Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1015 2015 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 8 oppgaver. Del 2 har 7 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som graftegner og regneark skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
vurderer om svar er rimelige

Andre opplysninger:

Kilder for bilder, tegninger osv.

Bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4CR5

Dag	Temperatur
Mandag	$4^{\circ} C$
Tirsdag	$10^{\circ} C$
Onsdag	$12^{\circ} C$
Torsdag	$5^{\circ} C$
Fredag	$6^{\circ} C$
Lørdag

Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet av noen dager.

Hva må temperaturen være på lørdag dersom medianen av målingene skal bli 7 °C ?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

Medianen

av 6 tall er

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

Gjennomsnittet finner du ved å:
1) summere alle data
2) dele summen på total antall data

Eksempel: Gjennomsnittet av 2, 2, 4, 3 er 2,75 fordi
1) $2 + 2 + 4 + 3 = 11$
2) antall data er 4. $11 : 4 = 2, 75$

gjennomsnittet

av de to midterste (tall 3 og tall 4), hvis vi rangerer tallene i økende (eller synkende) rekkefølge.

Vi setter opp de forskjellige temperaturene i stigende rekkefølge.

$4^{\circ} C - 5^{\circ} C - 6^{\circ} C - 10^{\circ} C - 12^{\circ} C$

Vi skal plassere et tall på denne skalaen slik at

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnittet

av de to midterste er

7^{\circ} C

. Slik som det er nå, er det

6^{\circ} C

som er i midten. Det betyr at vi må finne et tall som står etter

6^{\circ} C

, for å få

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

medianen

opp til

7^{\circ} C

. Vi kan ikke plassere det nye tallet etter

10^{\circ} C

, for da vil

6^{\circ} C

10^{\circ} C

være i midten, og gjennomsnittet av disse er

8^{\circ} C

, ikke

7^{\circ} C

. Derfor skal vi plassere lørdagens temperatur slik:

$4^{\circ} C - 5^{\circ} C - 6^{\circ} C - X - 10^{\circ} C - 12^{\circ} C$

der $X$ er temperaturen på lørdag. Medianen av tallene over er gjennomsnittet av de to midterste tallene, altså $6^{\circ} C$ og $X$ . Hvis medianen skal være $7^{\circ} C$ , må derfor $X$ være lik $8^{\circ} C$ .

Svar: Temperaturen på lørdagen må være $8^{\circ} C$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabell

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

median

Statistikk

Statistikk dreier seg om innsamling og bearbeiding av data eller informasjon. Målet med statistikk er å presentere og gjøre beregninger på datamaterialet slik at det kan gi god og sann informasjon og være grunnlag for vurderinger.

statistikk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Median.

For å øve mer, se oppgavesettet om median i Treningsleiren.

Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4CR7

En vare koster i dag 240 kroner. Prisen er da satt ned med 20 %.

Hvor mye kostet varen før prisen ble satt ned?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Hvis prisen er satt ned $20 %$ til $240$ kroner, så er $240$ kroner $80 %$ av originalprisen.

Vi ser at $240 kr$ er $80 %$ av originalprisen. Med andre ord, vi har at $originalpris \cdot 0, 8 = 240 kr .$ Det betyr at originalprisen må være $\frac{240}{0, 8} = \frac{2 400}{8}$ kroner. Vi vet at $24 = 8 \cdot 3$ , så dette er lik $\frac{24 \cdot 100}{8} = \frac{8 \cdot 3 \cdot 100}{8} = 3 \cdot 100 = 300,$ så originalprisen var $300 kr$ .

Svar: $300 kr$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Regneregeler.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4CR9

Forskere antar at universet er ca. 14 milliarder år gammelt.

a)

Skriv 14 milliarder på standardform.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Én milliard er $1 000 000 000$ . Vi skal skrive det som et

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

Et tall på standardform er på formen $a \cdot 10^{n}$ der $a$ er et tall mellom $1$ og $10$ , og $n$ er et heltall.

Vi har at $1$ millard er $1 000 000 000 = 10^{9}$ , så $14$ milliarder er $14 \cdot 10^{9}$ . Dette er nesten på standardform, bortsett fra at tallet før tierpotensen ikke er mellom $1$ og $10$ . Vi vet at $14 = 1, 4 \cdot 10$ , så

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tallet på standardform

14 \cdot 10^{9} = 1, 4 \cdot 10 \cdot 10^{9} = 1, 4 \cdot 10^{10} .

Svar: $1, 4 \cdot 10^{10}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

standardform

Heltall

Heltall er de tallene vi oftest teller: 0, 1, 2, 3, 4... De hele tallene inkluderer også de negative tallene; -1, -2, -3...

Symbolet for mengden av hele tall er ℤ.

heltall

Potens

En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen $x^{n}$ , som leses x opphøyd i n-te.

Eksempel: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$

potens

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Tall på standardform.

For å øve mer, se oppgavesettet om tall på standardform i Treningsleiren.

b)

I ett år er det ca. 32 millioner sekunder.

Omtrent hvor mange sekunder gammelt er universet? Skriv svaret på standardform.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi må

Multiplikasjon

Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".

Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

multiplisere

alderen til universet med

32

millioner, og sette svaret som

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

Én million er $1 000 000 = 10^{6}$ , så $32$ millioner er $32 \cdot 10^{6}$ . Dette er cirka antall sekunder i året. Universet er cirka $1, 4 \cdot 10^{10}$ år gammelt, og det er $32 \cdot 10^{6} \cdot 1, 4 \cdot 10^{10} = 32 \cdot 1, 4 \cdot 10^{6 + 10}$ sekunder. Vi regner ut $32 \cdot 1, 4$ for hånd.

	3	2	$\cdot$	$1,$	4	=	$4$	$4,$	8
1	2	8
3	2
4	4	8

Vi ser at $44, 8 = 4, 48 \cdot 10$ , så universet er $4, 48 \cdot 10^{6 + 10 + 1} = 4, 48 \cdot 10^{17}$ sekunder gammelt.

Svar: $4, 48 \cdot 10^{17}$ sekunder

Mer om

Denne oppgaven er om

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

standardform

Potens

potens

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Oppsummering av regneregler for potenser og Multiplikasjon av desimaltall.

For å øve mer, se oppgavesettene multiplikasjon og tall på standardform i Treningsleiren.

Visste du at

Her har vi uttrykt et ufattelig stort tall på veldig liten plass. Dette viser styrken til tall på standardform, og hvorfor det er mye brukt i for eksempel astrofysikk.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4CRC

Regn ut

a)

$\frac{3^{2} - 2^{3}}{2^{0} \cdot 4}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi ser en brøk med

Potens

potenser

både i

Teller

Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.

Eksempel: I brøken $\frac{5}{9}$ , er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.

telleren

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

nevneren

. Vi må huske reglene for potensregning.

Vi regner ut

Teller

telleren

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

nevneren

hver for seg til å begynne med. Vi starter med telleren. Her skal vi trekke ledd fra hverandre, og vi har ingen potensregler som sier noe om det. Derfor regner vi ut hver

Potens

potens

for seg, og deretter

Subtraksjon

En regneoperasjonen der vi har et tall og trekker fra et annet.
Regneoperasjonen 14 – 9 = 5 kalles en subtraksjon.
Tallene 14 og 9 kalles ledd, og resultatet kalles differensen.

subtraherer

vi. Vi får at

3^{2} = 3 \cdot 3 = 9

2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

, så telleren er

3^{2} - 2^{3} = 9 - 8 = 1

. I nevneren har vi

2^{0} \cdot 4

; vi vet at

2^{0} = 1

, så nevneren er rett og slett

4

. Dermed får vi at brøken er

\frac{1}{4}

, eller en av de andre nevnt under.

\frac{1}{4} = 0, 25 = 2^{- 2}

Svar: Det blir $\frac{1}{4} = 0, 25 = 2^{- 2}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Potens

potens

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Oppsummering av regneregler for potenser.

For å øve mer, se oppgavesettet om potensregning i Treningsleiren.

b)

$\frac{{(6 a)}^{2} \cdot b^{2}}{9 a \cdot b^{- 2}}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi ser en

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

med

Potens

potenser

Teller

telleren

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

nevneren

. Vi bruker potensreglene, men vi husk at disse gjelder for potenser med samme

Grunntall

En potens består av et grunntall og en eksponent.

Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

grunntall

Vi tar

Teller

telleren

først. Den er

(6 a)^{2} \cdot b^{2}

. Vi vet at

(6 a)^{2} = 6^{2} \cdot a^{2}

, så telleren er

6^{2} \cdot a^{2} \cdot b^{2}

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

Nevneren

kan vi ikke gjøre noe mer med for seg selv. Nå husker vi at vi kan flytte tall opp fra nevneren hvis vi bytter fortegn på

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponenten

. Da får vi

\frac{6^{2} a^{2} b^{2}}{9 a^{1} \cdot b^{- 2}} = \frac{6^{2} \cdot a^{2} \cdot b^{2} \cdot a^{- 1} \cdot b^{2}}{9},

der vi har brukt at

a

er det samme som

a^{1}

. Vi samler sammen det som har samme grunntall.

