvendt proporsjonale dersom $b = \frac{k}{a}$ (dvs. $a b = k$ ), der $k$ er konstant.

omvendt proposjonalitet

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Proposjonalitet.

I Ofte stilte spørsmål forklarer Orakelet hva konsumprisindeks er.

Mer om konsumprisindeks er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om omvendt proposjonale størrelser i Treningsleiren.

b)

Avgjør om påstanden nedenfor er riktig:  

«Dersom konsumprisindeksen i løpet av en periode øker med $20 %$ , vil kroneverdien minke med $20 %$ i den samme perioden.»

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Produktet av kroneverdien og konsumprisindeksen, KPI, skal alltid være lik $100$ .

Kronepris multiplisert med KPI skal alltid være lik $100$ . Dersom konsumprisindeksen øker med $20 %$ vil vektsfaktoren være $1 + \frac{20}{100} = 1, 2$ . Vi skal sjekke om kroneverdien minker med $20 %$ i samme periode, da vil vekstfaktoren til kroneverdien være $1 - \frac{20}{100} = 0, 8$ .

Hvis dette stemmer vil ligningen under stemme:

$\begin{matrix} 0, 8 \cdot kroneverdi \cdot 1, 2 \cdot KPI & = 100 \\ 0, 8 \cdot 1, 2 \cdot kroneverdi \cdot KPI & = 100 \end{matrix}$

Vi vet at kroneverdi $\cdot$ KPI = 100, så nå vi kan regne ut venstre side av likningen og se om den stemmer.

På venstre side har vi da

$0, 8 \cdot 1, 2 \cdot 100 = \frac{8}{10} \cdot \frac{12}{10} \cdot 100 = \frac{96}{100} \cdot 100 = 96$

På høyre side har vi $100$ , så likningen stemmer ikke og påstanden må være gal.

Svar: Påstanden er ikke riktig.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Konsumprisindeks

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeks

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

Omvendt proporsjonal

$a$ og $b$ er omvendt proporsjonale dersom $b = \frac{k}{a}$ (dvs. $a b = k$ ), der $k$ er konstant.

omvendt proporsjonalitet

I Ofte stilte spørsmål forklarer Orakelet hva konsumprisindeks er.

Mer om konsumprisindeks er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om omvendt proposjonale funksjoner i Treningsleiren.

Oppgave 6 (1 poeng) Nettkode: E-4OP6

Et område har form som vist på figuren ovenfor.  Avgjør ved regning om avstanden fra $A$ til $B$ er lengre enn $9, 0 m$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Figuren i oppgaven er en rettvinklet trekant og da kan vi bruke

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras læresetning

. Vi trenger ikke å finne ut nøyaktig hvor lang

A B

er, bare finne ut om den er lengre enn

9, 0 m

Vi kaller den siste vinkelen $C$ , og da har vi en rettvinklet trekant $Δ A B C$ .

$Δ A B C$ har kateter $B C = 6, 0 m$ og $A C = 7, 0 m$ . Pytagoras læresetning sier at i en

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

med

Katet

Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.

kateter

a

b

Hypotenus

Den siden som er motstående til den rette vinkelen i en rettvinklet trekant. De andre to sidene kalles kateter.

hypotenus

c

, har vi at

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Vi kjenner lengden til katetene, og da kan vi bruke Pytagoras læresetning til å regne ut hypotenusen,

A B

. Vi skal sjekke om AB er lengre enn 9,0 m. Vi setter inn lengdene for a og b:

$\begin{matrix} (6, 0 {m)}^{2} + (7, 0 m)^{2} & = A B^{2} \\ 36, 0 m^{2} + 49, 0 m^{2} & = A B^{2} \\ 85, 0 m^{2} & = A B^{2} \end{matrix}$

Da får vi at

$A B = \sqrt{85, 0 m^{2}}$ .

Vi trenger ikke regne ut kvadratroten, men vi må sjekke om $A B$ er lengre enn $9, 0 m$ . Dersom $A B^{2} > (9, 0 m)^{2} = 81, 0 m^{2}$ må $A B$ være lengre enn $9, 0 m$ .

Vi har at $A B^{2} = 85, 0 m^{2}$ . Det betyr at siden må være lengre enn $9, 0 m$ .

Svar: Avstanden fra $A$ til $B$ er lengre enn $9, 0$ m.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Pytagoras læresetning

For flere eksempler og forklaringer, se artikkelen Pytagoras læresetning.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleiren

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4OPC

Et firma som selger settepoteter, har lagt ut prislisten nedenfor.

a)

Vis at mengde og pris er proporsjonale størrelser.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

To størrelser er proposjonale dersom forholdet mellom dem er konstant.

For å sjekke om mengde og pris er proposjonale størrelser må vi sjekke om forholdet er konstant. Dersom $\frac{pris}{mengde} = k$ , der $k$ er en konstant, er det samme for alle, er mengde og pris proposjonale størrelser.

Vi sjekker først for $50 kg$ :

$\frac{350 kr}{50 kg} = \frac{35 kr}{5 kg} = 7 kr/kg$

$100 kg$ :

$\frac{700 kr}{100 kg} = 7 kr/kg$

$250 kg$ :

$\frac{1750 kr}{250 kg} = \frac{175 kr}{25 kg} = 7 kr/kg$

$400 kg$ :

$\frac{2800 kr}{400 kg} = \frac{28 kr}{4 kg} = 7 kr/kg$

Vi kan se at forholdet mellom mengde og pris er den samme for alle.

Svar: Forholdet mellom mengde og pris er det samme for alle, så størrelsene er proposjonale.

Mer om:

Denne oppgaven er om proporsjon.

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Proporsjonalitet.

For å øve mer, se oppgavesettet om proporsjonale funksjoner i Treningsleiren.

b)

Sett opp en formel som viser sammenhengen mellom mengde og pris.  

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Når vi lager en formel som viser sammenhengen kan vi bruke at forholdet er $7 kr/kg$ .

Vi vet at $\frac{pris}{mengde} = 7 kr/kg$ . Vi vil ha en formel som viser sammenhengen mellom mengde og pris, da vil vi ha disse størrelsene på hver sin side av likhetstegnet.

$\frac{pris}{mengde} = 7 kr/kg$

$pris = 7 kr/kg \cdot mengde$

Vi kaller mengden i kg for $x$ , og pris i kroner for $y$ , da har vi at $y kr = 7 \cdot x$

Svar: $y kr = 7 \cdot x$ , der $y kg$ koster $x kr$ .

Mer om:

Dette er en oppgave om

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Regresjon 1 og Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleieren.

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4OPK

En figur er satt sammen av en likebeint trekant, et kvadrat og en halvsirkel.

$A B = 10 cm$ og $B C = 12 cm$ . Se skissen ovenfor. Sett $π \approx 3$ og bestem tilnærmede verdier for

- omkretsen av figuren
- arealet av figuren

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Dette er en sammensatt figur, så vi kan regne ut for de ulike delene for seg, og deretter addere de sammen. Når vi skal finne

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

arealet

til trekanten må vi bruke

Pytagoras læresetning

for å finne høyden.

For å finne

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkretsen

i denne oppgaven må vi addere lengdene

A B

B C

, halvsirkelen fra

C

til

D

D E

A E

.
Vi får oppgitt at

A B = 10 cm

Δ A B E

Likebeint trekant

I en likebeint trekant er to sider like lange og to vinkler like store.

likebeint

, det vil si at

A B

er like lang som

A E

A B = A E = 10 cm

□ B C D E

er et

Kvadrat

En firkant der alle sider er like lange og alle vinkler 90°.

kvadrat

og da må alle sidene være like lange.

