Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

MAT1013 2015 Høst

Del 1
Del 2
Eksamensinformasjon

Eksamenstid:

5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:

Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Del 2:

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Del 1 har 14 oppgaver. Del 2 har 6 oppgaver.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling.

Bruk av digitale verktøy som «graftegner» og «CAS» skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse
gjennomfører logiske resonnementer
ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
forklarer framgangsmåter og begrunner svar
skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger
vurderer om svar er rimelige

Andre opplysninger:

Kilder for bilder, tegninger osv.

Elbiler i kollektivfelt:
http://e24.no/bil/fire-av-fem-kjoeretoey-i-kollektivfeltet-er-elbiler/23273402 (01.05.2015)
Andre tegninger, grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4BOI

Regn ut og skriv svaret på standardform

$1, 8 \cdot 10^{12} \cdot 0, 0005$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

$1, 8 \cdot 10^{12}$ er allerede et

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

. Vi skriver derfor

0, 0005

på standardform og regner ut.

Vi skriver først $0, 0005$ som et tall på standardform.

$0, 0005 = 5 \cdot 10^{- 4}$

Dette setter vi inn i uttrykket vi startet med.

$1, 8 \cdot 10^{12} \cdot 0, 0005 = 1, 8 \cdot 10^{12} \cdot 5 \cdot 10^{- 4}$

Vi bruker potensregelen som sier at i produktet av to potenser med sammen grunntall kan eksponentene adderes,

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} der a \in ℝ, m, n \in ℕ$

Vi har at

$1, 8 \cdot 5 \cdot 10^{12 - 4} = 9 \cdot 10^{8}$

Svar: $9 \cdot 10^{8}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Standardform

Et tall skrevet på formen ± a⋅10ⁿder a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.

Eksempel: $3 \cdot 10^{6} o g - 5, 2 \cdot 10^{21}$

tall på standardform

Flere eksempler og forklaringer se artikkelen Tall på standardform og Potenser med samme grunntall.

For å øve mer, se oppgavesettet om tall på standardform i Treningsleiren.

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4BON

Løs likningssystemet

$[\begin{matrix} 2 x + 3 y = 13 \\ 4 x - 2 y = 2 \end{matrix}]$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Løsningen av et likningssystem er tallparet $x og y$ som tilfredsstiller begge likningene. Vi finner tallparet ved hjelp av addisjonsmetoden eller ved substitusjon.

I denne oppgaven ser vi at hvis vi multipliserer øverste likning med $- 2$ og legger sammen de to likningene, vil vi eliminere $x$ og kunne finne $y .$ Derfor velger vi her addisjonsmetoden. Se alternativ løsning for substitusjonsmetoden.

Vi multipliserer alle ledd i den øverste likningen med $- 2$

$2 x \cdot (- 2) + 3 y \cdot (- 2) = 13 \cdot (- 2)$

$- 4 x - 6 y = - 26$

Nå adderer vi likningene, to høyresidene med hverandre og de to venstresidene med hverandre:

$- 4 x - 6 y + (4 x - 2 y) = - 26 + 2$

$4 x - 4 x - 2 y - 6 y = - 24$

$- 8 y = - 24$

som gir oss $y = 3$ .

Vi kan nå finne $x$ ved å sette inn $y = 3$ i en av likningene. Det er valgfritt hvilken av de to likningene man velger. Vi setter inn $y = 3$ i den første likningen og får at

$2 x + 3 y = 13$

$2 x + 3 \cdot 3 = 13$

$2 x = 13 - 9$

$2 x = 4$

$x = 2$

Alternativ løsning

Vi løser likningssystemet ved hjelp av substitusjon. Vi skriver om den første likningen:

\begin{matrix} 2 x + 3 y & = & 3 \\ 2 x & = & 3 - 3 y \\ x & = & \frac{3 - 3 y}{2} \end{matrix}

Nå kan vi sette dette inn for $x$ i den andre likningen:

$\begin{matrix} 4 x - 2 y & = & 2 \\ 4 \cdot \frac{13 - 3 y}{2} - 2 y & = & 2 \\ 4 (13 - 3 y) - 4 y & = & 4 \end{matrix}$

Legg merke til at vi multipliserte alle ledd på begge sider av likningen med $2$ slik at vi ikke behøver å regne med brøk. Vi løser opp parentesen og regner ut.

$\begin{matrix} 52 - 12 y - 4 y & = & 4 \\ 52 - 16 y & = & 4 \\ - 16 y & = & - 48 \\ \frac{- 16 y}{- 16} & = & \frac{- 48}{- 16} \\ y & = & 3 \end{matrix}$

Nå setter vi inn

$y = 3$ i $x = \frac{13 - 3 y}{2}$ og regner ut:

$x = \frac{13 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Svar: $x = 2$ og $y = 3$

Mer om

Denne oppgaven er om

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystem

Flere forklaringer og eksempler finner du i artiklene Addisjonsmetoden og Substitusjonsmetoden i lynkurset Lineære likninger med flere ukjente.

For å øve mer, se oppgavesettet om likningssystem i Treningsleieren.

Visste du at?

Vi sjekker om svaret er riktig ved å sette svaret på prøve. For å sette svaret på prøve setter vi inn verdiene for $x og y$ i likningssystemet. Hvis høyresiden er lik venstresiden i begge likningene har vi funnet svaret. Hva betyr det egentlig at likningssystemet har løsning $x = 3$ og $y = 2$ ? Husk at likningene er rette linjer, og løsningen gir oss skjæringspunkt for disse to linjene.

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4BOP

Løs ulikheten

$- 2 x^{2} + 6 x < 0$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi kan forsøke å faktorisere $- 2 x^{2} + 6 x$ og deretter tegne et fortegnsskjema.

Fordi $x$ er en faktor i begge ledd, skriver vi

$- 2 x^{2} + 6 x = x (- 2 x + 6)$

Nå har vi et produkt av faktorene $x og (- 2 x + 6)$ . Vi tegner et fortegnsskjema for hver faktor og deretter ser på produktet av disse.

