Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1015 2013 Vår

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
vurderer om svar er rimelige
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:

Kilder for bilder, tegninger osv.

Doruller: http://pub.tv2.no/multimedia/TV2/archive/00950/First_price_950599i.jpg (21.10.2012)
Andre bilder, grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4BUZ

En kveld kjørte en taxisjåfør 10 turer.

Nedenfor ser du hvor mange passasjerer han hadde med på hver av turene.

1 5 3 3 5 2 1 4 1 2

a)

Bestem medianen, gjennomsnittet og typetallet for dette datamaterialet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Denne oppgaven er om

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

median

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

Gjennomsnittet finner du ved å:
1) summere alle data
2) dele summen på total antall data

Eksempel: Gjennomsnittet av 2, 2, 4, 3 er 2,75 fordi
1) $2 + 2 + 4 + 3 = 11$
2) antall data er 4. $11 : 4 = 2, 75$

gjennomsnitt

Typetall

Typetallet er det tallet som opptrer flest ganger i et innsamlet tallmateriale fra for eksempel en spørreundersøkelse.

Eksempel: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5. Her er typetallet 2.

typetall

For å finne

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

medianen

flytter vi rundt på tallene i rekken slik at de kommer i stigende rekkefølge.

1 1 1 2 2 3 3 4 5 5

Medianen av disse tallene, er gjennomsnittet av de to midterste tallene. (Hvis det var et odde antall tall, hadde medianen vært det midterste tallet.) Det er

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnittet

av tall nummer 5 og tall nummer 6, altså henholdsvis 2 og 3. Det blir

\frac{2 + 3}{2} = 2, 5

Videre skal vi finne gjennomsnittet av tallene. Gjennomsnittet er

$\frac{antall passasjerer sjåføren kjørte}{antall turer sjåføren kjørte}$

eller sagt på en annen måte, forholdet mellom summen av tallene over og antall tall. Sjåføren kjørte 10 turer til sammen, og gjennomsnittet blir derfor $\frac{1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5}{10} = \frac{27}{10} = 2, 7 .$ (Her har vi valgt bruke tallene satt opp i stigende rekkefølge, for da kan det være lettere å regne ut summen.)

Typetall

Typetallet er det tallet som opptrer flest ganger i et innsamlet tallmateriale fra for eksempel en spørreundersøkelse.

Eksempel: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5. Her er typetallet 2.

Typetallet

er det tallet som forekommer flest ganger i datamaterialet. I vårt tilfelle er typetallet 1, som forekommer tre ganger.

Svar: Medianen er $2, 5$ , gjennomsnittet er $2, 7$ og typetallet er 1.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Median

Medianen er den verdien som vi finner i midten av et rangert datamateriale.

Eksempel: I et datamateriale har vi verdiene 3, 6, 1, 4 og 5. Vi rangerer verdiene til 1, 3, 4, 5, 6. Den midterste verdien er 4. Medianen er 4.

median

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

Typetall

Typetallet er det tallet som opptrer flest ganger i et innsamlet tallmateriale fra for eksempel en spørreundersøkelse.

Eksempel: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5. Her er typetallet 2.

typetall

Statistikk

Statistikk dreier seg om innsamling og bearbeiding av data eller informasjon. Målet med statistikk er å presentere og gjøre beregninger på datamaterialet slik at det kan gi god og sann informasjon og være grunnlag for vurderinger.

statistikk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Gjennomsnitt, median og typetall.

For å øve mer, se oppgavesettet om median, gjennomsnitt og typetall i Treningsleieren.

b)

Sett opp en tabell som viser frekvens og kumulativ frekvens for antall passasjerer på turene.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Frekvens

Frekvens er antall ganger et svaralternativ eller en observasjon finnes i en datasamling. Vi finner fekvensen ved å telle opp hvor mange ganger en og samme data inntreffer.

Se frekvenstabell

Frekvens

er antall ganger tallet kommer opp i dataene.

Kumulativ frekvens

Den kumulative frekvensen til en verdi i et datamateriale sier hvor stor andel av datamaterialet som har denne verdien eller lavere.

Vi finner den kumulative frekvensen ved å summere alle frekvensene opp til og med den aktuelle verdien.

Eksempel: Se bildet. Her vil den kumulative frekvensen for 2 eller færre kjøpte lunsjer være 6 + 21 + 15 = 42. Det vil si at det er 42 personer som har kjøpt 2 eller færre lunsjer.

Kumulativ frekvens

er hvor mange ganger dette tallet eller mindre tall dukker opp.

Vi skal sette opp en

Frekvenstabell

En frekvenstabell er en opptelling og ordning av dataene i en datasamling.

Se frekvens

frekvenstabell

. De forskjellige antall passasjerer som dukker opp varierer fra

1

til

5

, og det er disse tallene vi skal finne frekvensene for. Vi setter opp

Frekvens

Frekvens er antall ganger et svaralternativ eller en observasjon finnes i en datasamling. Vi finner fekvensen ved å telle opp hvor mange ganger en og samme data inntreffer.

Se frekvenstabell

frekvensen

først. Frekvensen til tallet

1

er antallet ganger taxisjåføren kjører

1

passasjer; i dette tilfellet er det

3

. Vi gjør det samme for de andre tallene. Vi setter opp tabellen og fyller inn frekvensene.

Antall passasjerer	Frekvens	Kumulativ frekvens
$1$	$3$
$2$	$2$
$3$	$2$
$4$	$1$
$5$	$2$

Videre skal vi finne

Kumulativ frekvens

Den kumulative frekvensen til en verdi i et datamateriale sier hvor stor andel av datamaterialet som har denne verdien eller lavere.

Vi finner den kumulative frekvensen ved å summere alle frekvensene opp til og med den aktuelle verdien.

Eksempel: Se bildet. Her vil den kumulative frekvensen for 2 eller færre kjøpte lunsjer være 6 + 21 + 15 = 42. Det vil si at det er 42 personer som har kjøpt 2 eller færre lunsjer.

kumulativ frekvens

. Kumulativ frekvens er antallet ganger det gitte tallet eller lavere tall kommer opp i datasettet. For eksempel kommer

1

opp

3

ganger,

2

opp

2

ganger og

3

opp

2

ganger; det gir at den kumulative frekvensen til

3

3 + 2 + 2 = 7

Antall passasjerer	Frekvens	Kumulativ frekvens
$1$	$3$
$2$	$2$
$3$	$2$	$7$
$4$	$1$
$5$	$2$

Dette gjør vi for alle de andre tallene også. Vi merker oss at kumulativ frekvens for $4$ vil være kumulativ frekvens av $3$ pluss frekvensen til $4$ , for da får vi med alle turene det har vært med $4$ eller færre passasjerer. Dermed kan vi finne alle de kumulative frekvensene ved å se på frekvens-kolonnen og det vi tidligere har oppført i den kumulative frekvens-kolonnen. Den kumulative frekvensen for $1$ er $3$ , for $2$ er den $3 + 2 = 5$ , for $3$ er den $5 + 2 = 7$ , for $4$ er den $7 + 1 = 8$ , og for $5$ er den $8 + 2 = 10$ . Vi fyller dette inn i tabellen. Den ferdige tabellen er vist under.

Svar:

Antall passasjerer	Frekvens	Kumulativ frekvens
$1$	$3$	$3$
$2$	$2$	$5$
$3$	$2$	$7$
$4$	$1$	$8$
$5$	$2$	$10$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Frekvens

Frekvens er antall ganger et svaralternativ eller en observasjon finnes i en datasamling. Vi finner fekvensen ved å telle opp hvor mange ganger en og samme data inntreffer.