B C = C D = D E = E B = 12 cm

Vi skal finne omkretsen til halvsirkelen fra $C$ til $D$ . $C D$ er diameteren til halvsirkelen. For å finne omkretsen, $O$ , til en sirkel bruker vi formelen $O = 2 π r = π d$ der $r$ står for radius og $d$ står for diameter. Vi vil ha omkretsen en halvsirkel, og derfor dividerer vi på $2$ . Diameteren, $C D = 12 cm$ og da kan vi regne ut at omkretsen til halvsirkelen er

$\frac{12 cm \cdot π}{2} \approx \frac{12 cm \cdot 3}{2} = \frac{36 cm}{2} = 18 cm$

Den totale omkretsen finner vi ved å addere disse lengdene sammen

$\begin{matrix} Omkrets & = & AB + BC + halvsirkel CD + DE + AE \\ = & 10 cm + 12 cm + 18 cm + 12 cm + 10 cm \\ = & 62 cm \end{matrix}$

Vi skal finne arealet til den sammensatte figuren og da må vi addere arealet til trekanten, kvadratet og halvsirkel. Vi starter med å finne arealet til hver av dem.
Formelen for arealet til en trekant er $A = \frac{g \cdot h}{2}$ der $g$ er grunnlinjen og $h$ er høyden. På vår figur har vi at grunnlinjen er $B E$ , og høyden er avstanden fra $B E$ til $A$ . For å finne $h$ kan vi bruke Pytagoras læresetning, men den gjelder kun for rettvinklede trekanter.

Vi tegner inn et nytt punkt $F$ , som er midtpunktet på $B E$ , da er $∠ A F B$ er $90^{\circ}$ . For finne høyden i trekanten kan vi bruke Pytagoras læresetning på $Δ A B F$ . Siden $Δ ABE$ er likebeint er $B F$ halvparten av $B E = 12 cm$ , så $B F = 6 cm$

Ved å bruke Pytagoras læresetning får vi at

$\begin{matrix} A F^{2} + B F^{2} & = & A B^{2} \\ A F^{2} + (6 cm)^{2} & = & (10 cm)^{2} \\ A F^{2} & = & (10 cm)^{2} - (6 cm)^{2} \\ A F^{2} & = & 100 {cm}^{2} - 36 {cm}^{2} \\ A F & = & \sqrt{64 {cm}^{2}} \\ A F & = & 8 cm \end{matrix}$

Høyden i $Δ A B E$ er $8 cm$ . Nå har vi lengden til grunnlinjen og høyden og da kan vi regne ut arealet til trekanten.

$A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{12 cm \cdot 8 cm}{2} = \frac{96 {cm}^{2}}{2} = 48 {cm}^{2}$

Arealet til en sirkel er gitt ved formelen $A = π r^{2}$ . Radius i sirkelen er halvparten av diameteren, som er $C D$ .

$r = \frac{C D}{2} = \frac{12 cm}{2} = 6 cm$

Vi har en halvsirkel, så da må vi dele arealet på to. Arealet til halvsirkelen blir da:

$A = \frac{π r^{2}}{2} \approx \frac{3 \cdot (6 cm)^{2}}{2} = \frac{3 \cdot 36 {cm}^{2}}{2} = \frac{108 {cm}^{2}}{2} = 54 {cm}^{2}$

Formelen for arealet til et kvadrat er $A = s^{2}$ der $s$ er lengden til sidene, så $s = 12 cm$ . Arealet til kvadratet er da

$a = s^{2} = (12 cm)^{2} = 144 {cm}^{2}$

Nå kan vi legge sammen disse arealene for å finne det totale arealet.

$Totalt areal \approx 48 {cm}^{2} + 54 {cm}^{2} + 144 {cm}^{2} = 246 {cm}^{2}$

Svar: $Omkrets \approx 62 cm$ og $Areal \approx 246 {cm}^{2}$ .

Mer om:

Dette er en oppgave om

Pytagoras læresetning

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkrets

For flere forklaringer og eksempler se lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om omkrets og areal i Treningsleiren.

Oppgave 9 (3 poeng) Nettkode: E-4OPP

En bedrift produserer en vare. Kostnadene K(x) kroner ved produksjon av x enheter av
varen er gitt ved 

$K (x) = x^{2} + b \cdot x + 20 000$

a)

Bestem $K (0)$ . Hva forteller dette svaret om kostnadene ved produksjonen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi setter inn for $x = 0$ i funksjonen.

Når vi skal bestemme $K (0)$ så setter vi inn $0$ for $x$ i funksjonen og regner ut:

$K (0) = 0^{2} + b \cdot 0 + 20 000 = 0 + 0 + 20 000 = 20 000$

$x$ -en betegner antall enheter av varen vi produserer, så når $x = 0$ forteller det oss at selv om vi ikke produserer noen varer har produksjonen en fast kostnad på $20 000$ , som er uavhengig av antall varer.

Svar: $K (0) = 20 000$ . Det forteller at produksjonen har faste kostnader på $20 000$ kr.

Mer om:

Dette er en oppgave om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikninger

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstanter

For flere forklaringer og eksempler på andregradsfunksjoner, se artikkelen Andregradsfunksjoner.

For å øve mer, se oppgavesettet om andregradlikninger i Treningsleiren.

b)

Det koster $30 000$ kroner å produsere $50$ enheter

Bestem $b$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan løse ligningen $K (50) = 30 000$ der $b$ er vår ukjente.

Det koster $30 000 kr$ å produserer $50$ enheter. Vi skal finne b i funksjonen. Da kan vi løse ligningen $K (50) = 30 000$ . Dette er fordi vi har fått oppgitt at vi produserer $50$ enheter, altså er $x = 50$ , og at dette skal koste $30 000$ kr.

Da kan vi sette inn for $x = 50$ i ligningen:

$K (50) = 50^{2} + b \cdot 50 + 20000 = 30000$

Vi vil finne ut hva $b$ skal være og da løser vi ligningen slik at vi får $b$ alene:

$\begin{matrix} 50^{2} + b \cdot 50 + 20000 & = & 30000 \\ 50 \cdot 50 + 50 \cdot b + 20000 & = & 30000 \\ 2500 + 50 \cdot b + 20000 & = & 30000 \\ 50 \cdot b & = & 30000 - 2500 - 20000 \\ 50 \cdot b & = & 7500 \\ b & = & \frac{7500}{50} \\ b & = & 150 \end{matrix}$

Svar: $b = 150$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikninger

For flere forklaringer og eksempler på lineære funksjoner, se artikkelen Andregradsfunksjoner.

For å øve mer, se oppgavesettet om andregradslikninger i Treningsleiren.

Oppgave 10 (3 poeng) Nettkode: E-4OQC

I en eske er det fire blå og fire røde nisser. Tenk deg at du skal ta tre nisser tilfeldig fra esken. Du skal ta én nisse av gangen, og du skal sette dem på en rekke fra venstre mot høyre.

a)

Bestem sannsynligheten for at rekken vil bli som vist på bildet nedenfor.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

For å finne

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

sannsynligheten

kan vi kan bruke

Produktsetningen

Produktsetningen sier at $P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$ , hvor $P (A | B)$ er den sannsynligheten for at A inntreffer gitt B.

produktsetningen

Det er fire blå og fire røde nisser, totalt åtte nisser. Vi skal trekke en tilfeldig nisse fra esken. Sannsynligheten for at vi trekker en blå nisse på første trekk er :

$P (blå på første) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Vi antar nå at vi trakk en blå nisse første gang. Nå har vi $7$ nisser igjen, og $4$ av disse er rød. Sannsynligheten for å trekke en rød nisse andre gang er da:

$P (Rød på andre) = \frac{4}{7}$

Når vi skal trekke tredje gang vil det være $6$ nisser igjen, hvor $3$ er rød. Sannsynligheten for at vi trekker en rød nisse tredje gang er

$P (Rød på tredje) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Sannsynligheten for at vi trekker først en blå nisse, og deretter to røde, er sannsynligheten for at de tre hendelsene over har skjedd, og da kan vi bruke produktregelen som sier at:

$P (en blå nisse, deretter to røde) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{4}{4 \cdot 7} = \frac{1}{7}$

Svar: Det er $\frac{1}{7}$ sannsynlighet at vi trekker rekkefølgen som bildet viser.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Uten tilbakelegging

Dersom vi ikke legger tilbake den første gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at et forsøk er gjort uten tilbakelegging.

Eksempel: Lottotrekning.

uten tilbakelegging

og produktsetningen.

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med sannsynlighet, se artiklene Hvordan finner vi uniform sannsynligheten? og Betinget sannsynlighet og produktsetningen.