$- 2 x + 6 = 0$ i $x = 3$ , positiv for mindre verdier og negativ for større.

Fortegnet til $x$ er positivt for alle tall større enn $0$ og negativ for alle tall mindre enn $0$ .

Vi setter fortegnsskjemaene for $- 2 x + 6$ og $x$ sammen for å finne fortegnet til produktet:

Svar: $- 2 x^{2} + 6 x < 0$ for $x \in (\leftarrow, 0) \cup (3, \to)$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om ulikheter.

Flere forklaringer og eksempler ser du i artiklene Fortegnsskjema og Ulikheter av høyere grad i lynkurset Ulikheter.

For å øve mer, se oppgavesettet om ulikheter i Treningsleiren.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4BOR

Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig

${(\sqrt{2})}^{2} - \frac{\sqrt{8}}{2} + \sqrt[3]{8} - \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi kan se at alle ledd er potenser av $2$ . Vi bruker potensreglene for å forenkle og trekke sammen leddene.

Alle leddene inneholder potenser av $2$ , og vi kan ta for oss hvert ledd slik at vi får potenser med grunntall $2$ og kan deretter bruke potensregler for å trekke leddene sammen.

Vi bruker følgende potensregler:

$\sqrt[m]{a} = a^{\frac{1}{m}} der a \in ℝ slik at \sqrt[m]{a} er definert$
${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} der a, m, n \in ℝ$

Vi begynner med det første leddet, og ved å bruke de to potensreglene får vi:

$(\sqrt{2})^{2} = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{1} = 2$

I det andre leddet kan vi faktorisere uttrykket under rottegnet. Da får vi

$- \frac{\sqrt{8}}{2} = - \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{2} = - \frac{2 \sqrt{2}}{2} = - \sqrt{2}$

I det tredje leddet bruker vi igjen den første og andre regelen og at $8 = 2^{3}$ og skriver

$\sqrt[3]{8} = {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2$

I det siste leddet skal vi ta kubikkroten både over og under brøkstreken, og da kan vi ta kubikkroten over hele brøken og forkorte

$- \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}} - \sqrt[3]{\frac{128}{2}} = - \sqrt[3]{64}$ .

Vi har at $2^{6} = 64$ slik at vi kan skrive

$\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{2^{6}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{3}} = 2^{2} = 4$ .

Vi setter sammen de forenklede leddene (pass på å ha med riktige regneoperatorer mellom dem) og regner ut:

$(\sqrt{2})^{2} - \frac{\sqrt{8}}{2} + \sqrt[3]{8} - \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}} = 2 - \sqrt{2} + 2 - 4 = - \sqrt{2}$

Svar: $- \sqrt{2}$

Mer om

Denne oppgaven handler om å løse opp

Rot

Se Kvadratrot

røtter

Potens

En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen $x^{n}$ , som leses x opphøyd i n-te.

Eksempel: $4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4$

potenser

Flere forklaringerog eksempler på hvordan vi løser opp potenser finner du i lynkurset Potenser og røtter.

For å øve mer, se oppgavesettet om potenser i Treningsleiren.

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4BOT

Likningen $x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x_{1} = - 4$ og $x_{2} = 2$ .

Bestem $b$ og $c$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Når vi vet nullpunktene til polynomet kan vi faktorisere andregradspolynomet som $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ . Da kan vi videre multiplisere ut og finne $b$ og $c$ .

For et andregradspolynom, ${a x}^{2} + b x + c$ , med nullpunktene $x = x_{1} og x = x_{2}$ har vi

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

I polynomet vi får oppgitt er $a = 1$ , så vi kan faktorisere

$x^{2} + b x + c = (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Vi setter inn for nullpunktene, $x_{1} = - 4$ og $x_{2} = 2$ :

$(x - (- 4)) (x - 2) = (x + 4) (x - 2) = x^{2} - 2 x + 4 x - 8$

$= x^{2} + 2 x - 8$

Svar: $b = 2 og c = - 8$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

andregradspolynomer

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisering

Flere forklaringer og eksempler finner du i artikkelen Faktorisering av andregradsuttrykk i lynkurset Andregradslikninger.

For å øve mer, se oppgavesettene om faktorisering og andregradslikninger i Treningsleiren.

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4BOV

Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig

$\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 3}{2 x - 2} + \frac{1}{2}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

For å trekke sammen brøker, må de ha fellesnevner. Vi kan faktorisere nevnerne for å finne denne.

I det første og siste leddet i brøken kan ikke nevnerne faktoriseres, men nevneren i andre brøken kan vi faktorisere,

$2 x - 2 = 2 (x - 1)$

Vi ser at faktorene i denne er nevnerne i de to andre brøkene. Derfor kan vi nå utvide de andre brøkene slik at de også får fellesnevneren.

Det første leddet utvider vi ved å multiplisere med $\frac{2}{2}$ og det siste med $\frac{x - 1}{x - 1}$ :

$\frac{2}{2} \cdot \frac{(x + 1)}{(x - 1)} - \frac{x - 3}{2 x - 2} + \frac{(x - 1)}{(x - 1)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 x + 2}{2 x - 2} - \frac{x - 3}{2 x - 2} + \frac{x - 1}{2 x - 2}$

Nå kan vi sette på felles brøkstrek og trekke sammen like ledd

$\frac{2 x + 2 - (x - 3) + (x - 1)}{2 x - 2} = \frac{2 x + 2 - x + 3 + x - 1}{2 x - 2} = \frac{2 x + 4}{2 x - 2}$

Både teller og nevner kan igjen faktoriseres,

$\frac{2 x + 4}{2 x - 2} = \frac{2 (x + 2)}{2 (x - 1)} = \frac{x + 2}{x - 1}$

Svar: $\frac{x + 2}{x - 1}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

Utvide brøk

Å utvide en brøk betyr å multipliseres teller og nevner med samme tall. Brøken beholder samme verdi.