Se frekvenstabell

frekvens

Kumulativ frekvens

Den kumulative frekvensen til en verdi i et datamateriale sier hvor stor andel av datamaterialet som har denne verdien eller lavere.

Vi finner den kumulative frekvensen ved å summere alle frekvensene opp til og med den aktuelle verdien.

Eksempel: Se bildet. Her vil den kumulative frekvensen for 2 eller færre kjøpte lunsjer være 6 + 21 + 15 = 42. Det vil si at det er 42 personer som har kjøpt 2 eller færre lunsjer.

kumulativ frekvens

Statistikk

statistikk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Frekvens.

Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4BV2

Regn ut og skriv svaret på standardform

$0, 075 \cdot 2 000 000$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

betyr at tallet er på formen

\pm a \cdot 10^{n}

, der

1 \leq a < 10

n

er et heltall.

En god strategi er å skrive hvert

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

. Tallet

0, 075

kan skrives som

7, 5 \cdot \frac{1}{100} = 7, 5 \cdot 10^{- 2}

. Tallet

2 000 000

har

6

nuller, og kan dermed skrives som

2 \cdot 10^{6}

. Nå kan vi skrive hele tallet som

0, 075 \cdot 2 000 000 = 7, 5 \cdot 10^{- 2} \cdot 2 \cdot 10^{6} .

Vi bytter om på plassene for å bruke potensreglene, som sier at vi kan legge sammen eksponenter hvis

Potens

En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen $x^{n}$ , som leses x opphøyd i n-te.

Eksempel: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$

potensene

har samme

Grunntall

En potens består av et grunntall og en eksponent.

Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

grunntall

. (Potensene

10^{- 2}

10^{6}

har samme grunntall, så vi kan bruke potensregelen på disse.) Vi får

7, 5 \cdot 10^{- 2} \cdot 2 \cdot 10^{6} = (7, 5 \cdot 2) \cdot (10^{- 2} \cdot 10^{6}) .

Vi vet at

7, 5 \cdot 2 = 15

. Vi vil at det eneste tallet som ikke er en tierpotens skal være mellom

1

10

, så vi skriver

15

som

1, 5 \cdot 10^{1}

. Da får vi

(7, 5 \cdot 2) \cdot (10^{- 2} \cdot 10^{6}) = 1, 5 \cdot (10^{1} \cdot 10^{- 2} \cdot 10^{6}) .

Nå bruker vi potensregelen, og vi får

1, 5 \cdot (10^{1} \cdot 10^{- 2} \cdot 10^{6}) = 1, 5 \cdot 10^{1 - 2 + 6} = 1, 5 \cdot 10^{5},

og da har vi fått tallet på standardform.

Svar: $1, 5 \cdot 10^{5}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Potens

potens

med

Grunntall

En potens består av et grunntall og en eksponent.

Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

grunntall

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponent

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

standardform

Mer om tall på standardform finner du i artikkelen Tall på standardform. For flere eksempler og forklaringer om potensregler se artikkelen Rask gjennomgang av regneregler for potens og røtter.

For å øve mer, se oppgavesettet om tall på standardform i Treningsleieren.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4BV4

Hvilken av de to brøkene A og B nedenfor har størst verdi?

A: $\frac{15 \cdot 5^{- 1}}{2^{2}}$

B: $\frac{1}{6^{- 2} \cdot 3 \cdot 15}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Vi skal regne med

Potens

potenser

. Her er det lurt å prøve og få begge tallene på samme form.

Vi prøver å få tallene på samme form, og starter med $A$ . Vi vil gjerne ha bort brøkstreken, og det gjør vi ved å “flytte opp” nevneren og bytte fortegn på eksponenten. Det gjør vi ved å multiplisere med $2^{- 2}$ over og under brøkstreken. Vi får $\begin{matrix} \frac{15 \cdot 5^{- 1}}{2^{2}} & = \frac{15 \cdot 5^{- 1} \cdot 2^{- 2}}{2^{2} \cdot 2^{- 2}} \\ = \frac{15 \cdot 5^{- 1} \cdot 2^{- 2}}{2^{2 - 2}} \\ = \frac{15 \cdot 5^{- 1} \cdot 2^{- 2}}{2^{0}} \\ = 15 \cdot 5^{- 1} \cdot 2^{- 2} . \end{matrix}$ Det kan også være lurt å

Primtallsfaktorisering

Er å skrive et tall som et produkt av primtall.

Eksempel: $15 = 3 \cdot 5, 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3, 49 = 7 \cdot 7$

primtallfaktorisere

alt som ikke er primtall, i dette tilfellet

15

. Vi vet at

15 = 3 \cdot 5

, og siden vi kan legge sammen

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponenter

Potens

potenser

med samme

Grunntall

En potens består av et grunntall og en eksponent.

Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

grunntall

, får vi at

A

er lik

(3 \cdot 5) \cdot 5^{- 1} \cdot 2^{- 2} = 3 \cdot 5^{1 - 1} \cdot 2^{- 2} = 3 \cdot 5^{0} \cdot 2^{- 2} = 3 \cdot 2^{- 2} .

Vi fortsetter med $B$ . Først ser vi at siden $15 = 3 \cdot 5$ , så er $6^{- 2} \cdot 3 \cdot 15 = 6^{- 2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 6^{- 2} \cdot 3^{2} \cdot 5 .$ Videre er $6 = 2 \cdot 3$ , og da er $6^{- 2} = (2 \cdot 3)^{- 2} = 2^{- 2} \cdot 3^{- 2}$ . Her bruker vi potensregelen med et produkt som grunntall. Eksponenten dukker opp på hver faktor når vi løser opp parentesen. Dermed får vi $6^{- 2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 2^{- 2} \cdot 3^{- 2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 2^{- 2} \cdot 5 .$ Dette er altså nevneren i brøken $B$ , så $B$ er lik $\frac{1}{2^{- 2} \cdot 5} .$ Vi multipliserer brøken med $2^{2}$ over og under brøkstreken for å få et penere svar. Da får vi $\frac{1}{2^{- 2} \cdot 5} = \frac{2^{2} \cdot 1}{2^{2} \cdot 2^{- 2} \cdot 5} = \frac{4}{5} .$

Nå kan vi sammenligne $A$ og $B$ . Brøken $A$ kunne skrives som $3 \cdot 2^{- 2}$ . Vi kan få dette mer likt $B$ ved å skrive det som en brøk; vi vet nemlig at $2^{- 2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$ . Dermed er $A$ lik $\frac{3}{4}$ , og $B$ er lik $\frac{4}{5}$ . Fra dette ser vi at $B$ er større enn $A$ , siden $\frac{3}{4} = \frac{15}{20} og \frac{4}{5} = \frac{16}{20} .$ .

Svar: $B = \frac{4}{5} > \frac{3}{4} = A$ , så $B$ er størst

Mer om:

Denne oppgaven er om

Potens

potens

med

Grunntall

En potens består av et grunntall og en eksponent.

Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

grunntall

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponent

, og

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Inger Christin forteller om potensregler.

For å øve mer, se oppgavesettet om potenser i Treningsleieren.

Oppgave 4 (5 poeng) Nettkode: E-4BV7

Sigvald får følgende tilbud fra foreldrene sine:

TILBUD 1

Du får 100 kroner i fast
ukelønn. I tillegg får du
5 kroner hver gang du tar
oppvasken.