\frac{6^{2} \cdot a^{2} \cdot b^{2} \cdot a^{- 1} \cdot b^{2}}{9} = \frac{6^{2}}{9} \cdot (a^{2} \cdot a^{- 1}) \cdot (b^{2} \cdot b^{2}) .

Videre kan vi legge sammen eksponentene til potensene med samme grunntall. Da får vi

\frac{6^{2}}{9} \cdot (a^{2 - 1}) \cdot (b^{2 + 2}) = \frac{6^{2}}{9} \cdot a \cdot b^{4} .

Til slutt vil vi forenkle brøken

\frac{6^{2}}{9}

. Vi vet at

6 = 2 \cdot 3

, så

6^{2} = 2^{2} \cdot 3^{2}

. Videre er

9 = 3^{2}

. Dermed får vi

\frac{6^{2}}{9} = \frac{2^{2} \cdot 3^{2}}{3^{2}} = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 3^{- 2} = 2^{2} = 4 .

Vi setter inn dette i uttrykket vårt, og får

4 \cdot a \cdot b^{4} .

Svar: $4 a b^{4}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Potens

potens

med

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponent

Grunntall

En potens består av et grunntall og en eksponent.

Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

grunntall

, og

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Rask gjennomgang av regneregler for potens og røtter og Karoline bruker potensregler.

For å øve mer, se oppgavesettet om potensregning i Treningsleiren.

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4CRF

Antall elever ved en skole har avtatt lineært de siste 10 årene. For 10 år siden var det 1 400 elever ved skolen. Nå er det 1 340 elever ved skolen.

a)

Bestem en modell som viser utviklingen disse 10 årene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi skal lage en

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær

modell. At en funksjon er lineær betyr at den kan skrives på formen

y = a x + b

, eller at grafen dens er en rett linje.

Vi lar $x$ være antall år etter $10$ år siden, og $f (x)$ være antall elever i år $x$ . Det vil for eksempel si at $f (2)$ er antall elever ved skolen for 8 år siden, og $f (10)$ er antall elever i dag. Det vi skal gjøre er å finne en

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

f (x) = a x + b

som passer med dataene vi har fått, altså at

f (0) = 1 400

f (10) = 1 340

. Det første vi gjør er å finne

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddet

til funksjonen. Det er greit å gjøre, for vi har laget modellen vår slik at

f (0) = 1 400

, så konstantleddet vårt er

b = 1 400

. Videre skal vi finne

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

. Antallet elever har sunket med

1 400 - 1 340 = 60

elever på

10

år; det er en vekst på

- 6

elever per år. Nå har vi funnet at stigningstallet til

f

er lik

a = - 6

. Dermed er modellen vår

f (x) = - 6 x + 1 400 .

Svar: Hvis $f (x)$ er antall elever for $10 - x$ år siden, er $f (x) = - 6 x + 1 400$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

Matematisk modell: Betegner at man setter opp matematiske relasjoner mellom størrelser man er interessert i å analysere utviklingen av. Etter at man har laget modellen kan en benytte matematikk for å beregne hvordan fenomenet utvikler seg. Mange matematiske modeller har så kompliserte likninger at de ikke kan løses eksakt og man må da benytte numeriske metoder. Når man har funnet en matematisk løsning må svaret tolkes i forhold til fenomenet en ser på.
Dersom svaret som kom ut av modellen rimelig har man satt opp en brukbar modell? Hvis svaret er urimelig har man satt opp en lite brukbar modell.

matematisk modell

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Å lage en matematisk modell.

For å øve mer, se oppgavesette om lineære funksjoner i Treningsleiren.

b)

De neste årene regner en med at antall elever vil avta med 0,5 % per år.

Bestem en modell som viser hvor mange elever det vil være ved skolen om $x$ år.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Hvis noe avtar med en viss prosentandel hvert år, så kan vi modellere det med en

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Vi kan modellere dette med en

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

g (x) = g (0) \cdot v^{x}

, der

g (x)

er antall elever ved skolen

x

år etter i år, og

v

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktoren

til elevmassen. Vi vet at

g (0)

er antall elever ved skolen i dag, altså

1 340

. Videre minker antall elever med

0, 5 %

hvert år, som gir en vekstfaktor på

100 % - 0, 5 % = 99, 5 % = 0, 995 .

Dermed er modellen vår gitt ved

g (x) = 1 340 \cdot 0, 995^{x} .

Svar: Hvis $g (x)$ er antall elever ved skolen $x$ år etter i år, så er $g (x) = 1 340 \cdot 0, 995^{x}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Eksempel: Antall bakterier i en gryte.

For å øve mer, se oppgavesettet om eksponentialfunksjoner i Treningsleiren.

Oppgave 6 (6 poeng) Nettkode: E-4CRK

Alder	Frekvens
$[20, 30⟩$	10
$[30, 40⟩$	20
$[40, 50⟩$	30
$[50, 70⟩$	40

Tabellen ovenfor viser aldersfordelingen for lærerne ved en skole.

a)

Bestem gjennomsnittsalderen for lærerne ved skolen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi arbeider med gruppert informasjon. Da antar vi at dataene vi har er jevnt fordelt innenfor gruppene.

At vi antar at dataene er jevnt fordelt innenfor gruppene, betyr at for eksempel gjennomsnittalderen av alle som er i intervallet $[20, 30 ⟩$ er $\frac{20 + 30}{2} = 25 .$

Tabellen lister opp aldersgrupper på venstre side, og

Frekvens

Frekvensen er resultatet av å dele det totale antallet ganger en hendelse intereffer i løpet av et bestemt tidsintervall på intervallets lengde.

frekvens

på venstre side. I denne oppgaven betyr frekvensen antallet lærere som er i aldersgruppen på venstre side. Dermed er det

10

lærere som er mellom

20

30

år,

20

lærere som er mellom

30

40

år, og så videre. Vi skal finne gjennomsnittsalderen for lærerne. Siden vi arbeider med gruppert informasjon, antar vi at gjennomsnittsalderen i de forskjellige aldersgruppene er midt i intervallet. Når vi regner

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

er dette det samme som å anta at alle de

10

lærerne i aldersintervallet

[20, 30 ⟩

25

år. Vi finner gjennomsnittsalderen ved å legge sammen aldrene på alle lærerne, og dividere med antall lærere. Vi antar at

10

av lærerene er

25

år,

20

av lærerne er

35

år og så videre. Gjennomsnittet blir dermed

\begin{matrix} \frac{25 \cdot 10 + 35 \cdot 20 + 45 \cdot 30 + 60 \cdot 40}{10 + 20 + 30 + 40} \\ = & \frac{250 + 700 + 1 350 + 2 400}{100} = \frac{4 700}{100} = 47 . \end{matrix}

Svar: Gjennomsnittsalderen er $47$ år.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

Statistikk

statistikk

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabell

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Gjennomsnitt.

For å øve mer, se oppgavesettet om gjennomsnitt i Treningsleieren.

b)

Lag et histogram som viser aldersfordelingen for lærerne.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Her må vi huske på at det siste aldersintervallet er dobbelt så stort som de andre.

Det aller første vi gjør, er å tegne opp et passende

Koordinatsystem

Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

koordinatsystem

. På

x-akse

Den horisontale aksen i et koordinatsystem.
Kalles også førsteakse.

x-aksen

skal det være alder, og på

y-akse

Den loddrette aksen i et koordinatsystem.
Kalles også andreaksen.

y-aksen

har vi høyden på stolpene. (Høyden til stolpene skal være

\frac{frekvens}{klassebredde}

.) Vi må også tilpasse aksene våre. Vi husker at det er

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

arealet

av søylene som gir oss informasjonen i et

Histogram

Et histogram er et søylediagram der hver søyle viser frekvensen innenfor et tallintervall. Hele måleområdet er ofte delt inn i like store intervaller.

histogram

, ikke bare høyden; derfor velger vi aksene som under.