For å øve mer, se oppgavesettet om produktsetningen i Treningsleiren.

b)

Bestem sannsynligheten for at det vil bli én blå og to røde nisser i rekken.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Det finnes flere mulige måter å trekke én blå og to røde nisser på. Vi kan finne sannsynligheten for alle, og addere de sammen.

Vi kan trekke én blå og to røde nisser på ulike måter. Vi kan enten ha:

$B R R$ : først en blå og deretter to røde.
$R B R$ : først en rød, deretter en blå, og en rød til sist.
$R R B$ : først to røde og en blå til sist.

Vi må regne ut sannsynligheten for disse tre hendelsene og addere de sammen for å få sannsynligheten for å få én blå og to rød nisser. Fra deloppgave a) så vet vi at $P (B R R) = \frac{1}{7}$ .

Vi regner ut sannsynligheten for $R B R$ . Når vi skal trekke første gang har vi $8$ nisser i esken, hvor $4$ av dem er røde.

Sannsynligheten for at vi trekker en rød er da

$P (R) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Nå har vi $7$ nisser igjen, hvorav $4$ er blå. Sannsynligheten for at neste nisse vil være blå er $P (B) = \frac{4}{7}$

Før siste trekk har vi igjen $6$ nisser, og $3$ av disse er rød. Da er sannsynligheten at den siste vil være rød

$P (R) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Dermed har vi at

$P (R B R) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{1}{7}$

Vi kan regne ut $P (R R B)$ på tilsvarende måte. Da får vi

$P (R R B) = \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 4}{8 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{1}{7}$

Totalt får vi da at

$P (Én blå og to røde nisser) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$

Svar: Sannsynligheten for en blå nisse og to røde nisser er $\frac{3}{7}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Ordnede utvalg

Når vi trekker objekter fra en samling og rekkefølgen vi trekker i er viktig, kalles dette for et ordnet utvalg.

ordnede utvalg

Addisjonssetningen

Sannsynligheten for unionen av flere hendelser kan regnes ut ved å legge sammen sannsynlighetene for hver enkelt hendelse, og så trekke fra sannsynligheten for alle snitt av hendelsene.

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

addisjonssetningen

For flere forklaringer og eksempler på sannsynlighet med ordnet utvalg, se artikkelen Ordnede utvalg.

For å øve mer, se oppgavesettet om ordnede utvalg med og uten tilbakelegging og addisjonssetningen i Treningsleiren.

c)

Bestem sannsynligheten for at det vil bli minst én blå nisse i rekken.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Hendelsene for at det er minst én blå nisse i rekken er

Komplement

Komplementet til A, betegnet med $A^{c}$ , består av alle elementer som er i utfallsrommet U men ikke i A. Med andre ord, $A^{c} = U ∖ A$ .

komplementær

med at alle nissene er røde.

Hendelsen at vi trekker minst en blå nisse er komplementær med at alle nissene vi trekker er røde. Da har vi at

$P (minst én blå) = 1 - P (alle er røde)$

Sannsynligheten for at vi trekker rød på første trekk er

$P (rød på første trekk) = \frac{4}{8}$

Sannsynligheten for rød på andre trekk er

$P (rød på andre trekk) = \frac{3}{7}$

og sannsynligheten for rød på tredje trekk er

$P (rød på tredje trekk) = \frac{2}{6}$

Sannsynligheten for at alle er rød er

$P (R R R) = \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{8 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{4 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{1}{2 \cdot 7} = \frac{1}{14}$

Sannsynligheten for at vi trekker minst én blå nisse er

$P (minst én blå nisse) = 1 - \frac{1}{14} = \frac{13}{14}$

Svar: Sannsynligheten er $\frac{13}{14}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Uten tilbakelegging

Dersom vi ikke legger tilbake den første gjenstanden før vi trekker neste, sier vi at et forsøk er gjort uten tilbakelegging.

Eksempel: Lottotrekning.

uten tilbakelegging

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Sannsynlighet ved komplementære hendelser.

For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleiren.

Oppgave 11 (4 poeng) Nettkode: E-4OQH

I en fornøyelsespark kan du kjøpe en kopp med $0, 5$ L slush for $90$ kroner. Når du har drukket opp slushen, kan du fylle opp koppen igjen så mange ganger du ønsker. Hver gang du fyller opp koppen, betaler du $15$ kroner.

I den samme parken får du også kjøpt $0, 5$ L slush i et beger. Et beger med slush koster $35$ kroner. Begeret kan bare brukes én gang.

a)

Bestem en lineær funksjon $f$ som viser hvor mye du må betale for å få $x$ beger med slush.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Formen for

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

f (x) = a x + b

Vi skal lage en funksjon som viser hvor mye vi må betale for $x$ beger med slush. Vi vet at en lineær funksjon er på formen $f (x) = a x + b$ , der $a$ er

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

b

er konstantleddet, som forteller hvor grafen krysser

y

-aksen.

x

er være antall beger slush.

Når vi kjøper et beger slush er prisen kun avhengig av hvor mange beger slush vi kjøper, og vi har ingen konstantledd. Da må $b = 0$ .

Stigningstallet viser hvor mye prisen øker når antall beger, x, øker med 1. For hvert beger med slush koster $35$ kr, så når vi kjøper ett ekstra beger med slush, øker prisen med $35$ kr, stigningstallet er da $35$ .

Da får vi at $f (x) = 35 \cdot x$

Svar: $f (x) = 35 \cdot x$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

graf

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleiren.

b)

Bestem en lineær funksjon $g$ som viser hvor mye du må betale for å få $x$ kopper med slush.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi må huske at den første gangen vi kjøper en kopp slush betaler vi en fastpris og vi betaler for et påfyll.

Når vi kjøper det første koppen med slush betaler vi en fast pris og for påfyll første gang.

Vi kan tenke at av de $90$ kronene vi betaler første gang betaler vi $75$ kroner for koppen og $15$ kr for første påfyll. Deretter betaler vi kun $15$ kr for påfyll. Da har vi en fastpris, et konstantledd, på $75$ kr som er uavhengig av antall ganger vi fyller koppen.

$15$ kr er hvor mye vi må betale for hver kopp vi fyller, som gir oss stigningstallet. Da får vi at

$g (x) = 15 \cdot x + 75$

hvor $x$ er antall kopper med slush vi fyller.

Svar: $g (x) = 15 \cdot x + 75$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

Graf

graf

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleiren.

c)

Tegn grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem. Bestem grafisk hvor mange slush du må drikke for at det skal lønne seg å kjøpe koppen.  

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

For å tegne grafen kan det være lurt å lage en verditabell.

Når vi skal tegne grafen er det lurt å finne noen punkter grafen vil gå gjennom. For å finne noen av punktene til grafen kan vi lage en verditabell for hver funksjon. Da velger vi noen $x$ -verdier, som forteller hvor mange slush vi kjøper og vi regner ut hvor mye vi må betale dersom vi kjøper beger og hvor mye vi må betale om vi kjøper kopp. Da bruker vi funksjonene vi fant i deloppgave a) og b).

Antall beger, $x$	$f (x)$	Pris, kr
1	$35 \cdot 1$	35
3	$35 \cdot 3$	105
5	$35 \cdot 5$	175

Antall kopper, $x$	$g (x)$	Pris, kr
1	75 + $15 \cdot 1$	90
3	75 + $15 \cdot 3$	120
5	75 + $15 \cdot 5$	150

Vi setter punktene inn i et koordinatsystem og trekker en linje gjennom dem. I koordinatsystemet under er den blå grafen for kopper med slush, og den grønne er begre med slush.

Det lønner seg å kjøpe koppen når den blå grafen er lavest, altså dersom vi drikker fire eller flere kopper.

Svar: Vi må drikke fire eller flere slush for at det skal lønne seg å kjøpe koppen.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

Verditabell

En tabell med verdier av en variabel, for eksempel $x$ , og tilhørende funksjonsverdier, for eksempel $y$ , kalles for en verditabell.

Verditabellen gir oss oversikt over verdier som hører sammen. Den hjelper oss enten med å finne punkter som ligger på grafen til en funksjon eller funksjonsuttrykket til en graf.

verditabell

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkt

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Grafisk løsning av likninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkt i Treningsleiren.