Eksempel: $\frac{3}{7}$ er utvidet til $\frac{6}{14}$ , fordi $\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$

utvide brøk

, forkorte brøk og

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisering

Flere eksempler og forklaringer finner du i artikkelen Delbrøksoppspalting.

For å øve mer, se oppgavesettet om forenkling av sammensatte rasjonale uttrykk i Treningsleiren.

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4BOX

Skriv så enkelt som mulig

$\frac{x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}}{3 x y - 6 y^{2}}$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

For å forenkle en

Brøk

Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.

Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.

brøk

, må vi

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisere

Teller

Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.

Eksempel: I brøken $\frac{5}{9}$ , er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.

teller

Nevner

Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.

Eksempel : $\frac{3}{7}$ . Tallet 7 er nevneren.

nevner

og forkorte eventuelle fellesfaktorer.

Vi begynner med å faktorisere teller og nevner hver for seg og ser om de har noen felles faktorer som vi kan forkorte.

Vi ser først på telleren, og vi kan faktorisere denne ved å bruke

Andre kvadratsetning

Andre kvadratsetning sier at

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

den andre kvadratsetningen

. Det går også an å bruke

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

, se da alternativ løsning.

Ser vi på uttrykket så kan vi se at

$x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 y + {(2 y)}^{2} = {(x - 2 y)}^{2}$

For å kunne forkorte brøken, må vi ha samme faktor i teller og nevner. Vi ønsker derfor å finne $x - 2 y$ også i nevneren. Vi ser nærmere på nevneren og faktoriserer denne

$3 x y - 6 y^{2} = 3 y (x - 2 y)$

Nå ser vi på hele brøken og forkorter fellesfaktoren

$\frac{(x - 2 y)^{2}}{3 y (x - 2 y)} = \frac{x - 2 y}{3 y}$

Alternativ løsning

Vi bruker abc-formelen til å faktorisere både telleren og løser førstegradslikningen med hensyn på $x$ for å faktorisere nevneren før vi kan forkorte brøken.

For polynomet $a x^{2} + b x + c$ er her $a = 1, b = - 4 y, c = 4 y^{2}$ . Vi setter inn i formelen

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 4 y) \pm \sqrt{(- 4 y^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot 4 y^{2}}}{2 \cdot 1}$

$= \frac{4 y \pm \sqrt{16 y^{2} - 16 y^{2}}}{2} = 2 y$

abc-formelen gir oss da bare en løsning, $x = 2 y$ , og vi kan faktorisere telleren som

$x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} = {(x - 2 y)}^{2}$

Uttrykket er da

$\frac{(x - 2 y)^{2}}{3 x y - 6 y^{2}}$

Nå faktoriserer vi nevneren ved å trekke ut $3 y$ . Da får vi

$3 x y - {6 y}^{2} = 3 y (x - 2 y)$

Vi forkorter og får at

$\frac{(x - 2 y)^{2}}{3 y (x - 2 y)} = \frac{x - 2 y}{3 y}$

Svar: $\frac{x - 2 y}{3 y}$

Mer om

Denne oppgaven er om å

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisere

Andre kvadratsetning

Andre kvadratsetning sier at

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

andre kvadratsetning

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formel

, forkorte brøk og

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikninger

Du finner flere forklaringer og eksempler i lynkurset Polynomdivisjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om forenkling av sammensatte rasjonale uttrykk i Treningsleiren.

Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4BOZ

Løs likningen

$2^{4 x} \cdot 2^{x^{2}} = 32$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi skal løse en

Eksponentialligning

En eksponentialligning er en ligning der én eller flere potenser har den ukjente i eksponenten.

Eksempel med $x$ som ukjent: $2 \cdot 10^{x} = 4$ eller ${1, 03}^{x} = 2$

eksponentiallikning

. Vi gjenkjenner

32

som toerpotensen

2^{5}

og bruker dette til å løse likningen.

Siden $32 = 2^{5}$ kan vi skrive likningen som

$2^{4 x} \cdot 2^{x^{2}} = 2^{5}$ .

For potenser med samme

Grunntall

En potens består av et grunntall og en eksponent.

Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.

grunntall

kan vi finne produktet ved å addere

Eksponent

En potens er et tall på formen xⁿ, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.

xⁿ = x · x · x...· x, n ganger

eksponentene

. Derfor er

${2^{4 x} \cdot 2^{x^{2}} = 2}^{4 x + x^{2}} = 2^{5}$

Venstresiden og høyresiden er lik dersom eksponenten på venstresiden er lik eksponenten på høyreside. Vi kan derfor løse likningen

$4 x + x^{2} = 5$

$x^{2} + 4 x - 5 = 0$

Vi bruker

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

, med

a = 1, b = 4 og c = - 5

, da får vi

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

som gir

$x = \frac{- 4 + 6}{2} = 1$ og $x = \frac{- 4 - 6}{2} = - 5$ .

Svar: $x = 1 og x = - 5$

Mer om

Denne oppgaven handler om å løse

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likninger

med

Potens

potenser

Du finner flere forklaringer og eksempler i artikkelen Potenser med samme grunntall i lynkurset Potenser og røtter og artikkelen Eksponentiallikninger i lynkurset Likninger med én ukjent.

For å øve mer, se oppgavesettet om likninger med eksponentialfunksjoner i Treningsleiren.

Oppgave 9 (2 poeng) Nettkode: E-4BP2

Bestem arealet av $Δ A B C$ ovenfor.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi har en

Likebeint trekant

I en likebeint trekant er to sider like lange og to vinkler like store.

likebeint

trekant og da er

A B = A C

. For å finne arealet til trekanten må vi finne ut hvor lang disse sidene er.

Arealet til en trekant er gitt ved

$A = \frac{g \cdot h}{2}$ , der $g$ er

Grunnlinje

Grunnlinja er en av sidene i en todimensjonal figur.