Nå skal vi lage søylene våre. I aldersgruppen $[20, 30 ⟩$ er det $10$ lærere. Det betyr at vi skal lage en søyle som har grunnflate $10$ (fordi det er så stort aldersintervallet er), og den skal ha areal $10$ (fordi det er $10$ lærere i denne aldersgruppen). Da må høyden til søylen være $1$ . Tilsvarende må høyden på søylene til aldersgruppene $[30, 40 ⟩$ og $[40, 50 ⟩$ være henholdsvis $2$ og $3$ . Det siste intervallet, $[50, 70 ⟩$ , er derimot dobbelt så stort som de forrige. Vi skal lage en søyle som har $20$ som grunnflate, og areal $40$ . Da må søylen ha høyde $2$ . Resultatet er vist under.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Koordinatsystem

koordinatsystem

x-akse

Den horisontale aksen i et koordinatsystem.
Kalles også førsteakse.

x-akse

y-akse

Den loddrette aksen i et koordinatsystem.
Kalles også andreaksen.

y-akse

Histogram

Et histogram er et søylediagram der hver søyle viser frekvensen innenfor et tallintervall. Hele måleområdet er ofte delt inn i like store intervaller.

histogram

Statistikk

statistikk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Histogram.

c)

Utvid tabellen med en kolonne som viser relativ frekvens, og en kolonne som viser kumulativ frekvens.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Relativ frekvens

Antall observasjoner av en spesiell hendelse dividert på antall observasjoner.

Eksempel: Dersom du kaster en terning 40 ganger og får 4 seksere, er den relative frekvensen av seksere 4/40 = 0,1.

Relativ frekvens

er hvor ofte denne aldersgruppen dukker opp i dataene, og

Kumulativ frekvens

Den kumulative frekvensen til en verdi i et datamateriale sier hvor stor andel av datamaterialet som har denne verdien eller lavere.

Vi finner den kumulative frekvensen ved å summere alle frekvensene opp til og med den aktuelle verdien.

Eksempel: Se bildet. Her vil den kumulative frekvensen for 2 eller færre kjøpte lunsjer være 6 + 21 + 15 = 42. Det vil si at det er 42 personer som har kjøpt 2 eller færre lunsjer.

kumulativ frekvens

er antallet som er i den gjeldende aldersgruppen eller lavere.

Det aller første vi gjør, er å skrive ned den nye tabellen vi skal fylle ut.

Alder	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
$[20, 30 ⟩$	10
$[30, 40 ⟩$	20
$[40, 50 ⟩$	30
$[50, 70 ⟩$	40

Vi starter med de

Relativ frekvens

Antall observasjoner av en spesiell hendelse dividert på antall observasjoner.

Eksempel: Dersom du kaster en terning 40 ganger og får 4 seksere, er den relative frekvensen av seksere 4/40 = 0,1.

relative frekvensene

. La oss si at vi trekker ut en tilfeldig lærer. Sannsynligheten for at denne læreren er i aldersgruppen

[20, 30 ⟩

, er den relative frekvensen for

[20, 30 ⟩

. Det er

10

personer i gruppen

[20, 30 ⟩

, og det er

10 + 20 + 30 + 40 = 100

lærere, så den relative frekvensen for

[20, 30 ⟩

\frac{10}{100} = \frac{1}{10} = 0, 1

. Tilsvarende er den relative frekvensen for

[30, 40 ⟩

lik

\frac{20}{100} = 0, 2

, og så videre. Vi fyller dette inn i tabellen.

Alder	Frekvens	Relativ frekvens
$[20, 30 ⟩$	10	$0, 1$
$[30, 40 ⟩$	20	$0, 2$
$[40, 50 ⟩$	30	$0, 3$
$[50, 70 ⟩$	40	$0, 4$

Så skal vi regne ut de

Kumulativ frekvens

Den kumulative frekvensen til en verdi i et datamateriale sier hvor stor andel av datamaterialet som har denne verdien eller lavere.

Vi finner den kumulative frekvensen ved å summere alle frekvensene opp til og med den aktuelle verdien.

Eksempel: Se bildet. Her vil den kumulative frekvensen for 2 eller færre kjøpte lunsjer være 6 + 21 + 15 = 42. Det vil si at det er 42 personer som har kjøpt 2 eller færre lunsjer.

kumulative frekvensene

. Kumulativ frekvens for en aldersgruppe, er antall lærere som er i denne aldersgruppen eller som er yngre. Intervallet

[20, 30 ⟩

er den laveste aldersgruppen, og det er

10

i denne gruppen, så den kumulative frekvensen er bare

10

. I aldersgruppen

[30, 40 ⟩

er det

20

lærere, men i tillegg er det

10

lærere som er yngre enn

30

år, så den kumulative frekvensen er

20 + 10 = 30

. Videre er den kumulative frekvensen for

[40, 50 ⟩

lik

30 + 20 + 10 = 60

, og for

[50, 70 ⟩

er den

40 + 30 + 20 + 10 = 100

. Vi fyller dette inn i tabellen. Den utfylte tabellen er vist under.

Svar:

Alder	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
$[20, 30 ⟩$	10	$0, 1$	10
$[30, 40 ⟩$	20	$0, 2$	30
$[40, 50 ⟩$	30	$0, 3$	60
$[50, 70 ⟩$	40	$0, 4$	100

Mer om

Denne oppgaven er om

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabell

Relativ frekvens

Antall observasjoner av en spesiell hendelse dividert på antall observasjoner.

Eksempel: Dersom du kaster en terning 40 ganger og får 4 seksere, er den relative frekvensen av seksere 4/40 = 0,1.

relativ frekvens

Kumulativ frekvens

Den kumulative frekvensen til en verdi i et datamateriale sier hvor stor andel av datamaterialet som har denne verdien eller lavere.

Vi finner den kumulative frekvensen ved å summere alle frekvensene opp til og med den aktuelle verdien.

Eksempel: Se bildet. Her vil den kumulative frekvensen for 2 eller færre kjøpte lunsjer være 6 + 21 + 15 = 42. Det vil si at det er 42 personer som har kjøpt 2 eller færre lunsjer.

kumulativ frekvens

Statistikk

statistikk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Frekvens.

Oppgave 7 (6 poeng) Nettkode: E-4CRR

Karl står på balkongen og kaster en ball opp i lufta. Etter $t$ sekunder er ballen tilnærmet

$h (t)$ meter over bakken, der

$h (t) = - 5 t^{2} + 10 t + 15$

a)

Fyll ut tabellen nedenfor

$t$	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
$h (t)$		18,75		18,75		8,75

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Her skal vi regne ut verdien til

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjonen

h (t)

der

t

0

1

2

, og

3

, og skrive inn disse.

Det første vi gjør er å skrive av tabellen.

$t$	0	$0, 5$	1	$1, 5$	2	$2, 5$	3
$h (t)$		$18, 75$		$18, 75$		$8, 75$

Nå starter vi utfyllingen. Under der $0$ står, skal vi skrive verdien til $h (0)$ . Det gjør vi ved å sette inn $t = 0$ i uttrykket for $h$ . Da får vi $h (0) = - 5 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + 15 = 15 .$ Vi skriver dette inn i tabellen.

$t$	0	$0, 5$	1	$1, 5$	2	$2, 5$	3
$h (t)$	15	$18, 75$		$18, 75$		$8, 75$

Videre skal vi regne ut $f (1)$ , $f (2)$ og $f (3)$ . Det gjør vi på helt tilsvarende måte som over. Vi får $\begin{matrix} f (1) & = - 5 \cdot 1^{2} + 10 \cdot 1 + 15 = - 5 + 10 + 15 = 20, \\ f (2) & = - 5 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 + 15 = - 5 \cdot 4 + 20 + 15 = 15, og \\ f (3) & = - 5 \cdot 3^{2} + 10 \cdot 3 + 15 = - 5 \cdot 9 + 30 + 15 = 0, \end{matrix}$ altså $f (1) = 20$ , $f (2) = 15$ og $f (3) = 0$ . Vi fyller dette inn i tabellen som vist under.

Svar:

$t$	0	$0, 5$	1	$1, 5$	2	$2, 5$	3
$h (t)$	15	$18, 75$	20	$18, 75$	15	$8, 75$	0

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabell

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Fra en funksjon til en graf.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleiren.

b)

Tegn grafen til $h$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Her kan vi tegne inn punktene fra tabellen inn i et

Koordinatsystem

koordinatsystem

, slik at vi ser cirka hvor

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafen

går.

Det første vi gjør er å tegne et

Koordinatsystem

koordinatsystem

. Vi er kun interessert positive

t

-verdier, fordi negative

t

-verdier ikke har noen tilknytning til oppgaven. Vi tegner heller ikke

x-akse

Den horisontale aksen i et koordinatsystem.
Kalles også førsteakse.

x-aksen

for større verdier enn

3

, fordi vi ikke har noen informasjon om grafen der. Videre ser vi at

h (t)

tar verdier mellom

0

20

, så vi tegner

y-akse

Den loddrette aksen i et koordinatsystem.
Kalles også andreaksen.

y-aksen

mellom disse verdiene. Vi må huske å sette navn på aksene.