DEL 2 med hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4OQQ

I morgenrushet inn til en by ble det foretatt automatiske trafikktellinger ved flere bomstasjoner. Tellingene ble foretatt fra klokken 06.00 til klokken 09.00.
Resultatene viser at funksjonen T gitt ved 

$T(x) = {0, 0001 x}^{3} - {0, 03 x}^{2} + 2, 4 x + 25, 0 \leq x \leq 180$

er en god modell for hvor mange biler T(x) som passerer bomstasjonene per minutt x minutter etter klokken 06.00.

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til $T$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi skal se på antall biler som passerer bomstasjonenene per minutt. Vi kan bruke

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

til å tegne

Graf

grafen

til

T

Vi skal bruke graftegner for å tegne grafen. I Skriv inn-boksen i GeoGebra skriver vi inn:

$𝚃 (𝚡) = 0.0001 𝚡^{\land} 3 - 0.03 𝚡^{\land} 2 + 2.4 𝚡 + 25, 0 \leq 𝚡 \leq 180$

For å finne $\leq$ symbolet trykker vi på $α$ til høyre i boksen. Da plotter vi grafen til $T$ , for når $0 \leq x \leq 180$ .

Alternativt kan man skrive i Skriv-inn-feltet:

$𝙵 𝚞 𝚗 𝚔 𝚜 𝚓 𝚘 𝚗 [0.0001 𝚡^{3} - 0.03 𝚡^{2} + 2.4 𝚡 + 25, 0, 180]$

Da skriver man først inn funksjonen, deretter startverdi og sluttverdi. For å endre navn på funksjonen kan man høyreklikke på grafen og velge Gi nytt navn.

Vi drar i aksene ved å trykke på shift-knappen og bruke musepekeren slik at $x$ -aksen viser fra $0$ til $180$ , og $y$ -aksen slik at vi kan se hele grafen. For å sette navn på aksene høyreklikker vi i grafikkfeltet og går inn på innstillinger. Under xakse og yakse kan vi sette navn på aksene.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Graf

grafer

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med grafer, se artikkelen Fra en funksjon til en graf.

Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk fremstilling i Treningsleiren.

b)

Bestem når flest biler passerer bomstasjonene.  
Hvor mange biler passerer bomstasjonene per minutt da?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

For å finne ut når det passerer flest biler kan vi bruke maks i GeoGebra

Vi skal finne ut når det var flest biler som passerte bomstasjonene. Maks-funksjonen i GeoGebra gir oss toppfunktet til grafen. I Skriv inn-feltet skriver vi: Maks[T, 0, 180]. Da finner vi makspunktet til $T$ i intervallet fra $0$ til $180$ . Vi får da opp punkt $A$ på grafen, og i algebrafeltet kan vi se at $A = (55, 28, 82, 89)$ . Den første koordinaten forteller oss når det passerte flest biler, og den andre koordinaten forteller hvor mange biler som passerte på det tidspunktet. $55$ minutter etter $06.00$ , altså $06.55$ passerer det flest biler, og da passerer det omtrent $83$ biler.

Svar: Det passerer flest biler $06.55$ og da passerer omtrent $83$ biler.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Graf

graf

For flere eksempler og forkaringer se artikkelen Topp- og bunnpunkter .

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleieren.

c)

I hvilket tidsrom er det mer enn $70$ biler som passerer bomstasjonene per minutt?  

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan tegne en linje for når antall biler er $70$ og se når grafen til funksjonen i deloppgave a) har større verdier.

Vi bruker GeoGebra. For å finne når det passerer flere enn $70$ biler kan vi skrive inn $f (x) = 70$ , da får vi en linje der $y$ alltid er lik $70$ , altså antall biler som passerer er $70$ . Nå kan vi se når grafen til $T$ har høyere funksjonsverdier enn $f$ . For å finne ut når de to grafene skjærer kan vi bruke funksjonen Skjæring. Vi skriver i Skriv inn-feltet Skjæring[T, f, 0, 180].

Da finner vi at skjæringspunktene til $T$ og $f$ , når $0 \leq x \leq 180$ er $B = (27, 1, 7)$ og $C = (91, 57, 70)$

Fra $27$ minutter etter $06.00$ , klokka $06.27$ og frem til $92$ minutter, $1$ time og $32$ minutter, etter $06.00$ , altså klokka $07.32$ vil det passere mer enn $70$ biler pr. minutt.

Svar: Mellom $06.27$ og $07.32$ vil det passere mer enn $70$ biler pr. minutt.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Graf

grafer

og skjæringspunkt.

For flere forklaringer og eksempler se artikklene Grafisk løsning av likninger og Koordinatsystem.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkt i Treningsleieren.

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4OR5

Gitt figuren ovenfor. $C$ er skjæringspunktet mellom $A D$ og $B E$

$A C = 74, 2$ , $C D = 53$ , $C E = 28$ og $∠ A B C = ∠ D E C = 9 0^{\circ}$ .

a)

Forklar at $Δ A B C$ og $Δ C D E$ er formlike.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

To trekanter er

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlike

dersom de har parvis like vinkler. Dersom to trekanter har to like vinkler, vil den siste også være lik.

Vi skal vise at $Δ A B C$ og $Δ C D E$ er formlike.

Vi får oppgitt at $∠ A B C = ∠ D E C = 90^{\circ}$ .
$∠ B C A$ og $∠ E C D$ er toppvinkler og to toppvinkler er like store.

Altså er $∠ A B C = ∠ D E C$ og $∠ B C A = ∠ E C D$ , og vi har to parvis like vinkler i de to trekantene. Vinkelsummen for trekanter er $180^{\circ}$ , og siden to av vinklene er like i trekantene, må også den siste vinkelen være lik, og trekantene er formlike.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlikhet

Toppvinkler

Når to rette linjer skjærer hverandre, dannes to par like store vinkler. Et slikt par kalles toppvinkler.

toppvinkler

For flere forklaringer og eksempler på formlikhet, se artikkelen Formlikhet og kongruens.

For å øve mer, se oppgavesettet om formlikhet og kongruens i Treningsleiren.

b)

Bestem lengden av $B C$ og lengden av $A B$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Forholdet mellom to samsvarende lengder er konstant.

Vi kan begynne med å finne lengden til $B C$ .
Vi vet at $Δ A B C$ og $Δ C D E$ er formlike. $A B$ og $D E$ , $B C$ og $C E$ , og $A C$ og $C D$ er samsvarende lengder, og forholdet mellom samsvarende lengder er konstant, det vil si at

$\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{C E} = \frac{A C}{C D}$

Vi vet hva lengdene til $A C$ , $C D$ og $C E$ er. For å finne $B C$ kan vi sette inn i ligningen

$\frac{B C}{C E} = \frac{A C}{C D}$

Når vi setter inn at $A C = 74, 2$ , $C D = 53$ og $C E = 28$ får vi

$\begin{matrix} \frac{B C}{28} & = & \frac{74, 2}{53} \\ B C & = & \frac{74, 2}{53} \cdot 28 \\ B C & = & 39, 2 \end{matrix}$

Nå skal vi finne lengden til $A B$ . Vi vet ikke lengden til $D E$ , og da kan vi ikke bruke forholdet mellom de samsvarende sidene for å finne lengden av $A B$ . Men, $Δ A B C$ er en rettvinklet trekant, og da kan vi bruke Pytagoras læresetning. $A C$ er hypotenusen og $A B$ og $B C$ er katetene i trekanten, og da sier Pytagoras læresetning at

$A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$

Vi vil finne $A B$ , og vil ha denne alene på en side av likhetstegnet.