TILBUD 2

Du får 50 kroner i fast
ukelønn. I tillegg får du
10 kroner hver gang du tar
oppvasken.

a)

Sett opp et matematisk uttrykk som kan være en modell for tilbud 1, og et matematisk uttrykk som kan være en modell for tilbud 2.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi kan sette opp funksjonene $T_{1}$ og $T_{2}$ tilhørende henholdsvis tilbud $1$ og tilbud $2$ slik at $T_{1} (x)$ er antall kroner i ukelønn hvis Sigvald vasker opp $x$ ganger, og tilsvarende for $T_{2} (x)$ .

Vi lar $T_{1} (x)$ være antall kroner Sigvald får i ukelønn hvis han vasker opp $x$ ganger og godtok tilbud $1$ , og at $T_{2} (x)$ er tilsvarende for tilbud $2$ . La oss starte med å finne et uttrykk som beskriver tilbud $1$ . Vi ser at $T_{1}$ er en

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

(det vil si at

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafen

er en rett linje) – hvis

x

øker med 1, så øker

T_{1} (x)

med et fast tall. Dermed er

T_{1}

på formen

T_{1} (x) = a_{1} x + b_{1},

der

a_{1}

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

b_{1}

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddet

. Konstantleddet

a_{1}

er hvor mye ukelønnen stiger per gang Sigvald vasker opp. Det er

5

kroner, så

a_{1} = 5

. Konstantleddet er der funksjonen krysser

y

-aksen, altså antall kroner Sigvald får i ukepenger hvis han ikke vasker opp noen ganger. Det er

100

kroner, så

b_{1} = 100

. Dermed kan vi modellere tilbud

1

med

T_{1} (x) = 5 x + 100 .

På helt tilsvarende vis finner vi at stigningstallet til $T_{2}$ er $10$ , og at konstantleddet er $50$ . Dermed kan vi modellere tilbud $2$ med $T_{2} (x) = 10 x + 50 .$

Svar: Vi kan modellere tilbud $1$ med $T_{1} (x) = 5 x + 100$ , og tilbud $2$ med $T_{2} (x) = 10 x + 50$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

Matematisk modell: Betegner at man setter opp matematiske relasjoner mellom størrelser man er interessert i å analysere utviklingen av. Etter at man har laget modellen kan en benytte matematikk for å beregne hvordan fenomenet utvikler seg. Mange matematiske modeller har så kompliserte likninger at de ikke kan løses eksakt og man må da benytte numeriske metoder. Når man har funnet en matematisk løsning må svaret tolkes i forhold til fenomenet en ser på.
Dersom svaret som kom ut av modellen rimelig har man satt opp en brukbar modell? Hvis svaret er urimelig har man satt opp en lite brukbar modell.

matematisk modell

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjoner i praktiske situasjoner i Treningsleieren.

b)

Skisser grafen til hver av modellene, og gi Sigvald råd om hvilket tilbud han bør velge.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi har

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddene

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallene

til hver av modellene, og da kan vi skissere

Graf

grafen

Vi merker oss at det står at vi skal skissere grafen, og da trenger vi ikke ta med alle detaljene vi skulle ha tatt med hvis det hadde stått “tegn grafen”. Vi starter med $T_{1}$ . Det første vi gjør er å lage et

Koordinatsystem

Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

koordinatsystem

. Vi er bare ute etter positive

x

-verdier, så vi lar

x

gå mellom

0

12

. Vi setter på passende navn og enheter på

Akse

Linje eller linjestykke knyttet til symmetri i geometriske figurer, som kalles symmetriakse. Eller en av linjene som spenner ut et koordinatsystem, for eksempel x-akse og y-akse.

aksene

Vi vet at $T_{1}$ er en

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

, så alt vi trenger er to punkter på grafen; da er grafen til

T_{1}

den rette linjen mellom dem. Vi vet at grafen krysser

y-akse

Den loddrette aksen i et koordinatsystem.
Kalles også andreaksen.

y-aksen

100

, så

(0, 100)

er et punkt på grafen. Videre vet vi at hvis Sigvald vasker opp

10

ganger, så får han

10 \cdot 5 = 50

kroner ekstra i ukelønn, som gir en total ukelønn på

150 kr

; dermed er

(10, 150)

også et punkt på grafen. Vi tegner de to punktene og den rette linjen mellom dem.

Vi kan gjøre det samme med $T_{2}$ . Fra konstantleddet får vi at $(0, 50)$ er et punkt på grafen, og hvis Sigvald vasker opp $5$ ganger får han en ukelønn på $50 + 5 \cdot 10 = 100$ kroner, så $(5, 100)$ er et annet punkt på grafen. Vi tegner den rette linjen mellom de to punktene. Vi gjør det i samme koordinatsystem som tidligere, slik at vi kan sammenligne de to modellene.

Her ser vi at $T_{1}$ gir mest ukelønn når $x < 10$ , og at $T_{2}$ gir mest ukelønn når $x > 10$ . Dermed burde Sigvald godta tilbud $1$ hvis han vasker opp mindre enn $10$ ganger per uke, og godta tilbud $2$ hvis han vasker opp mer.

Svar: Sigvald burde godta tilbud 1 hvis han vasker opp mindre enn 10 ganger per uke, og godta tilbud 2 hvis han vasker opp mer.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

Graf

graf

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

skjæringspunkt

Koordinatsystem

koordinatsystem

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleierene.

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4BWN

Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, gjør beregninger, og fyll inn det som mangler.

Plassverdisystem med grunntall 10	Plassverdisystem med grunntall 2
	$101011_{2}$
$26$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

(NB! Omforming til og fra binære tall er ikke lenger med i læreplanen for 2P.) Vi skal finne ut hva $101011_{2}$ er i titallsystemet, og hva $26$ er i totallsystemet.

Vi starter med å finne ut hva $101011_{2}$ er i totallsystemet. Dette tallet skal stå i første rute. Tallet er lik $101011_{2} = 1 \cdot 2^{0} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{5} .$ Vi vet at $2^{0} = 1$ , $2^{1} = 2$ , $2^{2} = 4$ , $2^{3} = 8$ , $2^{4} = 16$ og $2^{5} = 32$ . Da blir regnestykket over lik $1 + 2 + 8 + 32 = 43 .$ Vi fyller inn dette i tabellen.

Plassverdisystem med grunntall 10	Plassverdisystem med grunntall 2
$43$	$101011_{2}$
$26$

Videre skal vi finne ut av hva $26$ er i totallsystemet. Det gjør vi ved å finne ut hvilke toerpotenser man skal legge sammen for å få $26$ . Vi har $2^{4} = 16$ , og det er den største toerpotensen som er under $26$ . Videre har vi $26 - 16 = 10$ , og den største toerpotensen som er under $10$ er $2^{3} = 8$ . Til slutt er $10 - 8 = 4 = 2^{1}$ . Da ser vi at $2^{4} + 2^{3} + 2^{1} = 16 + 8 + 2 = 26 .$ Det betyr at vi kan skrive $26$ som $26 = 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} .$ Dermed er $26$ det samme som $11010_{2}$ i totallsystemet. Vi fyller inn dette i tabellen, og den ferdige tabellen er vist under.

Svar:

Plassverdisystem med grunntall 10	Plassverdisystem med grunntall 2
$43$	$101011_{2}$
$26$	$11010_{2}$

Mer om:

Denne oppgaven er om

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabell

Potens

potens

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen 2-tallsystem (binært system).