Nå skal vi tegne inn punktene fra tabellen. Under $0$ i tabellen står det $15$ . Det betyr at $f (0) = 15$ , altså at $(0, 15)$ er et punkt på grafen til $h$ . Vi tegner av en prikk på dette stedet i koordinatsystemet. På tilsvarende måte skal vi tegne av prikker i punktene $(0.5, 18.75)$ , $(1, 20)$ , $(1.5, 18.75)$ og så videre.

Til slutt skal vi tegne grafen som går mellom disse prikkene. Vi prøver å gjøre kurven så jevn som mulig, og tegner derfor ikke rette streker mellom punktene. Resultatet er vist under.

Svar:

Mer om

Denne oppgaven er om

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabell

Punkt

I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A eller B.

punkt

Graf

graf

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Koordinatsystem

koordinatsystem

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Fra en funksjon til en graf.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleiren.

c)

Gi en praktisk tolkning av verdiene av $h (0)$ og $h (3)$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Her må vi bruke teksten, og huske på at $h (t)$ er ballens høyde over bakken etter $t$ sekunder.

Tallet $h (0) = 15$ er hvor høyt ballen var over bakken idet Karl kastet den. Karl stod på en balkong, og dette betyr at balkongen var cirka $15$ meter høy. Videre er $h (3)$ ballens høyde over bakken etter $3$ sekunder; denne høyden er $0$ , og det betyr at ballen har truffet bakken. Med andre ord tok det $3$ sekunder fra ballen ble kastet til den traff bakken.

Svar: Ballens starthøyde, og omtrentlig balkongens høyde, var $h (0) = 15$ meter. Siden $h (3) = 0$ traff ballen bakken $3$ sekunder etter den ble kastet.

Mer om

Denne oppgaven er om

Graf

graf

Koordinatsystem

koordinatsystem

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Hvorfor ser grafen ut som den gjør?.

Oppgave 8 (3 poeng) Nettkode: E-4CRV

Sigurd er 30 km fra hjemmet sitt. Han sykler hjemover med en konstant fart på 12 km/h.

Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom antall timer og antall kilometer han er hjemmefra.

Hvor lang tid tar det før han kommer hjem?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Her er det lurt å tegne en

Graf

graf

, der

Akse

Linje eller linjestykke knyttet til symmetri i geometriske figurer, som kalles symmetriakse. Eller en av linjene som spenner ut et koordinatsystem, for eksempel x-akse og y-akse.

t-aksen

er antall timer Sigurd har syklet og

y-akse

Den loddrette aksen i et koordinatsystem.
Kalles også andreaksen.

y-aksen

er antall kilometer han er hjemmefra.

Vi skal tegne

Graf

grafen

som representerer Sigurds avstand hjemmefra. Vi antar at Sigurd sykler rett hjem, så grafen skal være en rett linje. Derfor trenger vi bare to punkter på grafen. Vi lar

t = 0

når Sigurd starter å sykle hjemover, og da er han

30 km

hjemmefra. Det betyr at

(0, 30)

er et punkt på grafen. Sigurd sykler i en konstant fart på

12 km/t

, så etter

1

time er han

30 km/t - 12 km/t = 18 km/t

hjemmefra. Det betyr at

(1, 18)

er enda et punkt på grafen. Vi tegner punktene inn i et

Koordinatsystem

koordinatsystem

, og finner hele grafen ved å trekke den rette linjen mellom de to punktene.

Vi kan se direkte at likningen til linjen er $f (t) = 30 - 12 t$ , fordi

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddet

30

(Sigurd starter

30 km

hjemmefra) og

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

- 12

(fordi Sigurd sykler i en konstant

Fart

Fart er tilbakelagt distanse per tidsenhet.

Fart måles ofte i km/h, som leses kilometer per time, eller m/s som leses meter per sekund.

Når noe beveger seg veldig raskt, kan det være hensiktsmessig å bruke km/s.

fart

på

12 km/t

hjemover).

Videre skal vi finne ut hvor lang tid det tar før Sigurd kommer hjem. Sigurd er hjemme når han er $0$ kilometer i avstand fra hjemmet sitt, altså der $f (t) = 0$ . På grafen vår ser vi helt tydelig at $f (t) = 0$ der $t = 2, 5$ , altså bruker Sigurd 2 timer og 30 minutter på hjemreisen. Vi kunne også løst dette problemet ved å løse likningen $f (t) = 0$ , altså $- 12 t + 30 = 0 .$ Vi legger til $12 t$ på begge sider og dividerer på $12$ . Da får vi $t = \frac{30}{12} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{5}{2} = 2, 5,$ akkurat som før.

Svar: Sigurd brukte $2$ timer og $30$ minutter på hjemreisen, gitt at han syklet i retningen rett mot hjemmet sitt.

Mer om

Denne oppgaven er om

Koordinatsystem

koordinatsystem

y-akse

Den loddrette aksen i et koordinatsystem.
Kalles også andreaksen.

y-akse

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

Graf

graf

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleiren.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4CRX

Per, Pål og Espen skal låne 3 000 kroner hver. Lånene skal betales tilbake etter seks måneder. De får følgende betingelser:

- Per får tilbud om å betale tilbake 3 450 kroner etter seks måneder.

- Pål får tilbud om en månedlig rente på 2,2 %.

- Espen får tilbud om en månedlig rente på 1,8 % og et etableringsgebyr på 100 kroner.

Gjør beregninger, og avgjør hvem som får det beste tilbudet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Her må vi regne ut hvor mye hvert av lånene koster totalt.

Vi regner ut hvor mye penger man må betale totalt. Det første lånet, altså lånet til Per, koster ganske enkelt $3 450$ kroner. Pål har en månedlig rente på $2, 2 %$ . Etter $6$ måneder, blir det totale beløpet Pål må betale, lik $3 000 kr \cdot 1, 022^{6} \approx 3 418, 43 kr .$ Dette er litt mindre enn det Per måtte betale. Espen betaler $1, 8 %$ i månedlig rente, men med et etableringsgebyr på $100$ kroner. Derfor må Espen betale totalt $3 000 kr \cdot 1, 018^{6} + 100 \approx 3 438, 93 kr .$ Dette er mindre enn Per, men ikke like lite som Pål. Derfor fikk Pål det beste tilbudet.

Svar: Pål fikk det beste tilbudet. (Pål betalte $3 418, 43 kr$ , mens Per og Espen betalte henholdsvis $3 450 kr$ og $3 438, 93 kr$ .)

Mer om

Denne oppgaven er om

Rente

Renter er prisen du betaler for å låne penger, eller det du tjener dersom du låner ut penger.

Se renteformel og rentefot

rente

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Renter.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

Oppgave 2 (4 poeng) Nettkode: E-4CS0

Tabellen nedenfor viser antall kvinnelige studenter i Norge noen utvalgte år.

År	2001	2003	2005	2007	2009	2011	2013
Antall kvinnelige studenter	53553	58237	59562	63292	62957	68391	73332

La $x = 0$ svare til år 2000, $x = 1$ til år 2001, og så videre.

a)

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en lineær modell som viser hvordan antall kvinnelige studenter har utviklet seg i denne perioden.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær

modell er en funksjon

f (x) = a x + b

som passer godt med verdiene vi har. Vi kan lage en lineær modell i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

Først lager vi et regneark med tallene vi har. Dette gjør vi ved å velge «Regneark» i «Vis»-menyen, og å skrive inn punktene. I den første kolonnen skriver vi $x$ -verdiene tilsvarende årene i tabellen, altså $1$ , $3$ , $5$ og så videre, som representerer $2001$ , $2003$ , $2005$ og så videre. I neste kolonne skriver vi antall kvinnelige studenter i Norge i de gitte årene. Vi markerer tallene vi har skrevet, og velger «Liste med punkt» i «Lag»-menyen. Listen blir hetende «Liste1». Nå kan vi finne en lineær modell ved å skrive kommandoen

RegLin[Liste1]

i «Skriv inn»-vinduet. Da får vi opp en linje, og den har likning $y = 1 482, 86 x + 52 380, 57 .$ Dette er den lineære modellen vår.

Svar: Den lineære modellen er $y = 1 482, 86 x + 52 380, 57$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Regresjon 1.

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjoner i praktiske situasjoner i Treningsleiren.

b)

Hvor stor har økningen i antall kvinnelige studenter vært i gjennomsnitt per år i denne perioden?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Her skal vi se på

Proporsjon

Proporsjon betyr at to forhold er like.

Eksempel: a forholder seg til b som c forholder seg til d, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

forholdet

mellom økingen og antall år.