Alle sidene kan være grunnlinje. Når vi skal finne høyden i en trekant, må vi vurdere hvilken av sidene som er mest egnet som grunnlinje.

grunnlinje

h

Høyde

Lengden av et linjestykke som står normalt på ei linje eller en flate.

høyden

For å finne arealet til trekanten må vi først finne grunnlinjen $A B$ og høyden $A C$ .

Vi kjenner til $B C$ og to av vinklene. Siden

Vinkelsum

Summen av alle vinklene i en mangekant.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader og vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader.

vinkelsummen i en trekant

er kjent, får vi at

$∠ B C A = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 90^{\circ} = 45^{\circ}$

Fordi to av vinklene i trekanten er like, er trekanten likebeint. Dette betyr at $A B = A C$ .

Fordi trekanten er rettvinklet, bruker vi

Pytagoras læresetning

Pytagoras læresetning sier at:

Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.

Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen : $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.

Pytagoras læresetning

for å finne

A B

$A B^{2} + A C^{2} = (\sqrt{2})^{2}$

Setter vi inn $A B = A C$ får vi

$2 (A B)^{2} = 2$ .

$A B^{2} = 1$ gir oss at

$A B = A C = 1$

Arealet av trekanten er derfor

$\frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{1}{2}$

Svar: Arealet er $\frac{1}{2}$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

Likebeint trekant

I en likebeint trekant er to sider like lange og to vinkler like store.

likebeint trekant

Vinkelsum

Summen av alle vinklene i en mangekant.

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader og vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader.

vinkelsummen i en trekant

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Pytagoras læresetning

Du kan lese mer om læresetningen i artikkelen Pytagoras læresetning.

For å øve mer, se oppgavesettet om Pytagoras læresetning i Treningsleiren.

Oppgave 10 (9 poeng) Nettkode: E-4BP4

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{2} - x - 2$

a)

Bestem nullpunktene til $f$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi må finne

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunktene

, altså

x

-verdiene når

f (x)

er null. Funksjonen er et

Polynom

Et reelt polynom er en sum av produkter av en eller flere ukjente og reelle tall.

Eksempler: $4 x + 5$ og $12 x + 2 a$ .

polynom

av andre grad og da kan vi bruke

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

Vi kan finne nullpunktene ved å løse

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikningen

$x^{2} - x - 2 = 0$

ved hjelp av

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

. Vi setter inn

a = 1, b = - 1 og c = - 2

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$

Dette gir oss $x$ -verdien til to nullpunkter, $x = 2 og x = - 1$ .

Svar: Nullpunktene er $2$ og $- 1$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Nullpunkt

Punkt der grafen krysser eller tangerer x-aksen. Kan finnes ved regning ved å sette f(x) = 0.

nullpunkter

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner nullpunkter finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting.

For å øve mer, se oppgavesettet om nullpunkter i Treningsleiren.

b)

Vis at grafen til $f$ har bunnpunktet $(\frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi må sjekke at $f' (\frac{1}{2}) = 0$ og at $f'$ skifter fortegn fra minus til pluss i $x = \frac{1}{2}$ . Vi må også sjekke at $f (\frac{1}{2}) = - \frac{9}{4}$ .

Vi finner bunnbunktet til $f$ ved å derivere og finne nullpunktene til den deriverte.

$f' (x) = (x^{2} - x - 2)' = 2 x - 1$

$f' (x) = 0 \Rightarrow 2 x - 1 = 0$ .

Altså må vi ha ekstremalpunkt når $x = \frac{1}{2}$ . Vi må også sjekke hvilken verdi $f$ har når $x = \frac{1}{2}$ ;

$f (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2} - 2 = - \frac{9}{4}$ .

Vi vet da at $(\frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$ er på grafen til $f$ .

For å finne ut om dette er et toppunkt eller bunnpunkt kan vi se på fortegnene til $f' (x)$ , som vi kan skrive som

$f' (x) = 2 x - 1 = 2 (x - \frac{1}{2})$ .

Vi kan tegne et fortegnsskjema, men legg merke til at første faktoren $2$ alltid er positiv. Derfor er det nok å tegne fortegnslinjen for faktoren $x - \frac{1}{2}$

Vi leser av fortegnsskjemaet at det er et bunnpunkt i $x = \frac{1}{2}$ .

Svar: Bunnpunkt i $(\frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Bunnpunkt

Et bunnpunkt for en funksjon $f (x)$ er et punkt $(a, f (a))$ der funksjonsverdien $f (a)$ er mindre enn $f (x)$ i alle nabopunktene, altså alle punktene i et intervall rundt $a$ .

bunnpunkt

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner ekstremalpunkter finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting.

c)

Bestem likningen for tangenten til grafen i punktet $(2, f (2))$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Tangenten til grafen $f$ i punktet $(2, f (2))$ er en rett linje gjennom $(2, f (2))$ , der stigningstallet er det samme som den deriverte til funksjonen når $x = 2$ .

En rett linje kan alltid skrives som $y = a x + b$ der $a$ er

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstallet

b

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddet

. Vi må finne stigningstallet og konstantleddet for tangenten.

Stigningstallet til tangenten er likt $f' (2)$ , så vi vil regne ut $f' (2)$ :

$f' (x) = 2 x - 1$

$f' (2) = 4 - 1 = 3$

Tangenten er da på formen $y = 3 x + b$ .

For å finne konstantleddet bruker vi at tangenten går gjennom punktet $(2, f (2))$ , der $f (2) = 2^{2} - 2 - 2 = 0$ .

Så punktet $(2, 0)$ ligger på linja og oppfyller likningen $y = 3 x + b$

Vi kan sette inn for $x = 2$ er $y = 0$ og får

$0 = 3 \cdot 2 + b$ .

Dette gir oss $b = - 6$ .

Svar: Tangenten har likningen $y = 3 x - 6$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivert

Flere forklaringer og eksempler se artikkelen Å finne tangenten i lynkurset Derivasjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om veksthastighet i Treningsleiren.

d)

En rett linje $l$ går gjennom punktet $(3, 7)$ og er parallell med tangenten i oppgave c).