$\begin{matrix} A B^{2} + B C^{2} & = & A C^{2} \\ A B^{2} & = & A C^{2} - B C^{2} \end{matrix}$

Vi vet at $A C = 74, 2$ og $B C = 39, 2$ og da kan vi sette inn for lengdene til disse i ligningen over. Da får vi

$\begin{matrix} A B^{2} & = & 74, 2^{2} - 39, 2^{2} \\ {A B}^{2} & = & 5505, 64 - 1536, 64 \\ \sqrt{A B^{2}} & = & \sqrt{3969} \\ A B & = & 63 \end{matrix}$

Svar: $B C = 39, 2$ og $A B = 63$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlikhet

Pytagoras læresetning

Rett vinkel

En rett vinkel er 90 grader og vi skriver 90°. Vi sier da at vinkelbeina står normalt på hverandre.

rett vinkel

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Formlikhet og kongruens.

For å øve mer, se oppgavesettet om formlikhet og kongruens i Treningsleieren.

c)

Bestem forholdet mellom arealet av $Δ A B C$ og arealet av $Δ C D E$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan bruke formelen for arealet til trekanter og forholdet mellom sidene for å bestemme forholdet mellom arealene.

Formelen for arealet til en trekant er $A = \frac{g h}{2}$ . I $Δ A B C$ er $g = A B$ og $h = B C$ og i $Δ D C E$ er $g = D E$ og $h = C E$ . Forholdet mellom arealene er

$\frac{Arealet til △ A B C}{Arealet til △ D C E} = \frac{\frac{1}{2} A B \cdot B C}{\frac{1}{2} D E \cdot C E}$

Vi kan forkorte $\frac{1}{2}$ over og under brøkstreken, og får

$\frac{Arealet til △ A B C}{Arealet til △ D C E} = \frac{A B}{D E} \cdot \frac{B C}{C E}$

Vi vet ikke hva $D E$ er, men vi vet at forholdet mellom $A B$ og $D E$ er det samme som forholdet mellom $B C$ og $D E$ , hvor vi kjenner begge lengdene og kan regne ut

$\frac{B C}{C E} = \frac{A B}{D E} = \frac{39, 2}{28} = 1, 4$

Da kan vi sette dette inn i ligningen over

$\frac{Arealet til △ A B C}{Arealet til △ D C E} = \frac{A B}{D E} \cdot \frac{B C}{C E} = 1, 4 \cdot 1, 4 = 1, 96$

Alternativ løsning

En annen måte vi kan finne forholdet mellom arealene på er å regne ut arealene for seg, og deretter se på forholdet mellom dem.
Arealet til $Δ A B C$ kan vi regne ut

$Arealet til Δ A B C = \frac{39, 2 \cdot 63}{2} = 1234, 8$

For å finne arealet av $Δ D C E$ må vi regne ut $D E$ . Da kan vi enten bruke Pytagoras læresetning, eller at vi kjenner $A B$ som er den samsvarende siden til $D E$ og forholdet mellom lengdene. Vi begynner med Pytagoras læresetning. Da har vi

$\begin{matrix} D E^{2} + C E^{2} & = & C D^{2} \\ D E^{2} & = & C D^{2} - C E^{2} \\ D E^{2} & = & 53^{2} - 28^{2} \\ D E^{2} & = & 2809 - 784 \\ \sqrt{D E^{2}} & = & \sqrt{2025} \\ D E & = & 45 \end{matrix}$

Vi kan også regne lengden til $D E$ ved å bruke at vi vet forholdet mellom de samsvarende lengdene.

$\begin{matrix} \frac{A B}{D E} & = & \frac{A C}{C D} \\ \frac{63}{D E} & = & \frac{74, 2}{53} \\ 63 & = & D E \cdot \frac{74, 2}{53} \\ D E & = & \frac{63 \cdot 53}{74, 2} \\ D E & = & 45 \end{matrix}$

Nå kan vi regne ut arealet til $Δ D C E$

$Arealet til Δ D C E = \frac{45 \cdot 28}{2} = 630$

Forholdet mellom arealene er

$\frac{Arealet til Δ A B C}{Arealet til Δ D C E} = \frac{1234, 8}{630} = 1, 96$

Svar: Forholdet mellom arealene er $1, 96$ .

Mer om:

Dette er en oppgave om

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlike trekanter

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Formlikhet og kongruens.

For flere eksempler og forklaringer om areal se lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettene om formlikhet og kongruens i Treningsleieren.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4OR9

I 2015 var konsumprisindeksen $139, 8$ . Vilde hadde da en nominell lønn på $520 800$ kroner.

Hva må reallønnen til Vilde være i 2016 dersom hun skal ha samme kjøpekraft som i 2015?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Dersom kjøpekraften skal være den samme må reallønnen være lik for begge årene.

Vi skal finne hva reallønnen til Vilde må være dersom hun skal ha samme kjøpekraft som i 2015. For at kjøpekraften skal være den samme må reallønnen også være den samme for de to årene. Vi kan finne reallønnen ved å regne

$Reallønn = lønn \cdot \frac{100}{KPI}$

I 2015 var lønnen til Vilde $520 800$ kr. Reallønnen til Vilde i 2015 var $\begin{matrix} Reallønn & = & lønn \cdot \frac{100}{KPI} \\ = & 520 800 kr \cdot \frac{100}{139, 8} \\ \approx & 372 532 kr \end{matrix}$

Reallønnen til Vilde må være den samme i 2016, altså $372 532 kr$ .

Svar: Reallønnen til Vilde må være $372 532$ kr i 2016.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Konsumprisindeks

(hentet fra http://snl.no/konsumprisindeks)

konsumprisindeks

Lynkurset om konsumprisindeks er under utarbeidelse og kommer snart.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4ORB

Christoffer har kjøpt ny båt. Båtens verdi er $850 000$ kroner.  Anta at båten vil falle i verdi med $20 %$ det første året og så med $3, 5 %$ per år de neste fem årene.

Hva vil båtens verdi være etter $6$ år?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Hvis noe avtar $p %$ i verdi vil

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktoren

være

1 - \frac{p}{100}

Det første året faller båten $20 %$ i verdi, da vil vekstfaktoren være på

$1 - \frac{20}{100} = 0, 8$

Verdien til båten vil da være på $850 000 kr \cdot 0, 8$ . De neste årene faller båten $3, 5 %$ per år og vekstfaktoren vil da være

$1 - \frac{3, 5}{100} = 0, 965$

Etter to år vi verdien være

$850 000 kr \cdot 0, 8 \cdot 0, 965$

og etter tre år

$850 000 kr \cdot 0, 8 \cdot 0, 965 \cdot 0, 965 = 850 000 kr \cdot 0, 8 \cdot 0, 965^{2}$

Etter seks år vil verdien til båten være

$850 000 kr \cdot 0, 8 \cdot 0, 965^{5} \approx 569 044 kr$

Svar: Båtens verdi vil være omtrent $569 044$ kr.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Potens

En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen $x^{n}$ , som leses x opphøyd i n-te.

Eksempel: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$

potenser

med

Grunntall

En potens består av et grunntall og en eksponent.

Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

grunntall

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponent

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med prosent og potenser, se artiklene Hva er prosent?, Banksparing over flere år og Potenser med samme grunntall.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4ORE

William har en kiste som vist på skissen ovenfor. Kisten er satt sammen av et rett firkantet prisme og en halv sylinder. Prismet har lengde $95$ cm, bredde $41$ cm og høyde $62$ cm. 
Alle mål er utvendige.

a)

William skal male kisten utvendig. $1 L$ maling er nok til 10 $m^{2}$ .

Hvor mye maling trenger han?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi må finne ut hvor stor

Overflate

Med overflate av en tredimensjonal figur, for eksempel et prisme eller en sylinder, menes summen av arealene til alle flatene som den tredimensjonale figuren er satt sammen av.

overflate

kisten har.