Fra $2001$ til $2013$ økte antall kvinnelige studenter med $73 332 - 53 553 = 19 779 .$ Denne økningen skjedde over $12$ år, så gjennomsnittlig økning er $\frac{19 779}{12} = 1 648, 25$ studenter per år. Vi kunne også sett dette ved å tegne linjen mellom det første og siste punktet i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

-filen vår, og sett på

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

til denne linjen.

En annen mulighet for å estimere gjennomsnittlig økning, vil være å bruke stigningstallet til den lineære modellen vi fant i deloppgave a). I så fall ville vi svart $1 482, 86$ . Dette tallet vil være en bedre estimator på hvordan ting har vært og hvordan det vil utvikle seg videre. Dette svaret vil også være mer robust enn

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnittet

vi regnet ut over. Det er fordi det er mindre sensitivt for forskjeller der

x = 1

x = 13

, som er de eneste verdiene vi bruker for å finne gjennomsnittet.

Svar: Gjennomsnittlig økning var $1 648, 25$ studenter i året.

Mer om

Denne oppgaven er om

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

Statistikk

statistikk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Gjennomsnitt.

For å øve mer, se oppgavesettet om gjennomsnitt i Treningsleiren.

c)

Anta at denne utviklingen fortsetter i årene som kommer.

I hvilket år vil antall kvinnelige studenter passere 85 000?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Her er det usikkert om vi skal bruke den første

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære

modellen vi fant i a), eller den gjennomsnittlige økningen vi fant i b). Vi kan løse begge problemene grafisk i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

Vi har funnet likningen til den lineære modellen i a). Hvis antall kvinnelige studenter hadde økt med samme gjennomsnittøkning som i perioden mellom $2001$ og $2003$ , ville den lineære modellen vært linjen som gikk gjennom punktene $(1, 53 553)$ og $(13, 73 332)$ . Å finne ut når antall kvinnelige studenter passerer $85 000$ , tilsvarer å finne

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunktene

mellom disse linjene og linjen

y = 85 000

. Dette gjør vi ved å skrive

y = 85000

i GeoGebra, og å markere krysningspunktene som vist under.

På bildet er den røde linjen den lineære modellen vi fant i a), mens den blå linjen viser hva som skjer hvis vi følger den gjennomsnittlige økningen i b). I følge modellen i a) vil antall kvinnelige studenter passere $85 000$ når $x = 22$ , altså i 2022; i følge modellen i b) vil det skje i $2020$ .

Svar: I følge modellen i a) vil antall kvinnelige studenter passere $85 000$ i $2022$ , og i følge den gjennomsnittlige veksten i b) vil det skje i $2020$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Grafisk løsning av likninger og Eksempel: Når koker vannet?.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkter i Treningsleiren.

Oppgave 3 (3 poeng) Nettkode: E-4CS4

Tallene nedenfor viser temperaturen målt i grader celsius klokka 16 den 30. juni de siste 20 årene i by A.

20 18 20 19 19 21 20 22 22 18 17 18 22 19 21 20 22 22 21 17

a)

Bruk regneark til å bestemme gjennomsnitt og standardavvik for datamaterialet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Her kan vi bruke regneark i Excel.

Det første vi gjør er å skrive ned alle tallene i en kolonne i regnearket. Vi har brukt Excel.

For å regne

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnittet

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

standardavviket

av tallene, bruker vi henholdsvis funksjonen GJENNOMSNITT og STDAV.P. Vi bruker STDAV.P fordi vi vil regne ut standardavviket for hele datasettet. Hvis vi hadde brukt STDAV, ville vi fått estimerte verdier basert på utvalg. Vi har lagt temperaturene i A-kolonnen fra og med rad

2

, og for finne gjennomsnittet og standardavviket skriver vi derfor

=GJENNOMSNITT(A2:A21)

=STDAV.P(A2:A21)

henholdsvis. Resultatet er vist under.

Svar: Vi har brukt formlene

=GJENNOMSNITT(A2:A21)

=STDAV.P(A2:A21)

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Statistikk

statistikk

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

standardavvik

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Varians og standardavvik.

b)

Tilsvarende data er samlet inn i by B. Gjennomsnittet her er 20,8 °C , og standardavviket er 3,4 °C.

Noen planlegger et større utearrangement 30. juni neste år og er avhengige av varmt vær. Arrangementet skal finne sted enten i by A eller i by B.

Hvilket råd vil du gi arrangørene ut fra de oppgitte dataene?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

By B har høyere gjennomsnittstemperatur, men også høyere standardavvik.

Fordi

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

standardavviket

i by B er større enn i by A, vil temperaturen være mindre forutsigbar i by B. Derfor kan det være lurt å ha arrangementet i by A, gitt at en temperatur på rundt

20

grader er godt nok. På den andre siden er gjennomsnittstemperaturen i by B såpass mye større enn i by A at det kan gjøre opp for uforutsigbarheten.

Svar: By A gir mer forutsigbarhet i temperaturen, mens by B gir høyere gjennomsnittstemperatur.

Mer om

Denne oppgaven er om

Statistikk

statistikk

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

standardavvik

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Gjennomsnitt, median og typetall og Varians og standardavvik.

Oppgave 4 (7 poeng) Nettkode: E-4CS8

Ovenfor ser du tre figurer $F_{1}$ , $F_{2}$ og $F_{3}$ . Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

a)

Hvor mange linjestykker vil det være i $F_{4}$ ?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi må legge til $4$

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekanter

for å komme til figur

F_{4}

Vi ser at hver figur er den samme som forrige figur, men tillagt en rad med trekanter. For å få $F_{2}$ legger man til $2$ trekanter, og man legger til $3$ trekanter til for å komme videre til $F_{3}$ . For å komme til $F_{4}$ legger man derfor til $4$ trekanter. Hver trekant har $3$ linjestykker i seg, så derfor må vi legge til $4 \cdot 3 = 12$ linjestykker for å komme fra $F_{3}$ til $F_{4}$ . Figur $F_{3}$ har allerede $18$ linjestykker i seg, som skrevet i oppgaven, og da blir antall linjestykker i $F_{4}$ lik $18 + 12 = 30$ .

Svar: $30$ linjestykker

Mer om

Denne oppgaven er om

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen En trekant.

b)

Forklar hvordan antall linjestykker endrer seg fra figur til figur, og lag et regneark som gir en oversikt over antall linjestykker i de 20 første figurene $F_{1}$ , $F_{2}$ , ..., $F_{20}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

I hver figur må vi legge til nok trekanter til å fylle opp en ny rad.

For å komme fra figur $F_{n}$ til figur $F_{n + 1}$ , må vi legge til $n + 1$ nye trekanter, som hver har $3$ linjestykker i seg. Det betyr at hvis $x_{n}$ er antall linjestykker i figur $F_{n}$ og $x_{n + 1}$ er antall linjestykker i figur $F_{n + 1}$ , så er $x_{n + 1} = x_{n} + 3 \cdot (n + 1) .$ For eksempel ser vi at $x_{1} = 3$ , og da må $x_{2} = x_{1} + 3 \cdot 2 = 3 + 6 = 9$ , og $x_{3} = 9 + 3 \cdot 3 = 18$ , akkurat som i henholdsvis figur $F_{2}$ og figur $F_{3}$ .

Dette kan vi representere i et regneark. Vi fører opp en tabell over antall linjestykker i hver figur. I den første figuren er det $3$ linjestykker.

Vi kan regne ut antall streker i figur $2$ ved hjelp av $x_{n + 1} = x_{n} + 3 \cdot (n + 1)$ , akkurat som over, bare ved hjelp av regnearket. Vi bytter ut $x_{n}$ i formelen med ruten der antall linjer i forrige figur står, i dette tilfellet B2, og vi bytter ut $n$ med tallet i kolonnen til venstre og opp, altså A2. Vi skriver det følgende i rute B3:

=B2 + 3*(A2 + 1)

Denne prosedyren skal vi gjøre for de resterende $18$ figurene også, og vi kan gjøre det enkelt ved å “dra” boksen B3 ned til B21. Se resultatet under.

Svar: Hvis $x_{n}$ er antall linjestykker i figur $F_{n}$ , så er $x_{n + 1} = x_{n} + 3 \cdot (n + 1)$ ..

Mer om

Denne oppgaven er om

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabell

, regneark,

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Parenteser i et regnestykke.

c)

Antall linjestykker i figur $F_{n}$ kan skrives som et andregradsuttrykk.

Bruk regresjon til å bestemme dette andregradsuttrykket.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Her skal vi bruke

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

, og vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. På

x-akse

Den horisontale aksen i et koordinatsystem.
Kalles også førsteakse.

x-aksen

skal vi ha figurnummeret, og på

y-akse

Den loddrette aksen i et koordinatsystem.
Kalles også andreaksen.

y-aksen

skal vi ha antall linjestykker.

Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. Det første vi gjør er å markere cellene med punktene og velger diagrammer, og deretter velger «Andre diagrammer» som vist på bildet under.

I det nye vinduet velger vi «Punkt» og deretter velger bildet med bare punkter på som vist under.

Vi får da opp en graf med punktene våre, men vi vil også lage en trendlinje og derfor høyreklikker vi og velger «Legg til trendlinje...».

Velg «Polynom» blant valgmulighetene. Dette betyr at vi vil finne et

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

som punktene passer til.

Vi får da opp en linje som passer til punktene og funksjonsuttrykket til linja.

Fordi funksjonen angir antall linjestykker, må $n = 0$ gi $F_{0} = 0$ og derfor er antall linjestykker i figur $F_{n}$ gitt ved $1, 5 n^{2} + 1, 5 n$ .

Svar: Figur $F_{n}$ har $1, 5 n^{2} + 1, 5 n$ linjestykker.

Mer om

Denne oppgaven er om

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

x-akse

Den horisontale aksen i et koordinatsystem.
Kalles også førsteakse.

x-akse

, regneark,

Andregradsuttrykk

Et uttrykk på formen $a x^{2} + b x + c$ , hvor $x$ er den størrelsen som varierer, og $a, b$ og $c$ er konstante tall.

andregradsuttrykk

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Graf

graf

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Regresjon 1.

Visste du at:

I denne oppgaven startet vi med likningen $x_{n + 1} = x_{n} + 3 (n + 1),$ og fant at vi kunne uttrykke $x_{n}$ bare ved hjelp av $n$ , uten å måtte regne ut $x_{n - 1}$ først. Likningen over er et eksempel på en differenslikning, og vi sier at uttrykket $x_{n} = 1, 5 n^{2} + 1, 5 n$ er løsningen til differenslikningen. Vi merker oss her at løsningen på likningen ikke er et tall, men en likning i seg selv. Mange ting i naturen kan modelleres ved hjelp av differenslikninger, for eksempel veksten av kaniner som formerer seg. Et kjerneeksempel på en differenslikning er den kjente Fibonacci-tallrekken, der neste tall i rekken er summen av de to foregående, og vi starter med 1. Rekken blir 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, og så videre. Vi kan representere dette som en differensligning på følgende måte: $x_{n + 2} = x_{n + 1} + x_{n} .$ Her har vi fått med et ledd $x_{n + 2}$ , som vi ikke hadde i vår oppgave. På grunn av dette leddet kalles ligningen over for en differensligning av andre grad. Løsningen til ligningen er (overraskende nok) $x_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}) .$ Tallet $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1, 618 . . .$ kalles ofte det gylne snitt, og man skriver gjerne den greske bokstaven $φ$ når man refererer til tallet (på samme måte som at man skriver $π$ for $3, 141 . . .$ ). Det gylne snitt er en historie for seg selv.

d)

Bruk andregradsuttrykket du fant i oppgave c) til å bestemme hvor mange linjestykker det vil være i $F_{20}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Her kan vi sette inn i

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formelen

vi fant i deloppgave c).

Fra deloppgave c) vet vi at figur $F_{n}$ har $1, 5 n^{2} + 1, 5 n$ linjestykker. Derfor må $F_{20}$ ha $1, 5 \cdot 20^{2} + 1, 5 \cdot 20 = 600 + 30 = 630,$ akkurat som vi fikk i b).

Svar: $1, 5 \cdot 20^{2} + 1, 5 \cdot 20 = 600 + 30 = 630$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Andregradsuttrykk

Et uttrykk på formen $a x^{2} + b x + c$ , hvor $x$ er den størrelsen som varierer, og $a, b$ og $c$ er konstante tall.

andregradsuttrykk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Andregradsfunksjoner.

Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4CSD

Du skal kjøpe ny sykkel, og du vil forsikre den. Dersom sykkelen blir stjålet, må du betale 2000 kroner i egenandel på forsikringen.

Anta at sykkelen koster $P$ kroner som ny. Dersom sykkelen blir stjålet før det har gått et år, vil du få utbetalt $(P - 2000)$ kroner i erstatning fra forsikringsselskapet. Erstatningen avtar med 10 % per år.

a)

Forklar at $F (x) = (P - 2000) \cdot {0, 9}^{x}$ er en modell for mye du får utbetalt dersom sykkelen blir stjålet etter $x$ år.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Erstatningen avtar med $10 %$ hvert år, så

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktoren

til erstatningen er

0, 9

La oss si at sykkelen ble stjålet etter $1$ år. Den opprinnelige erstatningen man skulle fått er nå redusert med $10 %$ , fra $(P - 2 000) kr$ til $(P - 2 000) kr \cdot 90 %$ . Dette er det samme som $(P - 2 000) \cdot 0, 9 kr$ . Hvis den hadde blitt stjålet etter $2$ år, ville vi fått $(P - 2 000) \cdot 0, 9 \cdot 0, 9 = (P - 2 000) \cdot 0, 9^{2} kr$ i erstatning. Generelt, hvis sykkelen blir stjålet etter $x$ år, så vil vi få $(P - 2 000) \cdot 0, 9^{x} kr$ i erstatning. Derfor er $F (x) = (P - 2 000) \cdot 0, 9^{x}$ en god modell.

Svar: Vekstfarten til erstatningen er $0, 9$ , så om sykkelen ble stjålet etter $x$ år hadde vi fått $F (x) = (P - 2 000) \cdot 0, 9^{x}$ kroner i erstatning.

Mer om

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Hva er prosent?.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleiren.

b)

Du velger å kjøpe en sykkel som koster 10 000 kroner.

Hvor mye får du utbetalt dersom sykkelen blir stjålet etter 7 år?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Her kan vi bruke formelen vi fikk i deloppgave a).

Fra deloppgave a) vet vi at hvis sykkelen ble stjålet etter $x$ år, så hadde vi fått $F (x) = (P - 2 000) \cdot 0, 9^{x}$ kroner i erstatning, der $P$ er det sykkelen kostet som ny. I vårt tilfelle kostet sykkelen $10 000 kr$ ny, og den ble stjålet etter 7 år, så $P = 10 000$ og $x = 7$ . Da får vi $(P - 2 000) \cdot 0, 9^{x} = (10 000 - 2 000) \cdot 0, 9^{7} \approx 3 826, 38$ kroner i erstatning.

Svar: Cirka $3 826, 38$ kroner

Mer om

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen om Typer av funksjoner.

c)

For å forsikre sykkelen må du betale 150 kroner i forsikringspremie per år. Anta at sykkelen blir stjålet etter $x$ år.

Sett opp en modell som viser hvor mye du totalt sitter igjen med når du tar hensyn til det du har betalt i forsikringspremie i løpet av disse $x$ årene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi må finne ut hvor mye vi har betalt i premie i årene før sykkelen ble stjålet.

Her må vi tolke hva som menes med at sykkelen blir stjålet etter $x$ år. Vi tolker det som at sykkelen er $x$ år gammel når den blir stjålet. Hvis den blir stjålet første året, er $x = 0$ . Hvis den blir stjålet det andre året er $x = 1$ . Det tilsvarer altså at den stjeles etter $1$ år.

Vi må betale forsikring en gang i året, første gang når vi kjøper sykkelen. Etter ett år betaler vi forsikringspremie for $2$ . gang. Etter 2 år betaler vi forsikringspremie for $3$ . gang og så videre. Etter $x$ år, eller når sykkelen blir $x$ år gammel, betaler vi forsikringspremie for gang nummer $x + 1$ .

Totalt innbetalt premie hvis sykkelen stjeles etter $x$ år blir

$150 \cdot x$ kroner. Utbetalt erstatningssum blir

$(10000 - 2000) \cdot {0, 9}^{x} = 8000 \cdot {0, 9}^{x}$

kroner. Når vi tar hensyn til innbetalt premie, får vi en erstatning på

$8000 \cdot {0, 9}^{x} - 150 (x + 1)$

kroner.

Svar: Modellen er $(P - 2000) \cdot {0, 9}^{x} - 150 (x + 1)$ der $P$ er hvor mye sykkelen kostet da den ble kjøpt. Hvis sykkelen kostet $10 000 kr$ som ny, ville vi sittet igjen med $8 000 \cdot 0, 9^{x} - 150 \cdot (x + 1)$ kroner.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Hva er matematisk modellering?.

d)

Din venn Ronny mener at du bør si opp forsikringsavtalen etter 13 år.

Ta utgangspunkt i modellen du fant i oppgave c) og kommenter Ronnys utsagn.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker:

Vi antar at sykkelen kostet $10 000$ kr, altså er $P = 10 000$ og vi må finne ut hvor mye penger vi sitter igjen med hvis sykkelen ble stjålet etter $x = 13$ år.