Visste du at:

Måten man skriver desimaltall på, er ikke entydig. Et slående eksempel er at $1 = 1, 000 . . .$ er det samme som tallet $0, 999 . . .$ (uendelig nitall). Et enkelt bevis for dette går slik:

$1 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 0, 333 + 0, 666 = 0, 999$

Men $1 = 0.999 . . .$ er ikke det eneste eksempelet. Tallet $\frac{1}{5} = 0, 2$ kan skrives som $0, 1999 . . .$ , og $\frac{1}{2} = 0, 5$ kan skrives som $0, 4999 . . .$ . Faktisk er de eneste tallene med entydig desimalutvikling (som det heter), tall som ikke kan skrives med et endelig antall desimaler. Eksempler er $\frac{1}{3}$ og $\frac{1}{7}$ . Dette er brøker med andre tall enn $2$ og $5$ i nevneren, som er primtallsfaktorene til $10$ . Dette kan generaliseres til andre tallsystemer også: I $n$ -tallsystemet kan brøker som bare har primtallsfaktorene til $n$ i nevneren, skrives på flere måter på desimalform. For eksempel kan brøken $\frac{1}{2}$ skrives både som $0, 1_{2}$ og som ${0, 0111 . . .}_{2}$ i totallsystemet, fordi $2$ er en (den eneste) primtallsfaktoren i $2$ .

Oppgave 6 (3 poeng) Nettkode: E-4BXC

Stian har kjøpt en bruktbil. Bilen kostet 100 000 kroner.

Anta at verdien vil avta med 10 % per år.

a)

Sett opp en modell $f$ som Stian kan bruke for å regne ut verdien av bilen i årene som kommer.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Hvis en verdi avtar med $10 %$ per tidsenhet, så er

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktoren

0, 9

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

Vekstfaktoren

til

- 10 %

0, 9

. Det betyr at bilen vil være verdt

100 000 \cdot 0, 9 kr

etter ett år,

100 000 \cdot 0, 9^{2} kr

etter to år, og så videre. Dermed vil bilen være verdt

f (x) = 100 000 \cdot 0, 9^{x} kr

etter

x

år.

Svar: Bilen vil være verdt $f (x) = 100 000 \cdot 0, 9^{x} kr$ etter $x$ år.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponentialfunksjon

Potens

potens

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Hva er prosent?.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

b)

Hvilken av grafene nedenfor er grafen til $f$ ? Begrunn svaret ditt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Verdien til bilen vil avta mest i begynnelsen, og deretter slake ut.

Verdien til bilen vil avta forholdsvis raskt i begynnelsen, men deretter flate ut, fordi $10 %$ av $100 000$ er mer enn $10 %$ av et mindre tall, for eksempel $50 000$ . En måte å se på det på, er at etter hvert år så skal verdien kuttes med én tiendedel. Da ser vi at $C$ er den eneste grafen som passer. Grafen $C$ er dessuten den eneste som ikke blir 0. Det stemmer med modellen vår, for det finnes ikke noen verdi $x$ slik at $100 000 \cdot 0, 9^{x} = 0$ .

Svar: Grafen $C$ er riktig, fordi verdien avtar mer i begynnelsen enn etter hvert. Det kan også argumenteres med at $C$ er den eneste grafen som ikke treffer $x$ -aksen, akkurat som $f (x)$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Graf

graf

x-akse

Den horisontale aksen i et koordinatsystem.
Kalles også førsteakse.

x-akse

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Typer av funksjoner og Eksponentiallikninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om eksponentialfunksjoner i Treningsleieren.

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4BXG

Tabellen nedenfor viser inntektene til personene i et borettslag.

Inntekt (i 1000 kroner)	Antall personer
$[300, 400⟩$	$20$
$[400, 500⟩$	$20$
$[500, 700⟩$	$10$

Bestem gjennomsnittsinntekten til personene i borettslaget.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker:

Dette er klassedelt materiale, og da antar vi at

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnittet

av tallene i hver klasse er klassemidtpunktet.

Det er $20$ personer i klassen $[300, 400 ⟩$ . Vi antar at disse $20$ er jevnt fordelt utover klassen, slik at gjennomsnittlig inntekt av disse $20$ er $\frac{300 + 400}{2} = 350$ (tusen kroner). Når vi skal regne ut

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnittet

av hele datasettet, er dette det samme som å anta at alle de

20

personene har en lønn på

350 000 kr

. Det er fordi

\begin{matrix} gjennomsnitt = \\ \frac{20 \cdot (snitt av [300, 400 ⟩) + 20 \cdot (snitt av [400, 500 ⟩) + 10 \cdot (snitt av [500, 700 ⟩)}{20 + 20 + 10} . \end{matrix}

Nå kan vi regne ut at gjennomsnittet blir

$Gjennomsnitt = \frac{total lønn (i 1 000 kr)}{antall personer} = \frac{20 \cdot 350 + 20 \cdot 450 + 10 \cdot 600}{20 + 20 + 10}$

$= \frac{7000 + 9000 + 6000}{50} = \frac{22 000}{50} = \frac{2 200}{5}$

Vi kunne ha regnet ut brøken $\frac{2 200}{5}$ for hånd, men det kan være enklere å bruke det faktum at $5 \cdot 4 = 20$ på

Teller

Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.

Eksempel: I brøken $\frac{5}{9}$ , er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.

telleren

. Da får vi nemlig at

200 = 5 \cdot 40

2 000 = 5 \cdot 400

, så

2 200 = 5 \cdot 40 + 5 \cdot 400 = 5 \cdot 440

, så

\frac{2 200}{5} = \frac{5 \cdot 440}{5} = 440 .

Dermed er gjennomsnittlig lønn

440 000 kr

Svar: $440 000 kr$ , gitt at dataene er jevnt fordelt innenfor hver klasse.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

Statistikk

statistikk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Gjennomsnitt.

For å øve mer, se oppgavesettet om gjennomsnitt i Treningsleieren.

Oppgave 8 (4 poeng) Nettkode: E-4BXJ

Vinkelsummen i en trekant er $180^{\circ}$ .

a)

Bruk figurene ovenfor til å bestemme vinkelsummen i en firkant og i en femkant.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Firkanter og femkanter kan deles opp i trekanter som vist på tegningene.

Vi kan bruke

Vinkelsum

Summen av alle vinklene i en mangekant.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader og vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader.

vinkelsummen i en trekant

til å finne vinkelsummen i de andre figurene.

Vi tegner opp en hjelpetegning.

Ut i fra tegningen kan vi se at vinkelsummen til firkanten bare er summen av vinkelsummene i de to trekantene: $vinkelsum i ▫ A B C D = vinkelsum i Δ A B C + vinkelsum i Δ A C D .$ Dette blir altså lik $180^{\circ} + 180^{\circ} = 360^{\circ}$ . Vi kan være mer pedantiske og finne vinkelsummen med regning. Vinkelsummen i firkanten er $vinkelsum = ∠ D A B + ∠ A B C + ∠ B C D + ∠ C D A .$ Vi ser at $∠ D A B = ∠ D A C + ∠ C A B$ , og at $∠ B C D = ∠ B C A + ∠ A C D$ . Dette kan vi sette inn i vinkelsummen over, og vi får $vinkelsum = (∠ D A C + ∠ C A B) + ∠ A B C + (∠ B C A + ∠ A C D) + ∠ C D A .$ Nå kan vi gjøre om på rekkefølgen av leddene over. $vinkelsum = (∠ C A B + ∠ A B C + ∠ B C A) + (∠ D A C + ∠ A C D + ∠ C D A) .$ Men uttrykket i den første parentesen over er vinkelsummen i $Δ A B C$ , og det andre uttrykket er vinkelsummen i $Δ A C D$ , så vinkelsummen i firkanten er $180^{\circ} + 180^{\circ} = 360^{\circ}$ . Vi merker oss at alle firkanter kan deles inn i to trekanter på denne måten, så vinkelsummen i enhver firkant er $360^{\circ}$ .