Vi må finne ut hvor stor overflate kisten har. Da kan vi regne ut arealet til de ulike flatene for seg, for så å addere dem sammen til slutt. Sidene og bunnen i kisten er

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangler

, og formelen for arealet til et rektangel er

A = l \cdot b

Overflatearealet til langsidene er

$A = 62 cm \cdot 95 cm = 5890 {cm}^{2}$

Vi har to slike flater og til sammen er arealet av dem $2 \cdot 5890 {cm}^{2} = 11780 {cm}^{2}$

En kortsidene har areal

$A = 41 cm \cdot 62 cm = 2542 {cm}^{2}$

Det er også to kortsider så arealet til begge kortsidene er $2 \cdot 2542 {cm}^{2} = 5084 {cm}^{2}$

Overflatearealet til bunnen i kisten vil være $A = 41 cm \cdot 95 cm = 3895 {cm}^{2}$

For å finne overflaten til lokket til kisten, må vi regne de to halvsirklene i sidene og en halv

Sylinder

En sylinder er en tredimensjonal figur. En vanlig sylinder er satt sammen av to identiske sirkler og et rektangel.

sylinder

. Siden vi har to halvsirkler, kan vi regne ut arealet til en sirkel. Formelen for arealet til en sirkel er

A = π \cdot r^{2}

. Radiusen til halvsirklene er

41 cm / 2 = 20, 5 cm

Da får vi at arealet til de to halvsirklene er

$A = π \cdot r^{2} = π \cdot (20, 5 cm)^{2} = 1319, 6 {cm}^{2}$

Overflatearealet til en sylinder er gitt ved $A = 2 π r \cdot h$ . Radiusen er den samme som for halvsirklene vi regnet over, $r = 20, 5 cm$ og høyden til sylinderen er $95$ cm. Vi har en halv sylinder og får da at overflatearealet er halvparten,

$\begin{matrix} A & = & \frac{2 π \cdot r \cdot h}{2} \\ = & π \cdot r \cdot h \\ = & π \cdot 20, 5 cm \cdot 95 cm \\ \approx & 6118, 25 {cm}^{2} \end{matrix}$

Nå har vi funnet arealet til alle flatene på kisten og da finner vi det totale overflatearealet ved å addere dem sammen

$A \approx 11780 {cm}^{2} + 5084 {cm}^{2} + 3895 {cm}^{2} + 1319, 6 {cm}^{2} + 6118, 25 {cm}^{2} = 28196, 85 {cm}^{2}$

Vi kan gjøre dette om til $m^{2}$ for å finne ut hvor mye maling vi trenger.

$1 m^{2} = 1 m \cdot 1 m = 100 cm \cdot 100 cm = 10000 {cm}^{2}$ .

Da får vi at arealet til kisten har overflateareal

$A = \frac{28196, 85}{10000} m^{2} \approx 2, 82 m^{2}$

For ${10 m}^{2}$ trenger vi $1 L$ maling, så for $1 m^{2}$ trenger vi $1 L / 10 = 0, 1 L = 1 dL$ maling. Til hele kisten, som har overflateareal på $2, 82 m^{2}$ trenger vi $2, 82 dL$ maling.

Svar: William trenger $2, 82 dL$ maling.

Mer om

Denne oppgaven er om

Overflate

Med overflate av en tredimensjonal figur, for eksempel et prisme eller en sylinder, menes summen av arealene til alle flatene som den tredimensjonale figuren er satt sammen av.

overflate

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Sylinder

En sylinder er en tredimensjonal figur. En vanlig sylinder er satt sammen av to identiske sirkler og et rektangel.

sylinder

For flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner overflateareal se lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om areal og overflate i Treningsleiren.

b)

Kisten er laget av et materiale som er $1, 5$ cm tykt.

Bestem det innvendige volumet av kisten.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi må subtrahere $1, 5 cm$ fra lengdene for å finne det innvendige

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

For å finne det totale volumet kan vi finne volumet for

Prisme

Et prisme er en tredimensjonal figure satt sammen av parallelle, kongruente mangekanter (som topp og bunnflate) og med sideflater som alle er parallellogrammer.

Har et prisme grunnflate G og høyde h, er volumet lik G · h.

prismet

og lokket for seg, og så addere volumene sammen.

For å finne det innvendige volumet må vi finne lengden og bredden av prismet på innsiden. På lengden og bredden må vi trekke fra $1, 5 cm$ på hver side, totalt $3 cm$ , da får vi

$95 cm - 3 cm = 92 cm$

$41 cm - 3 cm = 38 cm$

Den innvendige høyden vil være $1, 5 cm$ kortere

$62 cm - 1, 5 cm = 60, 5 cm$

Formelen for volumet til et prisme er $V = l \cdot b \cdot h$ , der lengden, $l$ , er $92 cm$ , bredden, $b$ , er $38 cm$ , og høyden, $h$ , er $60, 5 cm$ . Da får vi

$V = l \cdot b \cdot h = 92 cm \cdot 38 cm \cdot 60, 5 cm = 211 508 {cm}^{3}$

Volumet til

Sylinder

En sylinder er en tredimensjonal figur. En vanlig sylinder er satt sammen av to identiske sirkler og et rektangel.

sylinderen

er gitt med formelen

V = π \cdot r^{2} \cdot h

, der høyden,

h

, i sylinderen er det samme som lengden,

l = 92 cm

i prismet.

I deloppgave a) fant vi ut at $r = 20, 5$ cm. Den innvendige radiusen vil være $20, 5 cm - 1, 5 cm = 19 cm$ .

Lokket er en halv sylinder, og vi dividerer derfor volumet på 2. Da kan vi regne at volumet er

$V = \frac{π \cdot r^{2} \cdot h}{2} = \frac{π \cdot (19 cm)^{2} \cdot 92 cm}{2} \approx 52 169 {cm}^{3}$

Det totale volumet er da

$211 508 {cm}^{3} + 52 169 {cm}^{3} = 263 677 {cm}^{3}$

Dette volumet kan vi gjøre om til $m^{3}$ .

$1 m^{3} = 1 m \cdot 1 m \cdot 1 m = 100 cm \cdot 100 cm \cdot 100 cm = 1 000 000 {cm}^{3}$

Da har vi at volumet er

$\frac{263 677}{1 000 000} m^{3} \approx 0, 264 m^{3}$

Svar: Det innvendige volumet er ${0, 264 m}^{3}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Rommål

Rommål er det samme som volum.

Se Volum

rommål

Sylinder

En sylinder er en tredimensjonal figur. En vanlig sylinder er satt sammen av to identiske sirkler og et rektangel.

sylinder

Prisme

prisme

For flere forklaringer og eksempler, se lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om volum i Treningsleiren.

Oppgave 6 (6 poeng) Nettkode: E-4ORI

Vilde har egen bil. I begynnelsen av 2016 prøvde hun å få en oversikt over utgiftene hun ville få i løpet av året.

Hun fant ut at hun måtte betale en årsavgift til staten på $3 135$ kroner. I tillegg antok hun at hun måtte betale $5 250$ kroner i forsikringspremie, $10 000$ kroner for vedlikehold og service, $1 000$ kroner for parkering og $3 000$ kroner i bompenger.

Bilen bruker i gjennomsnitt $0, 6$ L bensin per mil. Vilde regnet med å kjøre $15 000$ km i løpet av 2016, og hun antok at bensinen ville koste $13, 50$ kroner per liter.

a)

Bruk regneark til å sette opp et budsjett for Vildes utgifter ut fra opplysningene ovenfor.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi kan bruke Excel for å sette opp

Budsjett

Budsjett er en oppstilling over forventede inntekter og utgifter over en bestemt periode.

budsjettet

Vi kan begynne med å skrive inn alle opplysninger vi får inn i regnearket, og deretter lage en oversikt over utgiftene for 2016.
For å få utgiftene i budsjettet for 2016 kan vi for årsavgift skrive =B3, og deretter dra den lille grønne boksen nedover slik at den dekker for bompenger.
Utgiftene på drivstoff må vi regne ut. Vilde regner med å kjøre $15000 km$ . Vi får oppgitt at bilen bruker i gjennomsnitt $0, 6 L$ bensin per mil. $1$ mil er det samme som $10 km$ , og for å få kjørelengden i mil regner vi

$15000 km = \frac{15000}{10} mil = 1500 mil$

For å finne hvor mye Vilde antar å ha i drivstoffutgifter må vi multiplisere prisen for bensin per liter med antall liter. Vi får oppgitt at bilen i gjennomsnitt bruker $0, 6$ liter per mil, og vi kan finne antall liter ved å multipliserer $0, 6$ med antall mil. For å finne drivstoffutgiftene skriver vi =B7*0,6*B8. .
For å finne de totale utgiftene skriver vi =SUMMER(E2:E7). Da summerer regnearket rutene fra E2 ned til E7.