Dersom sykkelen stjeles etter 13 år, altså mens den er 13 år gammel, vil forskjellen mellom det vi får utbetalt og det vi totalt har betalt for forsikringen være

$8000 \cdot {0, 9}^{13} - 150 \cdot 14 \approx - 66, 51$

kroner. Dersom sykkelen stjeles mens den er 12 år gammel, blir denne forskjellen

$8000 \cdot {0, 9}^{12} - 150 \cdot 13 \approx 309, 44$

kroner.

Ronny tenker antakelig at han vil få utbetalt mer enn han totalt sett har betalt i forsikringspremie hvis sykkelen stjeles før den har blitt 13 år gammel. Stjeles den etter at den har blitt 13 år gammel, vil han ha betalt inn minst $66, 51$ kroner mer i forsikringspremie enn han har fått utbetalt i erstatning. Han ønsker derfor ikke å forsikre sykkelen etter at den har blitt 13 år gammel.

Idet sykkelen blir 13 år gammel må vi avgjøre om vi skal forsikre den for det kommende året. Alle tidligere innbetalinger gjelder en tjeneste vi allerede har fått, nemlig forsikring for alle de foregående årene. Det er kun fremtiden vi bør tenke på når vi vurderer forsikring. Derfor bør vi se på følgende: Sykkelens verdi, erstatningssum, forsikringspremie, sannsynligheten for at sykkelen blir stjålet i løpet av det neste året og egen evne til å erstatte et eventuelt tap av sykkelen.

Her er det lett å beregne erstatningssum. Denf finner vi fra uttrykket i oppgave a), og vil være

$8000 \cdot {0, 9}^{13} \approx 2033, 49$

kroner. Spørsmålet er om vi vil betale $150$ kroner for å kunne få $2033, 49$ kroner utbetalt hvis sykkelen blir stjålet mens den er 13 år gammel. Hvis sykkelen ikke har blitt stjålet de 13 første årene, og kanskje ikke har blitt mer attraktiv i årenes løp, er sannsynligheten for at den blir stjålet antakelig liten. Det er gode argumenter for at de $150$ kronene som kunne gått til forsikring heller bør investeres i noe annet.

Svar: Det er gode argumenter for at de 150 kronene som kunne gått til forsikring heller bør investeres i noe annet.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabell

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Eksempel: Når koker vannet?.

Oppgave 6 (6 poeng) Nettkode: E-4CSI

Funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = - {0, 0000028 x}^{3} + 0, 001 x^{2} - 0, 025 x + 3, 8, 0 \leq x \leq 300$

viser temperaturen $f (x)$ grader celsius i sjøen et sted på Sørlandet $x$ dager etter

31. desember 2013.

a)

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

til å tegne

Graf

grafen

Vi skal bruke kommandoen

Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. Vi skal tegne

Graf

grafen

til funksjonen

f (x) = - 0, 0000028 x^{3} + 0, 001 x^{2} - 0, 025 x + 3, 8

når

x \in [0, 300]

, så vi skriver det følgende i «Skriv inn»-vinduet:

f = Funksjon[-0.0000028*x^3+0.001*x^2-0.025*x+3.8, 0, 300]

Her må vi stille inn GeoGebra på $10$ desimaler for å kunne se funksjonsuttrykket i algebrafeltet. Videre må vi tilpasse

Akse

Linje eller linjestykke knyttet til symmetri i geometriske figurer, som kalles symmetriakse. Eller en av linjene som spenner ut et koordinatsystem, for eksempel x-akse og y-akse.

aksene

slik at vi ser hele grafen, og vi må sette navn på aksene. Resultatet er vist under.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Graf

graf

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Fra en funksjon til en graf. Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet grafisk framstilling i Treningsleiren.

b)

Bestem forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Høyeste og laveste temperatur er $y$ -koordinatene til henholdsvis

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunktet

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunktet

til

f

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

Toppunktet

til

Graf

grafen

til

f

er der temperaturen er høyest, og

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunktet

er der temperaturen er lavest. Vi kan finne topp- og bunnpunkter ved å skrive

Ekstremalpunkt[f]

i «Skriv inn»-vinduet i GeoGebra-filen fra deloppgave a). Kommandoen «Ekstremalpunkt» ser bare på ekstremalpunkter i det indre av definisjonsmengden. Det kunne tenkes at funksjonen oppnår større eller lavere verdier i endepunktene for intervallet enn de verdiene vi har funnet med kommandoen. Vi ser på grafen at det ikke er slik. Funksjonsverdiene for $x$ nær $0$ eller $x$ nær $300$ er mellom de verdiene vi fant med kommandoen «Ekstremalpunkt». Hadde høyre endepunkt for definisjonsmengden vært $335$ i stedet for $300$ , ville vi fått lavest temperatur etter $335$ dager.

Da ser vi at bunnunktet har koordinater $(13.24, 3.64)$ , og at toppunktet har koordinater $(224.86, 16.91)$ . Dette betyr at etter rundt 13 dager så var temperaturen $3, 64^{\circ} C$ , og etter rundt 225 dager var temperaturen $16, 91^{\circ} C$ . Forskjellen mellom den høyeste og den laveste temperaturen er $16, 91^{\circ} C - 3, 64^{\circ} C = 13, 27^{\circ} C .$

Svar: Forskjellen er $13, 27^{\circ} C$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

Graf

graf

Ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter er en samlebetegnelse på topp- og bunnpunkter.

ekstremalpunkt

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleiren.

c)

Bestem $f (100)$ og den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 100$ . Hva forteller disse svarene?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

For å finne $f (100)$ må vi sette inn $x = 100$ i uttrykket for $f (x)$ . Vi kan bruke

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

til å finne

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangenten

til

f

(100, f (100))

, og

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

til tangenten er den

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til funksjonen $f (x)$ i et punkt $x = a$ , er stigningstallet til tangenten til kurven i punktet.

momentane vekstfarten

For å finne $f (100)$ , skriver vi ganske enkelt

f(100)

i «Skriv inn»-vinduet i GeoGebra. Da får vi $8, 5$ . Det betyr at temperaturen i sjøen var $8, 5^{\circ} C$ da det hadde gått $100$ dager.

Så skal vi finne den

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til funksjonen $f (x)$ i et punkt $x = a$ , er stigningstallet til tangenten til kurven i punktet.

momentane vekstfarten

til

f

når

x = 100

. Det kan vi gjøre ved å finne

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

til

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangenten

til

f

der

x = 100

. Det første vi gjør er å lage et punkt på grafen til

f

der

x = 100

. Det gjør vi ved å skrive følgende:

(100,f(100))

Videre trykker vi på «Tangenter» i menyen med linjer. Deretter velger vi punktet vårt, og grafen $f$ . Tangenten er vist under.

Her ser vi at tangentlinjen har likning $y = 0, 09 x - 0, 6$ . Det betyr at den momentane stigningen til $f$ i $x = 100$ er $0, 09$ . Dette forteller oss at etter $100$ dager, så vil temperaturen øke med cirka $0, 09^{\circ} C$ per dag.

Svar: $f (100) = 8, 5$ , så temperaturen i sjøen var $8, 5^{\circ} C$ da det hadde gått $100$ dager. Den momentane vekstfarten til $f$ der $x = 100$ var $0, 09$ , så etter $100$ dager, økte temperaturen med cirka $0, 09^{\circ} C$ per dag.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

Momentan vekstfart

Den momentane vekstfarten til funksjonen $f (x)$ i et punkt $x = a$ , er stigningstallet til tangenten til kurven i punktet.

momentan vekstfart

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Introduksjon til derivasjon - gjennomsnittlig og momentan vekstfart.

For å øve mer, se oppgavesettet om veksthastighet i Treningsleiren.

Visste du at

Der er også mulig å finne momentan vekstfart ved regning. Dette gjøres på følgende måte. La oss si at vi vil finne den momentane vekstfarten til en funksjon $f$ der $x = x_{0}$ , for eksempel $f = - \frac{1}{5} (x - 5)^{2} + 3$ og $x_{0} = 2$ . Først velger vi oss et annet punkt på grafen til $f$ , for eksempel $(6, f (6))$ . Så finner vi ligningen for linjen som går gjennom disse to punktene; dette kan vi gjøre på den vanlige måten vi har lært. Det vi gjør videre, er å flytte dette nye punktet nærmere og nærmere $x_{0} = 2$ . Da vil likningen for linjen mellom punktene bli mer og mer lik tangetlinjen i $x = 2$ . Dette er vist på bildet under; de stiplede linjene er linjen mellom de to punktene, og den røde linjen er tangentlinjen.