Vi kan gjøre det samme for femkanten. Femkanter kan deles inn i tre trekanter, og da blir vinkelsummen i femkanten lik $3 \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}$ .

Svar: Vinkelsummen i en firkant er $360^{\circ}$ , og vinkelsummen i en femkant er $540^{\circ}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Femkant

Femkant er en geometrisk figur med fem sidekanter.

femkant

Firkant

En firkant er en geometrisk figur med fire hjørner og fire sidekanter.

firkant

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Vinkelsum

Summen av alle vinklene i en mangekant.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader og vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader.

vinkelsummen i en trekant

Geometri

Ordet kommer fra gresk og betyr jordmåling. Geometri er den delen av matematikken som handler om egenskaper, form og størrelser til 2D- og 3D-figurer. Geometrien ser på sammenhenger mellom vinkler, sider, sideflater og kanter, som gjør at vi kan utføre ulike beregninger med de ulike figurene.

geometri

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Vinkelsum i en mangekant.

b)

Bestem vinkelsummen i en sekskant og i en åttekant.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan dele inn de nye figurene inn i

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekanter

, akkurat som i deloppgave a).

Vi kan dele inn sekskanter og åttekanter slik som i forrige oppgave. En sekskant kan deles inn i $4$ trekanter:

Mens en åttekant kan deles inn i $6$ :

Dermed er vinkelsummen i en sekskant lik $4 \cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}$ , mens vinkelsummen i en åttekant er $6 \cdot 180^{\circ} = 1 080^{\circ}$ .

Svar: Vinkelsummen i en sekskant $720^{\circ}$ , og vinkelsummen i en åttekant er lik $1 080^{\circ}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Femkant

Femkant er en geometrisk figur med fem sidekanter.

femkant

Firkant

En firkant er en geometrisk figur med fire hjørner og fire sidekanter.

firkant

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Vinkelsum

Summen av alle vinklene i en mangekant.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader og vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader.

vinkelsummen i en trekant

Geometri

geometri

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Tom forteller om vinkler og vinkelmål.

c)

Trekanter, firkanter, femkanter og så videre kalles mangekanter.

I en mangekant er vinkelsummen $1800^{\circ}$ . Hvor mange kanter har denne mangekanten?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi kan prøve å finne et system ut i fra deloppgavene a) og b).

Vi kan løse denne oppgaven på to måter; den første går ut på å prøve seg frem, mens den siste går ut på å lage en generell formel for vinkelsummen i en $n$ -kant.

Vi kan få en firkant fra en trekant ved å “lime på” en trekant til en av sidene, slik som vist i a). Tilsvarende kan vi en femkant ved å “lime på” en trekant til en firkant. Hver gang vi limer på en trekant, adderer vi $180^{\circ}$ til vinkelsummen av mangekanten. En åttekant hadde vinkelsum $1 080^{\circ}$ . Legger vi til en trekant, slik at vi får en nikant, blir vinkelsummen $1 080^{\circ} + 180^{\circ} = 1 260^{\circ}$ . Legger vi på en trekant til blir vinkelsummen $1 440^{\circ}$ ; legger vi på enda en blir vinkelsummen $1 620^{\circ}$ , og legger vi på en siste trekant blir vinkelsummen $1 800^{\circ}$ , og det var det som var etterspurt. Vi har lagt til $4$ kanter på en åttekant, så figuren med vinkelsum $1 800^{\circ}$ er en tolvkant.

Vi kan generalisere dette. I en trekant er vinkelsummen $180^{\circ}$ . Legger vi på $n$ trekanter, så får vi en $n$ -kant, og denne har vinkelsum $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$ . Dette passer med at firkanter har vinkelsum $2 \cdot 180^{\circ}$ , at åttekanter har vinkelsum $6 \cdot 180^{\circ}$ , og så videre. Dermed er vi ute etter det tallet $n$ som gir en vinkelsum på $(n - 2) \cdot 180^{\circ} = 1 800^{\circ}$ . Vi ser at vi kan multiplisere $180^{\circ}$ med $10$ for å få $1 800^{\circ}$ ; dermed er $n - 2 = 10$ så $n = 12$ . Derfor har mangekanten $12$ kanter.

Svar: $12$ kanter.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Mangekant

En mangekant er en geometrisk lukket figur som er satt sammen av rette linjestykker. Kalles også en polygon.

Eksempel: trekant, firkant, femkant (pentagon) og sekskant (heksagon).

mangekant

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Vinkelsum

Summen av alle vinklene i en mangekant.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader og vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader.

vinkelsummen i en trekant

Geometri

geometri

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Vinkelsum i en mangekant.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng) Nettkode: E-4BXO

Stortinget ved starten av perioden 2009-2013
Parti	Antall representanter
Arbeiderparti	64
Fremskrittspartiet	41
Høyre	30
Sosialistisk Venstreparti	11
Senterpartiet	11
Kristelig Folkeparti	10
Venstre	2

a)

Lag et sektordiagram som illustrerer opplysningene gitt i tabellen ovenfor.

Løs oppgaven her

b)

Stortinget ved starten av perioden 2009-2013
Parti	Antall kvinner	Antall menn
Arbeiderparti	32	32
Fremskrittspartiet	10	31
Høyre	9	21
Sosialistisk Venstreparti	3	8
Senterpartiet	7	4
Kristelig Folkeparti	4	6
Venstre	2	0

Lag et passende diagram som illustrerer opplysningene gitt i tabellen ovenfor.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan bruke regneark. Et

Stolpediagram

Et søylediagram uten bredde på søylene.

Søyle- og stolpediagram brukes ofte om hverandre, og forskjellen er bare en definisjonssak.

Se Søylediagram

stolpediagram

kan kanskje være passende for denne tabellen.

Vi bruker Excel. Det første vi gjør er som vanlig å legge inn tabellen i regnearket.

Vi markerer tabellen, og trykker “Sett inn” for å finne et passende diagram. Vi velger et gruppert stolpediagram, for da er det lett å se hvor mange kvinner og menn som har stemt på de diverse partiene. Resultatet er vist under.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om regneark,

Stolpediagram

Et søylediagram uten bredde på søylene.

Søyle- og stolpediagram brukes ofte om hverandre, og forskjellen er bare en definisjonssak.

Se Søylediagram

stolpediagram

Statistikk

statistikk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Søyle- og stolpediagram i lynkurset Statistikk (del II). Lynkurset om regneark er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om søylediagram i Treningsleieren.

Oppgave 2 (6 poeng) Nettkode: E-4BXT

Familien din er på ferie og skal leie en bil. Tabellen nedenfor viser hvor mye det koster å leie bilen hvis dere kjører 100 km, og hvor mye det koster hvis dere kjører 150 km.

Antall kilometer	100	150
Pris (kroner)	500	625

Det er en lineær sammenheng mellom antall kilometer og pris.

a)

Hva vil det koste å leie bilen dersom dere skal kjøre 300 km?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Siden det er en

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær

sammenheng mellom antall kilometer og pris, så vil en økning i kjørelengde på

50

kilometer gi samme økning i pris uansett hvor langt man har kjørt.