Da får vi regnearket under.

Under er det samme regnearket vist, bare at nå viser formlene i stedet for tall.

Svar

Mer om:

Denne oppgaven er om

Budsjett

Budsjett er en oppstilling over forventede inntekter og utgifter over en bestemt periode.

budsjett

og regneark.

Lynkurset om regneark er under utarbeidelse og kommer snart.

b)

Tenk deg at Vilde ved årets slutt har kjørt $14500 km$ , at bensinen kostet $13, 80$ kroner per liter, at forsikringspremien ble på $5510$ kroner, og at vedlikeholdskostnadene ble $3450$ kroner høyere enn hun antok. De andre utgiftene ble som du satte opp i budsjettet i oppgave a).

Utvid regnearket fra oppgave a) slik at det også viser de virkelige utgiftene for Vildes bilhold i 2016.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi må endre de kostnadene som ble annerledes enn antatt.

Vi må lage en ny kolonne for de faktiske utgiftene. En del av utgiftene er de samme som budsjettert, men vi må endre drivstoffutgiftene, forsikringspremien og vedlikeholdskostnadene.
Ny kostnad for forsikringspremien er $5510$ kr. Vedlikeholdskostnadene var på $3450$ kr høyere enn antatt. Da adderer vi $3450$ kr til de antatt $10 000$ kr, dette kan vi gjøre ved å skrive =E4+3450.
Drivstoffutgiftene må vi regne ut på nytt. Bensinen kostet $13, 80$ kr per liter og Vilde kjørte $14 500$ km, som er det samme som $1450$ mil. Antall liter bensin per mil er uendret. For drivstoffutgiftene kan vi da skrive inn 13,80*0,6*1450.
Vi summerer alle utgiftene ved å skrive =SUMMER(H2:H7).

Formlene vi har brukt i regnearket kan vi se under.

Svar

Mer om:

Denne oppgaven er om

Budsjett

Budsjett er en oppstilling over forventede inntekter og utgifter over en bestemt periode.

budsjett

og regneark.

Lynkurset om regneark er under utarbeidelse.

c)

Utvid regnearket fra oppgave a) og b) slik at det også viser hvor mye de virkelige utgiftene avviker fra tallene i budsjettet. Du skal oppgi avvikene i kroner og i prosent.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Her ser vi på avviket mellom det som var budsjettert og de faktiske utgiftene.

Avviket i kroner finner vi ved å subrahere de antatte utgiftene fra de faktiske utgiftene. For å finne avviket på årsavgiftsposten skriver vi =H2-E2. Da tar vi faktiske utgiftene for årsavgift, H2, og subtraherer fra de antatte avgiftene, E2.

Avviket i forsikringspremie vil være H3-E3. Dersom vi drar drar den lille grønne boksen, nede i høyre hjørnet, vil regnearket kopiere formelen, men endre rutene som subtraheres, slik at for avvik i forsikringspremie får vi H3-E3, for vedlikehold blir H4-E4 osv. Vi kan dra boksen slik at rutene til og med Sum utgifter blir markert, og da vil vi få avviket for alle utgiftspostene.

Vi skal nå se på hvor hvor stort avviket i kroner, som vi regnet ut over, var i forhold til de antatte utgiftene. En generell måte på hvordan finne ut hvor stor prosentandel et tall $a$ er av et annet tall, $b$ ,er å se på forholdet mellom de to tallene, tallet $a$ er $\frac{a}{b} \cdot 100 %$ av $b$ .

Dette kan vi bruke for å finne avviksprosentene. Avviksprosenten for årsavgiften finner vi ved å se på forholdet mellom avviket i kroner, K2, dividert på antatte utgifter E2. Avviksprosenten for årsavgiften blir da $\frac{K2}{E2} \cdot 100 %$ . Vi kan igjen dra boksen nede til høyre i ruten, slik at formelen kopieres videre til de neste rutene. Da vil vi få avviksprosenten for alle utgiftene.
Bildet under viser regnearket med formlene som er brukt.

De positive avvikene viser merforbruket, altså hvor mye større avgiftene var enn antatt. Der vi har fått negative avvik, er utgiften mindre enn antatt.

Svar

Mer om:

Denne oppgaven er om budsjett, regneark og

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere forklaringer om prosent se artikkelen Prosent av hva da?.

Lynkurset om regenark er under utarbeidelse.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

Oppgave 7 (5 poeng) Nettkode: E-4OSF

Diagrammet ovenfor er hentet fra rapporten «Utviklingen i norsk kosthold 2015» (Helsedirektoratet).

a)

Omtrent hvor mange prosent mer grønnsaker spiste en person i 2000 sammenliknet med en person i 1970?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Her kan vi lese av grafen for hvor mye grønnsaker en person spiste i 1970 og i 2000, så kan vi finne forskjellen i

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

mellom disse tallene.

Vi skal se på hvor mange prosent mer grønnsaker en person spiste i 2000 sammenlignet med en person i 1970. Vi begynner med å lese av grafen hvor mye grønnsaker som ble spist i 1970. Vi ser på den mørke blå grafen, og kan lese av at i 1970 spiste en person omtrent $40$ kg grønnsaker. I 2000 kan vi lese av grafen at en person spiste $60$ kg grønnsaker.

Økningen i kilo grønnsaker fra 1970 til 2000 er $60 kg - 40 kg = 20 kg$ . Vi skal finne ut hvor stor prosentandel dette er i forhold til kilo grønnsaker i 1970. En generell fremgangsmåte for å finne ut hvor stor prosentandel et tall $a$ er av et annet tall $b$ , er å se på forholdet mellom de to: tallet $a$ er $\frac{a}{b} \cdot 100 %$ av $b$ . I vårt tilfelle får vi at $20$ kg er

$\frac{20}{40} \cdot 100 % = 50 %$

Alternativt kan vi se at

$\frac{20}{40} = \frac{1}{2} = 50 %$

Svar: En person spiste omtrent $50 %$ mer grønnsaker.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Prosent av hva da?.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

b)

Forklar hvordan du kan se av diagrammet at antall kilogram frukt en person i gjennomsnitt spiste per år, økte lineært fra 1954 til 1974.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi må huske hva lineær vekst er.

Når vi har lineær vekst er grafen til funksjonen en rett linje, vi har en

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

. Grafen som viser hvor mange kg frukt en person spiser er rosa. Når vi ser på den rosa grafen kan vi se at den er omtrent en rett linje fra år 1954 til 1974.

Svar: Vi kan si det fordi grafen er en rett linje fra år 1954 til 1974

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleiren.

c)

Antall kilogram frukt en person i gjennomsnitt spiste per år i årene fra 1954 til 1974, kan beskrives med funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = a x + b$

der $x$ er antall år etter 1954.

Bestem tilnærmede verdier for $a$ og $b$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

I funksjonen $f (x) = a x + b$ , er $a$

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

til grafen og

b

er konstantleddet.

Vi skal finne stigningstallet $a$ , og konstantleddet $b$ til $f (x)$ . Funksjonen vår starter i 1954, og konstantleddet forteller oss hvor mange kilo frukt en person spiste i 1954. Ut i fra grafen kan vi lese at en person spiste omtrent $41$ kg frukt i 1954. Konstantleddet vårt, $b = 41$ .

Stigningstallet forteller oss økning i kg frukt per år. I 1974 spist en person omtrent $75$ kg frukt. Økningen fra 1954 til 1974 er på $75 kg - 41 kg = 34 kg$ . Denne økningen skjer over $20$ år, fra 1954-1974. For å finne økningen i kil frukt per år kan vi dividere den totale økningen, $34$ kg, på antall år som er $20$ .

Økningen i kg frukt per år er $\frac{34}{20} = 1, 7$

Stigningstallet $a = 1, 7$ .

Svar: $a = 1, 7$ og $b = 41$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjoner

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleiren.

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4OSN

En idrettsklubb har tre aktiviteter: fotball, håndball og basketball. Noen av medlemmene deltar i én aktivitet, noen i to aktiviteter og noen i alle tre aktivitetene. Idrettsklubben har totalt $250$ medlemmer.