Stigningstallet til linjene vil altså tilnærme seg den momentane vekstfarten. Men selv om vi gjør dette $1 000 000$ ganger, så vil ikke stigningstallet være helt likt den momentane vekstfarten – derfor må vi bruke det som kalles grenseverdier. Hvis du vil vite mer om grenseverdier, og det å finne momentan vekstfart ved hjelp av disse, burde du først lese lynkurset i grenseverdier og deretter lynkurset i derivasjon.

For mer om grenseverdier, se lynkurset Grenseverdier.

Oppgave 7 (6 poeng) Nettkode: E-4CSN

Tenk deg at du skal lage en boks. Bunnen og toppen av boksen skal være satt sammen av et rektangel og to halvsirkler og ha form som vist på figuren ovenfor. Sideflaten skal stå vinkelrett på topp og bunn. Sett bredden i rektanglet lik $x$ cm, lengden lik $y$ cm og høyden lik $h$ cm.

a)

Forklar at volumet $V$ av boksen er gitt ved

$V = (π \cdot {(\frac{x}{2})}^{2} + x \cdot y) \cdot h$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Boksen er et

Prisme

Et prisme er en tredimensjonal figure satt sammen av parallelle, kongruente mangekanter (som topp og bunnflate) og med sideflater som alle er parallellogrammer.

Har et prisme grunnflate G og høyde h, er volumet lik G · h.

prisme

, og

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

lik grunnflaten multiplisert med høyden. Høyden er

h

, men vi må finne et uttrykk for

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

arealet

til grunnflaten.

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

Volumet

V

til boksen er gitt ved

$V = G h,$

der $G$ er arealet til grunnflaten av boksen og $h$ er høyden. (Vi dropper enheten cm for enkelhets skyld.) Vi har ikke tallverdier for $h$ , $x$ og $y$ , men vi kan late som om vi har det, og regne med dem som vanlige tall likevel. Grunnflaten består av et

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangel

med sideflater

x

y

, og i tillegg to halvsirkler med diameter

x

, og dermed radius

r = \frac{1}{2} x

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

Arealet

av rektangelet er

x y

, mens arealet av hver av halvsirklene er

$\frac{1}{2} π r^{2} = \frac{1}{2} {π (\frac{1}{2} x)}^{2} .$

Arealet til begge halvsirklene til sammen er derfor $2 \cdot \frac{1}{2} {π (\frac{1}{2} x)}^{2} = π {(\frac{1}{2} x)}^{2}$ , og arealet til hele grunnflaten er

$G = π {(\frac{1}{2} x)}^{2} + x y .$

Dette kan vi sette inn i likningen

$V = G h,$

og vi får at

$V = (π {(\frac{1}{2} x)}^{2} + x y) h,$

akkurat som vi ville ha.

Svar: $π {(\frac{1}{2} x)}^{2} + x y$ er arealet til grunnflaten, og multipliserer vi med høyden $h$ får vi volumet.

Mer om

Denne oppgaven er om

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Geometri

Ordet kommer fra gresk og betyr jordmåling. Geometri er den delen av matematikken som handler om egenskaper, form og størrelser til 2D- og 3D-figurer. Geometrien ser på sammenhenger mellom vinkler, sider, sideflater og kanter, som gjør at vi kan utføre ulike beregninger med de ulike figurene.

geometri

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formel

Sirkel

Sirkel brukes i to betydninger:

1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig sentrum i sirkelen. Dette er det samme som sirkelen sin omkrets.

2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

Areal: $A = π r^{2}$
Omkrets: $O = 2 π r$

sirkel

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Et rett prisme.

For å øve mer, se oppgavesettet om volum i Treningsleiren.

b)

Summen av lengden og bredden i rektanglet skal være 10 cm, og summen av bredden og høyden skal være 5 cm.

Forklar at $y = 10 - x$ og $h = 5 - x$ , og bruk dette til å sette opp et uttrykk for volumet av boksen uttrykt med $x$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Summen av lengden $y$ i

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangelet

, og bredden

x

, skal være lik

10 cm

. Det betyr at

x + y = 10

. Tilsvarende har vi

x + h = 5

Vi har at $x + y = 10$ og $x + h = 5$ . I den første likningen kan vi trekke fra $x$ på begge sider, og forkorte. Da får vi $\begin{matrix} x + y - x = 10 - x, \\ y = 10 - x . \end{matrix}$ På samme måte trekker vi fra $x$ på hver side av likningen $x + h = 5$ , og vi får $x = 5 - h$ , som var det vi ville ha.

Nå skal vi bruke det vi har funnet til å sette opp et uttrykk for volumet $V$ bare uttrykt ved $x$ . Det gjør vi ved å sette inn $y = 10 - x$ og $h = 5 - x$ i likningen for

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

fra deloppgave a). Da får vi

$V = (π {(\frac{1}{2} x)}^{2} + x (10 - x)) (5 - x)$

Dette er volumet uttrykt kun ved $x$ . Vi kunne multiplisert ut parentesene, men det blir ikke spurt etter i oppgaven.

Svar: $V = (π {(\frac{1}{2} x)}^{2} + x (10 - x)) (5 - x)$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangel

For flere eksempler og forklaringer se artiklene Et rektangel og Lineære likninger.

For å øve mer, se oppgavettet om førstegradslikninger i Treningsleiren.

c)

Bruk graftegner til å bestemme hvor bred boksen må være for at volumet skal bli størst mulig. Hvor stort blir volumet da?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi kan tegne

Graf

grafen

til

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

V

som en

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

av bredden

x

I forrige oppgave fant vi ut at hvis bredden til boksen er $x$ , så er

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volumet

V (x)

til boksen lik

$V (x) = (π {(\frac{1}{2} x)}^{2} + x (10 - x)) (5 - x)$

(Det å skrive $V (x)$ i stedet får $V$ , betyr bare at størrelsen $V$ avhenger av $x$ . Det betyr ingenting annet. Men nå kan vi tenke på $V$ som en funksjon: Hvis bredden til boksen er $x$ , så setter vi inn $x$ i funksjonsuttrykket vårt, og volumet til boksen blir $V (x)$ .)

Vi kan tegne grafen til $V$ med

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. Vi skriver

V(x) = (pi*(0.5*x)^2 + x*(10-x))*(5-x)

i «Skriv inn»-vinduet, og tilpasser aksene slik at vi ser hele grafen. For å finne toppunktet til grafen, skriver vi ganske enkelt kommandoen

Ekstremalpunkt[V]

Da ser vi at

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunktet

har koordinater

(2.43, 59.19)

, som betyr at boksen har størst volum, på

59, 19 {cm}^{3}

, når bredden til boksen i centimeter er

x = 2, 43

Hvis vi går lenger ut i grafen til $V$ , ser vi at funksjonen får veldig store verdier; mye større enn $59, 19$ . Disse verdiene er ikke interessante. Det er fordi hvis $x > 5$ , så er $h = 5 - x < 0$ , og det har ingen fysisk tolkning at boksen har negativ høyde.

Svar: Boksen har størst volum, på $59, 19 {cm}^{3}$ , når bredden til boksen i centimeter er $x = 2, 43$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Volum

Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm³) og kubikkmeter (m³).

volum

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Graf

graf

Ekstremalpunkt

Vi sier at et punkt $x = a$ er et ekstremalpunkt for en funksjon $f (x)$ hvis det enten er et toppunkt eller bunnpunkt for funksjonen.

ekstremalpunkt

Toppunkt

Et toppunkt for en funksjon er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er større enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

toppunkt

Koordinat

Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.

Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.

Se Koordinatsystem

koordinat

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Topp- og bunnpunkter.

For å øve mer, se oppgavesettet om ekstremalpunkter i Treningsleiren.

MAT1015 2015 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4CR5

Løsningsforslag

Median

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt

Median

Tabell

Median

Statistikk

Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4CR7

Løsningsforslag

Prosent

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4CR9

a)

Løsningsforslag a)

Standardform

Standardform

Standardform

Heltall

Potens

b)

Løsningsforslag b)

Multiplikasjon

Standardform

Standardform

Potens

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4CRC

a)

Løsningsforslag a)

Potens

Teller

Nevner

Teller

Nevner

Potens

Subtraksjon

Potens

Brøk

b)

Løsningsforslag b)

Brøk

Potens

Teller

Nevner

Grunntall

Teller

Nevner

Eksponent

Potens

Eksponent

Grunntall

Brøk

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4CRF

a)

Løsningsforslag a)

Lineære funksjoner

Ligning

Konstant

Stigningstall

Lineære funksjoner

Matematisk modell

Linje

b)

Løsningsforslag b)

Eksponentialfunksjon

Eksponentialfunksjon

Vekstfaktor

Eksponentialfunksjon

Vekstfaktor

Prosent

Matematisk modell

Oppgave 6 (6 poeng) Nettkode: E-4CRK

a)

Løsningsforslag a)

Frekvens