Det koster $500 kr$ å kjøre $100 km$ , og $625 kr$ for å kjøre $150 km$ . Det betyr at det koster $625 kr - 500 kr = 125 kr$ ekstra per $50$ kilometer man kjører. Hvis vi skal kjøre bilen i $300 km$ , så må vi legge til $3 \cdot 125 kr$ til prisen det koster å kjøre $150 km$ . Dermed har vi pris for $300 km$ er lik

$pris for 150 km + 3 \cdot 125 kr = 625 kr + 375 kr = 1 000 kr$ .

Svar: $1 000 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleieren.

b)

Dersom dere kjører $x$ km, må dere betale $y$ kroner.

Bestem en modell på formen $y = a x + b$ som viser sammenhengen mellom $x$ og $y$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Graf

Grafen

til

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjonen

y = a x + b

er en rett linje, så alt vi trenger for å finne modellen er to punkter på linjen. Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. Eventuelt kan vi bruke regning.

Vi finner den lineære (rette) modellen i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. Først legger vi inn de to punktene på

Graf

grafen

som vi har fra a), nemlig

(100, 500)

(150, 625)

. Punktet

(100, 500)

er på grafen fordi det koster

500 kr

å kjøre

100 km

, og tilsvarende for det andre punktet. Vi finner den rette linjen mellom punktene, høyreklikker og trykker “Likning

y = a x + b

” for å få likningen på kjent form.

Her ser vi at likningen til modellen vår er $y = 2, 5 x + 250$ .

Alternativ løsning

Vi kan også finne denne likningen ved regning. Det koster $125 kr$ ekstra å kjøre $50 km$ ; per kilometer blir dette $\frac{125 kr}{50} = 2, 5 kr$ . Det betyr at når $x$ øker med én i uttrykket $y = a x + b$ , så øker $y$ med $2, 5$ . Derfor er $2, 5$

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

til linjen, så

a = 2, 5

. Vi vet at det koster

500 kr

å kjøre

100 km

, så

500 = 2, 5 \cdot 100 + b .

Høyre side blir

250 + b

. Vi kan trekke fra

250

på begge sider av likhetstegnet; da får vi

b = 500 - 250 = 250

. Derfor er likningen til linjen

y = 2, 5 x + 250

Svar: $y = 2, 5 x + 250$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

Graf

graf

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Førstegradslikninger. For mer om lineære funksjoner se artiklene Fra en funksjon til en graf og Fra en graf til en funksjon i lynkurset Funksjoner (del I).

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleieren.

c)

Gi en praktisk tolkning av tallene $a$ og $b$ i denne oppgaven.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Tallet $a$ er

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

, og

b

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddet

Vi vet at hvis man reiser $x$ kilometer, så må man betale $2, 5 x + 250$ kroner. Hvis vi reiser i $0 km$ , så må vi betale $2, 5 \cdot 0 + 250 = 250$ kroner. Det betyr at det koster $250 kr$ å leie bilen i utgangspunktet, så startprisen er $250 kr$ . Videre koster det $2, 5 kr$ per kilometer vi kjører.

Svar: Tallet $b$ er hvor mye det koster å leie bilen i utgangspunktet, og $a$ er antall kroner det koster å kjøre per kilometer.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Hvorfor ser grafen ut som den gjør?.

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleieren.

Oppgave 3 (3 poeng) Nettkode: E-4BXX

Petter vil sende en e-post med en matematikkoppgave til to personer 1. januar. Anta at hver av de to personene sender e-posten videre til to nye personer dagen etter, at hver av de fire som da får den, også sender den videre til to nye personer dagen etter at de mottok den, og at e-posten fortsetter å spres på samme måte i dagene framover.

a)

Hvor mange personer vil motta e-posten 6. januar?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Antall personer som sender e-posten dobles hver dag.

$1$ . januar sendes (og mottas) det $2$ e-poster. $2$ . januar sender hver av disse $2$ e-poster hver, og så da mottas det $2 \cdot 2 = 4$ e-poster. Den $3$ . januar sender hver av disse $2$ e-poster, så det mottas $4 \cdot 2 = 8$ e-poster. Hver dag dobles altså antall e-poster mottatt. Den $4$ . januar mottas det $8 \cdot 2 = 16$ e-poster, den $5$ . januar mottas det $16 \cdot 2 = 32$ e-poster, og den 6. januar mottas det $32 \cdot 2 = 64$ e-poster. Generelt mottas det $2^{n}$ e-poster etter $n$ dager.

Svar: $64$ e-poster

Mer om:

Denne oppgaven er om

Potens

potens

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Potenser med samme grunntall.

For å øve mer, se oppgavesettet om potensregning i Treningsleieren.

b)

På hvilken dato vil antall mottatte e-poster på én dag for første gang bli større enn én milliard?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Fra deloppgave a) vet vi at det mottas $2^{n}$ e-poster etter $n$ dager. Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

Vi vil finne ut hvor stor $n$ må være for at $2^{n}$ skal være større enn én milliard ( $= 1 000 000 000 = 10^{9}$ ). Det kan vi gjøre ved å prøve å sette inn større og større tall for $n$ , eller så kan vi løse problemet grafisk. Vi finner ved prøving og feiling at

$2^{29} < 10^{9} < 2^{30}$

så første dag med mer enn én milliard mottatte e-poster er 30. januar.

Alternativ løsning

Vi tegner

Graf

grafen

til

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjonen

f (n) = 2^{n}

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. Vi vil finne ut når grafen til

f

krysser linjen

y = 10^{9}

. Det gjør vi ved å bruke verktøyet “Skjæring mellom to objekt”.

Her ser vi at $f (30) \approx 10^{9}$ , altså at $2^{30} \approx 10^{9} = 1 milliard$ . Det betyr at det mottas 1 milliard e-poster den 30. januar.

Svar: Den 30. januar.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Potens

potens

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

For flere eksempler og forklaringer om skjæringspunkter se artikkelen Grafisk løsning av likninger og mer om potensregning i artikkelen Oppsummering av regneregler for potenser.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkter i Treningsleieren.

Visste du at:

Denne oppgaven viser hvor utrolig stort eksponentiell vekst kan være. Her er også forklaringen for hvorfor kjedebrev når veldig mange.

Oppgave 4 (7 poeng) Nettkode: E-4BY5

Tabellene nedenfor viser resultatene for de åtte beste utøverne på 1500 m skøyter for menn under OL i 1968 og under OL i 2010.

OL 1968

OL 2010

a)

Hvor mange prosent sank vinnertiden med fra 1968 til 2010?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

og regning med

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

. Vinnertiden sank fra

123, 4

sekunder til

105, 57

sekunder.

Vi vil finne ut hvor mange prosent vinnertiden sank med fra $1968$ til $2010$ . Hvis $x$ er

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktoren

fra

1968

til

2010

, så skal altså

123, 4 \cdot x = 105, 57 .

Hvis vi kan finne denne vekstfaktoren, så kan vi konvertere til prosent og få svaret. Vi dividerer begge sider i uttrykket over med tallet foran

x

og forkorter. Da får vi at

\begin{matrix} \frac{123, 4 \cdot x}{123, 4} = \frac{105, 57}{123, 4}, \\ x = \frac{105, 57}{123, 4} . \end{matrix}

Da får vi at

x \approx 0, 8555 = 85, 55 %

. Dette tolkes til at vinnertiden i

2010

var

85, 55 %

av vinnertiden i

1968

. Derfor har vinnertiden sunket med cirka

100 % - 85, 55 = 14, 45 %

Svar: Cirka $14, 45 %$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Prosent

Prosent betyr hundredel og skrives %.

Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 25 %$ .

prosent

Vekstfaktor

Er en prosentvis endring hvor vi ser på en økning eller en nedgang av en verdi.

Eksempel: en vekstfaktor på 1,15 betyr 15 % økning. Tilsvarende vil en vekstfaktor på 0,85 bety 15 % nedgang.

vekstfaktor

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Prosent av hva da?.

For å øve mer, se oppgavesettet om prosentregning i Treningsleieren.

b)

Bestem gjennomsnittstiden for de åtte beste i 1968 og for de åtte beste i 2010.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi skal finne

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnittet

av tidene som er summen av tidene dividert med antall deltakere. Dette kan vi regne enten for hånd eller i regneark.

Hvis vi skulle ha regnet ut

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnittet

med regning, måtte vi ha lagt sammen de

8

beste tidene og dividert dette med

8

. Dette vil ta mer av eksamenstiden enn å regne det ut med hjelp av et regneark, spesielt siden vi må bruke regneark i neste oppgave også. Derfor legger vi inn informasjonen i et regneark; vi bruker Excel.

Vi kan finne gjennomsnittene på to måter. Enten kan vi gjøre det manuelt, ved å summere opp tallene i hver kolonne og dividere med $8$ . For $1968$ gjør vi dette ved å skrive

=SUMMER(C2:C9)/8

(C2:C9 refererer til rutene C2, C3, ..., C9, og det er i disse rutene tidene ligger i.) Vi kan også bruke Excels innebygde funksjoner, ved å skrive

=GJENNOMSNITT(C2:C9)

Uavhengig av hvilken metode vi bruker, får vi at gjennomsnittet i $1968$ var cirka $125, 1$ sekunder, mens gjennomsnittet i $2010$ var cirka $106, 36$ sekunder. Vi bruker samme antall desimaler som dataene som er oppgitt.

Svar: Gjennomsnittet i $1968$ var cirka $125, 1$ sekunder, og gjennomsnittet i $2010$ var cirka $106, 36$ sekunder.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Gjennomsnitt

Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.

gjennomsnitt

, regneark og

Statistikk

statistikk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Gjennomsnitt.

For å øve mer, se oppgavesettet om gjennomsnitt i Treningsleieren.

c)

Bestem standardavviket for de to tallmaterialene.

Hvorfor er standardavviket større i 1968 enn i 2010?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi skal finne

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

standardavviket

. Standardavvik av et datasett er et mål på hvor spredt dataene er. Vi kan finne standardavvik ved hjelp av regneark.

Vi bruker samme regneark som i forrige oppgave. Vi bruker Excels innebygde funksjon for å finne

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

standardavvikene

, og for

1968

skriver vi

=STDAV.P(C2:C9)

Vi bruker STDAV.P fordi vi vil regne ut standardavviket for hele datasettet. Hvis vi hadde brukt STDAV, ville vi fått estimerte verdier basert på utvalg.

Det er det samme med $2010$ , bare at vi bytter ut $C$ med $D$ . Da får vi følgende regneark.

Standardavviket til tidene i $1968$ var cirka $0, 71$ , og standardavviket for $2010$ var cirka $0, 39$ . Vi ser at tidene i $1968$ ligger mellom $123, 4$ til $126, 1$ sekunder, mens tidene i $2010$ ligger mellom $105, 57$ og $106, 77$ , altså et betydelig mindre intervall. Vi ser dermed at tidene i $1968$ varierer mer enn tidene i $2010$ , og det er akkurat derfor standardavviket er størst i $1968$ .

Svar: Standardavviket til tidene i $1968$ var cirka $0, 71$ sekunder, og standardavviket for $2010$ var cirka $0, 39$ sekunder. Standardavviket i $1968$ er større enn i $2010$ fordi de åtte beste tidene varierte mer i $1968$ enn i $2010$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Standardavvik

Standardavviket er kvadratroten av variansen. Dette er på en måte et forventet avvik fra gjennomsnittet.

standardavvik

, regneark og

Statistikk

statistikk

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Varians og standardavvik.

Oppgave 5 (8 poeng) Nettkode: E-4BYC

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom diameteren til en dorull og hvor mange meter papir som er brukt av dorullen.

Antall meter papir som er brukt av dorullen	0	2	6	10	12
Dorullens diameter (millimeter)	102	96	83	72	67

a)

Tegn et koordinatsystem med meter som enhet langs $x$ -aksen og millimeter som enhet langs $y$ - aksen. Marker verdiene fra tabellen ovenfor som punkter i koordinatsystemet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Vi kan bruke

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

for å tegne et

Koordinatsystem

koordinatsystem

med

x-akse

Den horisontale aksen i et koordinatsystem.
Kalles også førsteakse.

x-aksen

y-akse

Den loddrette aksen i et koordinatsystem.
Kalles også andreaksen.

y - aksen

Først skriver vi inn alle punktene i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. Punktene er

(0, 102)

(2, 96)

, og så videre. Deretter tilpasser vi aksene slik at vi ser alle punktene. Vi velger passende navn til aksene. Resultatet er vist under.

Svar:

Mer om:

Denne oppgaven er om

Koordinatsystem

koordinatsystem

Graf

graf

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabell

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Å lage en matematisk modell. Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjoner i praktiske situasjoner i Treningsleieren.

b)

Bruk regresjon til å bestemme en lineær funksjon som passer godt med punktene fra oppgave 5 a). Tegn grafen til funksjonen i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave 5 a).

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi bruker

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

-filen fra deloppgave a) for å finne den

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjonen

Vi kan finne den

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjonen

som passer best med punktene ved å bruke RegLin-funksjonen i GeoGebra. De seks punktene vi lagde i koordinatsystemet i sted, ble hetende

A

B

C

D

E

. Vi finner linjen ved å skrive

RegLin[A, B, C, D, E]

i “Skriv inn”-feltet i GeoGebra. Resultatet er vist under. Vi høyreklikker på linjen i algebrafeltet, og velger “Likning $y = a x + b$ ” for å få ligningen til linjen på den kjente formen. Vi ser at linjen har ligningen $y = - 2, 94 x + 101, 65$ .

Svar: Linjen har likningen $y = - 2, 94 x + 101, 65$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likning

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Regresjon 1.

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjoner i praktiske situasjoner i Treningsleieren.

c)

En tom dorull har en diameter på 38 mm.

Hvor mange meter papir er det på en ny dorull ifølge modellen i oppgave 5 b)?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Dorullen er tom når diameteren er på $38$ millimeter. Vi lurer på hvor mange meter dopapir som er brukt når dorullen har denne diameteren.

Vi er ute etter å finne hvor mange meter dopapir som er brukt når diameteren til dorullen er $38 mm$ . Det gjør vi ved å finne ut når den

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære funksjonen

vi fant i deloppgave b), treffer linjen

y = 38

. Vi tegner den

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstante

linjen ved å skrive

y = 38

i “Skriv inn”-linjen i den samme

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

-filen som før. Vi må tilpasse aksene slik at vi ser

Skjæringspunkt

skjæringspunktet

mellom de to linjene, og vi finner koordinatene til skjæringspunktet ved å trykke på det stedet linjene møtes, eller bruke skjæringsverktøyet.

Vi ser at skjæringspunktet har koordinater $(21.63, 38)$ . Det tolkes slik: Når vi har brukt $21, 63$ meter dopapir, så er diameteren til dorullen $38$ millimeter, altså er dorullen tom. Det må bety at det er $21, 63$ meter dopapir på dorullen når den er ny.