Bestem skjæringspunktene mellom linjen $l$ og grafen til $f$ ved regning.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

Skjæringspunkt

Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.

Skjæringspunktet

er der

Graf

En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.

grafene

skjærer hverandre. Først må vi finne

Ligning

En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.

Eksempel: $2 x + 8 = 14$

likningen

for linjen

l

. At denne rette linjen er

Parallell

To rette linjer i et plan er parallelle når de ikke skjærer hverandre. Avstanden mellom linjene er den samme uansett hvor du måler.

Tegnet som forteller at to linjer er parallelle: $∥$

Eksempel: $g ∥ f$ , leses "linja g er parallell med linja f".

parallell

med tangenten fra deloppgave c), betyr at den har samme

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

. For å finne

Konstant

En konstant er en størrelse som ikke forandrer verdi, i motsetning til en variabel.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , $π$ er en konstant og $r$ er en variabel.

Se Variabel

konstantleddet

bruker vi at den går gjennom

(3, 7)

For å finne skjæringspunktene mellom linjen og grafen må vi først finne likningen til linjen $l$ . Vi vet at det er en rett linje, så likningen må være på formen $y = a x + b$ .

Siden den er parallell med tangenten vi fant i c) må de ha samme

Stigningstall

Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.

Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

stigningstall

, så

a = 3

. Linjen går gjennom punktet

(3, 7)

så når

x = 3

y = 7

. Vi setter dette inn i uttrykket for linjen.

$7 = 3 \cdot 3 + b$

$7 = 9 + b$

Dette gir oss $b = - 2$ .

Linjen $l$ har likning lik $y = 3 x - 2$ .

I skjæringspunktene er høyresiden til likningen for linjen $l$ lik funksjonsuttrykket for $f$ :

$3 x - 2 = f (x)$

$3 x - 2 = x^{2} - x - 2$

$x^{2} - 4 x = 0$

For å løse denne andregradslikningen kan vi faktorisere ut $x$ , da får vi

$x^{2} - 4 x = x (x - 4) = 0$

og har skjæringspunkt når $x = 0 og x = 4$ .

Vi regner ut $y$ -verdien i skjæringspunktene ved å sette inn $x = 0 og x = 4$ i $f (x)$ .

$f (0) = 0^{2} - 0 - 2 = - 2 og f (4) = 4^{2} - 4 - 2 = 10$ .

Svar: Linjen $l$ skjærer grafen til $f (x)$ i $(0, - 2)$ og $(4, 10)$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Tangent

Tangent er en linje som berører en kurve i et punkt. Vi sier at linjen tangerer kurven i det punktet.

tangent

Lineære ligninger

Ligninger der alle de ukjente opptrer i første grad.

Eksempel: $2 x - 10 + x = x + 20$

lineære likninger

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikning

Faktorisering

Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.

Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Se også primtallsfaktorisering

faktorisering

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formel

Skjæringspunkt

skjæringspunkter

Flere forklaringer og eksempler på skjæringspunkter finner du i lynkurset Funksjonsdrøfting. For mer om lineære funksjoner se artikkelen Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om skjæringspunkter i Treningsleiren.

e)

Tegn grafen til $f$ , tangenten i oppgave c) og den rette linjen i oppgave d) i samme koordinatsystem.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag e)

Jeg tenker

Vi tegner et koordinatsystem, markerer et par punkter for hver av linjene og funksjonen og tegner disse inn.

For å tegne en graf, finner vi først et par punkter som ligger på grafen. Vi bruker funksjonsuttrykket til å finne punktene.

Vi begynner med å finne noen punkter på grafen til $f$ . Fra de tidligere oppgavene vet vi at punktene

$(2, 0), (- 1, 0), (\frac{1}{2}, - \frac{9}{4}), (0, - 2) og (4, 10)$ .

Vi finner noen punkter til på grafen til $f$ , for $x = 1, x = - 3 og x = - 4$ . Vi har at

$f (1) = 1^{2} - 1 - 2 = - 2$

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} - (- 3) - 2 = 9 + 3 - 2 = 10$

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} - (- 4) - 2 = 16 + 4 - 2 = 18$

Så $(1, - 2), (- 3, 10) og (- 4, 18)$ er punkter på grafen til $f$ .

Vi markere disse punktene inn i et koordinatsystem og tegner grafen.

Tangenten fra oppgave c) går gjennom punktet $(2, 0)$ . Vi må finne et annet punkt på tangenten, som er en rett linje for å kunne tegne . For $x = 0$ får vi $y = 3 \cdot 0 - 6 = - 6$ , som betyr at $(0, - 6)$ er et punkt på tangenten.

For å tegne inn tangenten i koordinatsystemet markerer vi disse to punktene og tegner den rette linjen gjennom dem.

Nå gjenstår bare å tegne inn den rette linjen fra oppgave d). I d) fant vi at denne linjen skjærer grafen til $f$ i punktene $(0, - 2) og (4, 10)$ , altså går linjen gjennom disse to punktene. De er allerede markert i koordinatsystemet så da er det bare å tegne den rette linjen gjennom disse to punktene.

Svar:

Mer om

Denne oppgaven handler om

Graf

grafer

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjon

Flere forklaringer og eksempler finner du i artikkelen Grafen til en funksjon.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleiren.

Oppgave 11 (2 poeng) Nettkode: E-4BPA

To trapes er formlike. Høyden i det minste trapeset er lik $h$ . Høyden i det største trapeset er lik $3 h$ . Det minste trapeset har areal $A$ .

Vis ved formelregning at det største trapeset har areal $9 A$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi kan tegne en hjelpefigur for å få oversikt. Vi bruker

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlikhet

til å finne de ukjente lengdene i

Trapes

Firkant der to sider er parallelle.

Areal = $\frac{(a + b) h}{2}$

trapesene

og deretter formelen for

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

arealet

av et trapes.