Tabellen nedenfor viser hvor mange medlemmer som deltar i hver aktivitet.

a)

Tegn et venndiagram som vist nedenfor. Gjør beregninger, og sett inn tallene som mangler.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi må huske hvordan venn-diagram fremstiller informasjon.

Vi skal fylle inn i venndiagrammet. Når vi ser på venn-diagrammet ser vi at for håndball mangler vi de medlemmene som spiller både håndball og basketball, men ikke fotball.

Vi vet at det totalt er $90$ medlemmer som spiller håndball og ved å subtrahere det antallet som spiller alle tre idrettene, kun håndball og håndball og fotball kan vi regne ut at antall medlemmer som spille både håndball og basketball er

$90 - 35 - 30 - 10 = 15$

Det er 15 medlemmer som spiller håndball og basketball.

Totalt er det $250$ medlemmer i klubben, av disse er 90 fordelt i venndiagrammet. Da har vi $250 - 90 = 160$ medlemmer som skal fordeles på fotball og basketball.
Det er 200 medlemmer som spiller fotball, og av disse har vi fordelt de som spiller håndball og de som spiller alle tre idrettene. Gjenstående medlemmer som spiller enten kun fotball eller fotball og basketball er

$200 - 35 - 10 = 155$

Gjenstående medlemmer som skal fordeles som spiller basketball er

$40 - 10 - 15 = 15$

Vi har $160$ medlemmer som skal fordeles på de siste plassene, hvor $155$ skal være innenfor fotball og $15$ skal være innenfor basketball. Noen av disse spiller både fotball og basketball, og for at det totalt skal være $160$ medlemmer må $10$ av dem spille begge idrettene. Da har vi at $155 - 10 = 145$ spiller kun fotball, og $15 - 10 = 5$ spiller kun basket.

Svar:

Mer om:

Dette er en oppgave om venn-diagram.

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Venn-diagram og mengdelære.

b)

Vi skal velge et medlem tilfeldig fra klubben.

Bestem sannsynligheten for at vi kommer til å velge et medlem som deltar i alle tre aktivitetene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi kan bruke venn-diagrammet for å finne sannsynligheten.

Vi velger et tilfeldig medlem, og skal finne sannynligheten for at vi velger et medlem som deltar i alle tre aktivitetene. Fra venn-diagrammet kan vi se at

Gunstig utfall

Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.

Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

Se Hendelse

gunstige utfall

, antall medlemmer som deltar i alle tre aktivitetene er

10

. Antall mulige utfall er alle medlemmene i klubben, som er

250

. Sannsynligheten blir

$P (F \cap H \cap B) = \frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{10}{250} = \frac{1}{25} = \frac{4}{100} = 4 %$

Svar: Sannsynligheten er $\frac{1}{25}$ eller $4 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven handler om venn-diagram,

Sannsynlighet

sannsynlighet

Gunstig utfall

Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.

Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.

Se Hendelse

gunstige utfall

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Hvordan finner vi uniform sannsynlighet?.

For å øve mer, se oppgavesettet om uniforme sannsynlighetsmodeller i Treningsleiren.

c)

Anta at vi har valgt et medlem som spiller håndball.

Bestem sannsynligheten for at dette medlemmet også spiller fotball.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan bruke venn-diagrammet til å finne antall gunstige og antall mulige.

Vi har valgt et medlem som spiller håndball og skal bestemme sannsynligheten for at dette medlemmet også spiller fotball. Antall mulige utfall er alle medlemmene som spiller håndball, som er $90$ .

Antall gunstige medlemmer er de som også spiller fotball. Dette inkluderer de medlemmene som spiller håndball og fotball og de medlemmene som spille alle tre idrettene. Antall gunstige medlemmer er $35 + 10 = 45$ .

$P (F | H) = \frac{antall gunstige}{antall mulige} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2} = 50 %$

Svar: Sannsyligheten er $\frac{1}{2}$ eller $50 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om venn-diagram,

Sannsynlighet

sannsynlighet

og uniform sannsynlighet.

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Hvordan finne uniform sannynlighet?.

For å øve mer, se oppgavesettet om uniforme sannsynlighetmodeller i Treningsleiren.

Oppgave 9 (2 poeng) Nettkode: E-4OSV

Noen innbyggere i en bygd vil kjøpe ny trampoline til en lekeplass. De blir enige om å betale like mye hver. Grafen ovenfor viser sammenhengen mellom antall innbyggere som går sammen om å kjøpe trampolinen, og beløpet hver innbygger må betale.

Hvor mye må hver innbygger betale dersom $25$ innbyggere går sammen om å kjøpe trampolinen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Produktet av hvor mange som betaler og hva hver enkelt betaler vil bli prisen på trampolinen, som er konstant, og da har vi en

Omvendt proporsjonal

$a$ og $b$ er omvendt proporsjonale dersom $b = \frac{k}{a}$ (dvs. $a b = k$ ), der $k$ er konstant.

omvendt proposjonal

funksjon.

Får å finne ut hva hver enkelt må betale må vi finne ut hvor mye trampolinen koster i utgangspunktet.

Vi har en omvendt proposjonal funksjon, der produktet av antall innbyggere, og beløpet hver innbygger betaler, skal være lik prisen på trampolinen, altså har vi

$antall innbyggere \cdot beløp = pris$

Vi vil finne beløpet, så da får vi

$beløp = \frac{pris}{antall innbyggere}$

Vi må finne ut hvor mye trampolinen koster i utgangspunktet og dividere denne summen på $25$ , som er antall innbyggere som skal gå sammen om å kjøpe den.
Grafen vi har fått oppgitt viser sammenhengen mellom antall innbyggere som går sammen om å kjøpe trampolinen, og hvor mye de må betale.
Vi kan lese av grafen at når det er $12$ innbyggere som går sammen om å kjøpe trampolinene må de betale $1000$ kr hver. Trampolinen må altså koste

$12 \cdot 1000 kr = 12000 kr$

Dersom det er 25 innbyggere som er med å betale for trampolinen blir beløpet

$\frac{12000 kr}{25} = 480 kr$

Svar: De må betale $480$ kr hver.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Omvendt proporsjonal

$a$ og $b$ er omvendt proporsjonale dersom $b = \frac{k}{a}$ (dvs. $a b = k$ ), der $k$ er konstant.

omvendt proposjonalitet

Graf

graf

Koordinatsystem

Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

koordinatsystem

For flere forklaringer og eksempler se Proposjonalitet.

For å øve mer, se oppgavesettet om omvendt proposjonale funksjoner i Treningsleiren.

MAT1011 2016 Høst

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4OOQ

Løsningsforslag

Divisjon

Brøk

Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4OOU

Løsningsforslag

Målestokk

Brøk

Målestokk

Måltall

Oppgave 3 (1 poeng) Nettkode: E-4OOW

Løsningsforslag

Brøk

Proporsjon

Ligning

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4OOY

a)

Løsningsforslag a)

Nevner

b)

Løsningsforslag b)

Prosent

Brøk

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4OP1

a)

Løsningsforslag a)

Omvendt proporsjonal

Konsumprisindeks

Produkt

Omvendt proporsjonal

b)

Løsningsforslag b)

Konsumprisindeks

Vekstfaktor

Omvendt proporsjonal

Oppgave 6 (1 poeng) Nettkode: E-4OP6

Løsningsforslag

Pytagoras læresetning

Rettvinklet trekant

Katet

Hypotenus

Pytagoras læresetning

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4OPC

a)

Løsningsforslag a)

b)

Løsningsforslag b)

Regresjon

Ligning

Lineære funksjoner

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4OPK

Løsningsforslag

Areal

Pytagoras læresetning

Omkrets

Likebeint trekant

Kvadrat

Pytagoras læresetning

Areal

Omkrets

Oppgave 9 (3 poeng) Nettkode: E-4OPP

a)

Løsningsforslag a)

Funksjon

Andregradslikning

Konstant

b)

Løsningsforslag b)

Funksjon

Andregradslikning

Oppgave 10 (3 poeng) Nettkode: E-4OQC

a)

Løsningsforslag a)

Sannsynlighet

Produktsetningen