Svar: $21, 63$ meter

Mer om:

Denne oppgaven er om

Skjæringspunkt

skjæringspunkt

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Linje

En rett linje som vanligvis kalles linje, er en rett strek som har en posisjon og retning. En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

linje

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Grafisk løsning av likninger.

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkter i Treningsleieren.

d)

På pakken med doruller står det at hver dorull inneholder 160 ark. Hvert ark er 14 cm langt.

Hvordan stemmer modellen i oppgave 5 b) med dette?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker:

Vi må finne ut hvor mange meter dopapir det er på rullen i følge pakken, og sammenligne med svaret vi fant i forrige oppgave.

Hvis hvert ark er $14 cm$ langt og hver dorull har $160$ ark, så må det være $14 cm \cdot 160 = 2 240 cm = 22, 4 m$ dopapir på hver dorull. I følge modellen vår er det $21, 63$ meter, så vi var ikke så langt unna.

Svar: I følge pakken er det $22, 4 m$ dopapir per rull, og i følge modellen vår er det $21, 63 m$ . Det er en akseptabel feilmargin.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Hva er matematisk modellering?.

Oppgave 6 (6 poeng) Nettkode: E-4C0R

Bilmerke		Volvo
Bilmodell		V50

Nybilpris i 2006		299 990
Antatt verdi i 2011		171 000
Verditap		128 900
Verditap årlig		25 780

I 2011 kjøpte Helene en bruktbil. Hun fant da tabellen ovenfor på Internett. Alle beløp er oppgitt i kroner.

a)

Forklar at det årlige verditapet på bilen er beregnet ved hjelp av en lineær modell, og bestem denne modellen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker:

Verditapet er en konstant sum per år. Det er en

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær

sammenheng.

Bilen var verdt $299 990 kr$ i utgangspunktet, og i følge tabellen mistet den $25 780 kr$ i verdi årlig. Det betyr at etter ett år, så var bilen verdt $299 990 kr - 25 780 kr$ ; etter to år var bilen verdt $299 990 kr - 2 \cdot 25 780 kr$ , og så videre. Etter $x$ år var bilen dermed verdt $299 990 kr - x \cdot 25 780 kr .$ Hvis $f (x)$ er bilens verdi i kroner etter $x$ år, så er altså $f (x) = - 25 780 x + 299 990 .$ Dette er modellen som er brukt i tabellen, og det er på formen $a x + b$ , så modellen er lineær.

Svar: Hvis $f (x)$ er bilens verdi i kroner etter $x$ år, så er $f (x) = - 25 780 x + 299 990$ (i følge tabellens modell). Dette funksjonsuttrykket er på formen $y = a x + b$ , så modellen er lineær.

Mer om:

Denne oppgaven er om

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

tabell

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om lineære funksjoner i Treningsleieren.

b)

Helene lurer på om det vil være mer realistisk å bruke en eksponentiell modell.

Bestem en eksponentiell modell som totalt gir samme verditap på bilen fra 2006 til 2011 som den lineære modellen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker:

Vi kan finne en

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentiell

modell ved å bruke

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

Vi bruker

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

. Vi skal finne en

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentiell

modell for prisen av bilen. For å finne en eksponentiell modell, må vi først ha noen punkter som er grunnlaget for modellen. Det eneste vi skal regne ut modellen fra, er prisen fra

2006

og den antatte verdien i

2011

. La

x

være antall år etter

2006

. I

2006

var bilen verdt

299 990 kr

, så når

x = 0

er prisen

P (x)

lik

299 990

. Derfor skriver vi inn punktet

(0, 299 990)

. Videre er den antatte prisen i

2011

lik

171 000 kr

, så vi skriver inn punktet

(5, 171 000)

. Disse punktene blir hetende

A

B

. Vi finner den eksponentielle modellen ved å skrive

P(x) = RegEksp[A, B]

i “Skriv inn”-vinduet i GeoGebra.

Vi ser at den eksponentielle modellen har funksjonsuttrykk $P (x) = 299 990 \cdot 0, 89^{x}$ .

Svar: Hvis $P (x)$ er verdien til bilen $x$ år etter $2016$ , så er $P (x) = 299 990 \cdot 0, 89^{x}$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

Potens

potens

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Johannes viser eksponential- og logaritmefunksjoner og lynkurset Kultur og modellering.

For å øve mer, se oppgavesettet funksjoner i praktiske situasjoner i Treningsleieren.

c)

Hva er Helenes bil verd i 2013 ifølge den lineære modellen?

Hva er Helenes bil verd i 2013 ifølge den eksponentielle modellen?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker:

Vi bruker den

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære

og den

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentielle

modellen vi har funnet i deloppgavene a) og b).

Den

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineære

modellen fra a) var

P_{1} (x) = - 25 780 x + 299 990

, og den

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentielle

modellen fra b) var

P_{2} (x) = 299 990 \cdot 0, 89^{x}

. Vi skal finne ut hvor mye bilen er verdt i

2013

, altså der

x = 7

. Det gjør vi ved å regne ut

P_{1} (7)

P_{2} (7)

. Vi får at

\begin{matrix} P_{1} (7) & = - 25 780 \cdot 7 + 299 990 = 119 530, \\ P_{2} (7) & = 299 990 \cdot 0, 89^{7} \approx 132 690 . \end{matrix}

Dermed har vi at bilen vil være verdt

119 530 kr

i følge den lineære modellen, og

132 690 kr

i følge den eksponentielle modellen.

Svar: I følge den lineære modellen vil bilen være verdt $119 530 kr$ , og i følge den eksponentielle modellen vil den være verdt $132 690 kr$ .

Mer om:

Denne oppgaven er om

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen $f (x) = a x + b$ .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.

lineær funksjon

Eksponentialfunksjon

En matematisk funksjon på formen a^x. Funksjonen er et potensuttrykk der x er eksponenten.

Brukes mest om funksjonen e^x.

eksponentialfunksjon

Matematisk modell

Matematiske modeller brukes ofte for å beskrive fenomener i naturen.

matematisk modell

For flere eksempler og forklaringer se artikkelen Hva er matematisk modellering?.

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjoner i praktiske situasjoner i Treningsleieren.

MAT1015 2013 Vår

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (5 poeng) Nettkode: E-4BUZ

a)

Løsningsforslag a)

Median

Gjennomsnitt

Typetall

Median

Gjennomsnitt

Typetall

Median

Gjennomsnitt

Typetall

Statistikk

b)

Løsningsforslag b)

Frekvens

Kumulativ frekvens

Frekvenstabell

Frekvens

Kumulativ frekvens

Frekvens

Kumulativ frekvens

Statistikk

Oppgave 2 (1 poeng) Nettkode: E-4BV2

Løsningsforslag

Standardform

Standardform

Potens

Grunntall

Potens

Grunntall

Eksponent

Standardform

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4BV4

Løsningsforslag

Potens

Primtallsfaktorisering

Eksponent

Potens

Grunntall

Potens

Grunntall

Eksponent

Brøk

Oppgave 4 (5 poeng) Nettkode: E-4BV7

a)

Løsningsforslag a)

Lineære funksjoner

Graf

Stigningstall

Konstant

Lineære funksjoner

Matematisk modell

b)

Løsningsforslag b)

Konstant

Stigningstall

Graf

Koordinatsystem

Akse

Lineære funksjoner

y-akse

Lineære funksjoner

Matematisk modell

Graf

Skjæringspunkt

Koordinatsystem

Stigningstall

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4BWN

Løsningsforslag

Tabell

Potens

Oppgave 6 (3 poeng) Nettkode: E-4BXC

a)

Løsningsforslag a)