Vi tegner opp to trapeser og skriver inn den informasjonen vi har fått

Fordi trapesene er formlike, må forholdet mellom samsvarende sider være det samme og vi må ha at

$\frac{t}{h} = \frac{T}{H} = \frac{T}{3 h}$

Dette gir oss at $T = 3 t$ . Tilsvarende får vi at $B = 3 b$ .

Vi vet at arealet av det minste trapeset er gitt ved

$A = \frac{(t + b) h}{2}$

Arealet til det store trapesen er gitt ved $\frac{(T + B) H}{2}$ . Vi kan nå sette inn for $T, B og H$

$\frac{(T + B) H}{2} = \frac{(3 t + 3 b) 3 h}{2} = \frac{3 (t + b) 3 h}{2} = 9 \cdot \frac{(t + b) h}{2} = 9 A$

Mer om

Denne oppgaven er om

Formel

En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.

Eksempel: $A = π r^{2}$ , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.

formler

Formlike trekanter

To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.

Eksempel: $Δ A B C \sim Δ D B E$ , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.

formlikhet

For flere eksempler og forklaringer se artiklene om Et trapes og Formlikhet og kongruens. Flere eksempler på bevis finner du i lynkurset Litt om mengder, logikk og bevis.

For å øve mer, se oppgavesettet om formlikhet i Treningsleieren.

Oppgave 12 (4 poeng) Nettkode: E-4BPD

Forskere skal prøve ut en ny test for å avgjøre om en person er smittet av en bestemt sykdom.

Testen skal prøves ut på 360 personer. På forhånd vet forskerne at 60 av disse personene er smittet av sykdommen, mens resten ikke er smittet.

Det viser seg at 68 av personene tester positivt (det vil si at testen viser at de er smittet av sykdommen). Av disse 68 er det 10 personer som forskerne vet ikke er smittet.

a)

Tegn av og fyll ut krysstabellen nedenfor.

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt
Tester ikke positivt
Sum

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Dette er en

Krysstabell

En krysstabell er en måte å framstille data på. Når tabellen er satt opp, er det enklere å finne den ønskede sannsynligheten.

krysstabell

som vi fyller med de oppgitte tallene.

Tabellen ser slik ut om vi bare fyller inn det vi får oppgitt:

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt		10	68
Tester ikke positivt
Sum	60		360

I hver rad eller kolonne der vi kjenner to av tallene, kan vi regne ut det tredje.

Vi begynner med nederste rad. Vi vet at $60$ personer er smittet, av totalt $360$ personer, der betyr at vi må ha $360 - 60 = 300$ personer som ikke er smittet.

Vi kan fylle inn:

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt		10	68
Tester ikke positivt
Sum	60	300	360

Totalt er det $68$ personer som tester positivt, og av disse er det $10$ personer som ikke er smittet. Da må vi ha at $68 - 10 = 58$ av de som tester positivt er smittet.

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt	58	10	68
Tester ikke positivt
Sum	60	300	360

Av alle de $60$ som er smittet testet $58$ positivt. Det vil si at $60 - 58 = 2$ av de som er smittet testet ikke positivt.

Blant de $300$ som ikke er smittet tester $10$ positivt. Da har vi at $300 - 10 = 290$ av de som ikke er smittet ikke tester positivt.

Da kan vi fylle inn de siste tallene i krysstabellen.

Svar:

	Smittet	Ikke smittet	Sum
Tester positivt	58	10	68
Tester ikke positivt	2	290	292
Sum	60	300	360

Mer om

Denne oppgaven handler om

Tabell

Tabeller brukes til å organisere informasjon, ofte i kolonner og rader.

Eksempel: rutetabell for buss, resultatliste for skirenn

krysstabell

For flere forklaringer og eksempler se artikkkelen Data, populasjon og utvalg i lynkurset Statistikk (del II).

b)

Bestem sannsynligheten for at en person som er smittet, tester positivt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Sannsynlighet

Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.

Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.

Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.

Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.

Sannsynligheten

er forholdet mellom antall gunstige utfall og antall mulige utfall. Her skal vi finne

Betinget sannsynlighet

Den betingede sannsynligheten $P (A | B)$ er sannsynligheten for en hendelse A forutsatt (gitt) at hendelsen B har inntruffet.

$P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .

betinget sannsynlighet

Vi skal finne sannsynligheten for at en person som er smittet $S$ , tester positivt $T_{p}$ .

Da bruker vi at

$P (T_{p} |S) = \frac{P (T_{p} \cap S)}{P (S)}$

Fra krysstabellen har vi at det totalt er $60$ smittede personer, og $58$ av dem tester positivt. Vi finner da sannsynligheten ved

$P (T_{p} |S) = \frac{58}{60} = \frac{29}{30}$

Svar: $\frac{29}{30}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

For flere eksempler og forklaringer se artikklen Betinget sannsynlighet og produktsetningen i lynkuset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om betinget sannsynlighet i Treningsleieren.

c)

Bestem sannsynligheten for at en person som tester positivt, ikke er smittet.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi skal finne betinget sannsynlighet, altså at en person ikke er smittet gitt at vedkommende tester positivt.

Vi lar ikke smittet være $\overline{S}$ og tester positivt $T_{p}$ . Da er

$P (\overline{S} |T_{p}) = \frac{P ({\overline{S} \cap T}_{p})}{P (T_{p})}$

Totalt tester $68$ personer positivt, og $58$ av dem er smittet. Dette betyr at $10$ personer tester positivt uten å være smittet. Altså er $10$ av $68$ personer som tester positivt ikke smittet. Sannsynligheten er da

$P (\overline{S} |T_{p}) = \frac{10}{68} = \frac{5}{34}$

Svar: $\frac{5}{34}$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Betinget sannsynlighet

Den betingede sannsynligheten $P (A | B)$ er sannsynligheten for en hendelse A forutsatt (gitt) at hendelsen B har inntruffet.

$P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .

betinget sannsynlighet

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Betinget sannsynlighet og produktsetningen i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om betinget sannsynlighet i Treningsleiren.

Oppgave 13 (2 poeng) Nettkode: E-4BPI

I $Δ A B C$ er $∠ B = 90^{\circ}$ og $\tan A = \frac{5}{12}$ .

Bestem $\cos C$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi kan tegne en hjelpefigur. Fordi dette er en

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

, er

\tan A

lik forholdet mellom to

Katet

Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.

katetene

i trekanten.

Fra definisjonen til tangens har vi

$\tan A = \frac{motstående katet}{hosliggende katet}$

Ifølge figuren er

$\tan A = \frac{a}{c} = \frac{5}{12}$

Vi skal finne $\cos C$ i en rettvinklet trekant. Vi vet at

$\cos C = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{a}{b}$

Vi kjenner ikke $b$ , men vi vet at

$\frac{a}{c} = \frac{5}{12}$

Lar vi $a = 5$ og $c = 12$ har vi en ny trekant som vi vet er formlik med trekanten i oppgaven.

Vi bruker

Pytagoras læresetning

til å regne ut

$b^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2}$

$b = 13$

Så da er

$\cos C = \frac{a}{b} = \frac{5}{13}$

Svar: $\cos C = \frac{5}{13}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Tangens

En trigonometrisk funksjon.

Tangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til motstående katet og hosliggende katet.

tangens

Pytagoras læresetning

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Sinus, cosinus og tangens i lynkurset Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesettet om vinkelberegninger ved hjelp av sinus, cosinus og tangens i Treningsleiren.

Oppgave 14 (2 poeng) Nettkode: E-4BPL

Gitt $Δ A B C$ slik at $B C = 20$ , $A C = 13$ og $\sin B = \frac{3}{5}$ .

Bestem arealet av trekanten.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi vet ikke om trekanten vi har er rettvinklet, så vi må derfor kan vi ikke bruke Pytagoras læresetning og definisjonen av

Sinus

Forholdet mellom lengdene til motstående katet og hypotenus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant.

$\sin (A) = \sin (u) = \frac{{motstående}_{katet}}{hypotenus} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$

sinus

uten videre.

Vi kan felle en

Normal

En linje som står 90 grader på en annen linje.

normal

fra

C

ned på

A B

. Dette vil være høyden i trekanten og definisjonen av sinus kan si noe om høyden. Vi har nå to rettvinklede trekanter og kan bruke Pytagoras læresetning for å finne

A B

Vi vil bruke definisjonen av sinus og Pytagoras læresetning, men da må vi ha en rettvinklet trekant. Vi feller derfor ned en normal fra $C$ til $A B$ og kaller skjæringspunktet $D$ .

(Opplysningene i oppgaveteksten sikrer ikke at $∠ A og ∠ B$ er spisse, men figuren i oppgaven indikerer det, så vi antar at $∠ A og ∠ B$ er spisse her.)

Trekanten $B C D$ er rettvinklet og vi vet at

$\sin B = \frac{motstående katet}{hypotenus}$

som betyr at vi må ha

$\sin B = \frac{C D}{B C} = \frac{3}{5}$ .

Siden vi får oppgitt at $B C = 20$ , setter vi inn for $B C$ og får at

$\frac{C D}{20} = \frac{3}{5}$

$C D = \frac{3 \cdot 20}{5} = \frac{60}{5} = 12$ .

Høyden i trekanten er lik 12.

Vi bruker

Pytagoras læresetning

til å regne ut

A D

B D

${A D}^{2} + {C D}^{2} = {A C}^{2}$

$A D = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$

Tilsvarende gjør vi for $B D$ :

${B D}^{2} + {C D}^{2} = {B C}^{2}$

$B D = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$

Vi vet at

$A B = A D + D B = 5 + 16 = 21$ .

og vi regner ut arealet av trekanten:

$\frac{grunnlinje \cdot høyde}{2} = \frac{A B \cdot D C}{2} = \frac{21 \cdot 12}{2} = 126$

Svar: Arealet er $126$ .

Mer om

Denne oppgaven er om

Normal

En linje som står 90 grader på en annen linje.

normal

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklet trekant

Sinus

sinus

Pytagoras læresetning

For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesettet om trekantberegninger i Treningsleiren.

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4BPO

Diagrammet ovenfor viser antall registrerte elbiler i Norge hvert år fra år 2000 til år 2007. Antall registrerte elbiler økte tilnærmet lineært i denne perioden.

a)

La $x$ være antall år etter år 2000. Bestem en funksjon $f$ som beskriver utviklingen.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

For å finne en funksjon, må vi først finne noen punkter som hører til funksjonen. Disse punktene finner vi i diagrammet. Vi kan bruke regresjon i

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

til å finne funksjonsuttrykket.

Vi får oppgitt at første registrering av elbiler var i år 2000. Vår førsteakse i koordinatsystemet vil derfor være antall år etter år 2000. Funksjonsverdiene finner vi ved å lese av på den

Andreakse

Den vertikale/loddrette aksen i et koordinatsystem. Kalles også y-aksen.

andreaksen

For å finne en funksjon som beskriver utviklingen, kan vi bruke "Regresjonsanalyse" i GeoGebra. Da begynner vi med å skrive den informasjonen vi har fått inn i et regneark; antall år etter $2000$ i den første kolonnen, og antall elbiler i den andre. Deretter markerer vi rutene og velger "Regresjonsanalyse" i dropmenyen fra knappen med et histogram. I det første vinduet som kommer opp velger vi "Analyser".

Da får vi opp

Det står i opgaveteksten at utviklingen økte tilnærmet lineært, så derfor velger vi linær regresjon når vi lager en funksjon som skal prøve å beskrive utviklingen. Det gjør vi ved å velge "Lineær" under "Regresjonsmodell".

Nå kan vi se at funksjonen $f (x) = 209, 83 x + 393, 08$ beskriver utviklingen av elbiler.

Svar: $f (x) = 209.83 x + 393.08$

Alternativ

Vi kan også bruke regresjonsskommandoen i inntastingsfeltet i GeoGebra.

Da begynner vi på sammen måte, med å skrive inn informasjonen i et ruteark, antall år etter 2000 i den første kolonnen, og antall elbiler i den andre kolonnen. For å lage en liste med alle punktene markerer vi alle rutene, høyreklikker og velger "Lag liste med punkt" under "Lag". Da får vi listen med følgende punkt.

$(0, 383), (1, 607), (2, 832), (3, 1081), (4, 1193), (5, 1352), (6, 1667), (7, 1905)$

Vi har fått oppgitt at antall registrerte bilder økte tilnærmet lineært, så derfor bruker vi kommandoen

RegLin[ <Liste med punkt> ]

til å tegne grafen til funksjonen og finne funksjonsuttrykket. Listen med punktene våre ble hetende "Liste1", og vi skriver derfor inn "RegLin[Liste1]" og får opp

Funksjonen

$f (x) = 209.83 x + 393.08$

vil beskrive utviklingen av elbiler.

Mer om

Denne oppgaven handler om lineær

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen Regresjon 1 og for mer om lineære funksjoner se Rette linjer (lineære funksjoner).

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjoner i praktiske situasjoner i Treningsleiren.

b)

I 2008 var det 2 432 registrerte elbiler i Norge, i 2012 var det 9 580, og i 2014 var det 41 051.

Hvordan passer funksjonen fra oppgave a) med disse verdiene?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Førstekoordinat

Førstekoordinat er et punkts verdi langs første-aksen, eller x-aksen i koordinatsystemet. Når et punkt beskrives med et tallpar (7,3), er førstekoordinaten det første tallet i tallparet, 7 i dette eksempelet.

Førstekoordinat

er antall år etter år 2000. Vi må finne de funksjonsverdiene og sammenligne med tallene som er oppgitt.

Nå må vi først finne koordinatene til de nye punktene.

$x = 8$ for 2008, $x = 12$ for 2012 og $x = 14$ for 2014

For å finne funksjonsverdiene, setter vi inn for $x$ i $f (x)$ fra oppgave a).

Vi kan bruke "Regresjonsanalyse"-vinduet fra a). Under der funksjonen til grafen står, kan vi lese "Symbolsk utregning", og her kan vi skrive inn den $x$ -verdien vi vil ha funksjonsverdien til, så får vi den direkte.

Vi skriver inn $x = 8$ , og får $y = 2071, 75$ .

På tilsvarende måte får vi at $x = 12$ gir $y = 2911, 08$ og $x = 14$ gir $y = 3330, 75$ .

Nå kan vi sammenligne med de faktiske tallene;

$f (8) \approx 2072$ sammenlignet med $2432$ gir et avvik på nesten $300$ biler,

$f (12) \approx 2911$ sammenlignet med 9580 gir et avvik på over $6500$ biler, altså er antallet biler tre ganger større enn $f (12)$ .

$f (14) \approx 3331$ sammenlignet med $41051$ gir oss at det var $12$ ganger flere biler enn funksjonen vår tilsier.

Svar: Funksjonen i a) passer dårligere for hvert år som går. I 2014 er funksjonsuttrykket ubrukelig.

Alternativ

Vi kan også bruke CAS til å regne ut funksjonsverdiene.

Da begynner vi med å definere funksjonen vår ved å skrive

$f (x) : = 209.83 x + 393.08$

Videre kan vi bare skrive inn

$f (8), f (12) og f (14)$

Da får vi

Mer om

Denne oppgaven er om

Regresjon

Regresjon er å finne en funksjon som passer til et datasett. Altså, en funksjon som går gjennom, eller er nærmest flest mulig punkter i datasettet.

regresjon

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

For lere forklaringer og eksempler se Regresjon 1. For mer om funksjoner se lynkurset Funksjoner (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om funksjoner i praktiske situasjoner i Treningsleiren.

Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4BPS

Et kvadrat har sider med lengde $6$ . Kvadratet er delt i tre blå og én hvit trekant. Se figuren ovenfor. Hver av de tre blå trekantene har like stort areal. Den hvite trekanten er likebeint.

Bestem et eksakt uttrykk for arealet av den hvite trekanten.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

Arealet

av den hvite trekanten er differansen mellom arealet til kvadratet og arealene til de tre små trekantene. De tre små trekantene er

Rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.

rettvinklete

og siden den største trekanten er likebeint, er trekanten øverst til venstre også likebeint.

Vi kan begynner med å sette lengder på figuren. Vi vet at sidelengdene på kvadratet har lengde $6$ , så på høyre og nedre side er hele, så her kan vi skrive inn $6$ .

De små trekantene med lengste katet lik $6$ , er rettvinklete, og siden den store trekanten er likebeint vil hypotenusene i de to trekantene være like, og dermed også den korteste kateten.

Dette betyr at den venstre og øvre siden av kvadratet blir delt i de samme lengdene, og at trekanten øverst også er likebeint. Vi kan kalle lengdene til sidene på den likebeinte trekanten for $x$ .

Den korteste kateten i de andre trekantene vil da ha lengde $6 - x$ .

Vi skriver lengdene inn på figuren.

Nå kan vi regne ut arealene til trekantene, og vi kan begynne med den nederste:

$\frac{6 \cdot (6 - x)}{2} = 3 (6 - x) = 18 - 3 x (*)$ .
Arealet til den likebeinte trekanten i øvre venstre hjørnet er lik

$\frac{x^{2}}{2}$

Fordi de tre trekantene har likt areal, er

$\frac{1}{2} x^{2} = 18 - 3 x$

Denne likningen kan vi løse i CAS:

Vi får to løsninger, men siden vi skal ha en sidelengde bruker vi kun

$x = 3 \sqrt{5} - 3$ .

Nå bruker vi dette til å sette inn for $x$ i likningen for arealet til den nederste trekanten $(*)$ og løser i CAS:

Fordi hver av de tre små trekantene har like stort areal, er arealet av den største (hvite) trekanten lik differansen mellom arealet til kvadratet, som er $6 \cdot 6$ , og tre ganger arealet til den nederste trekanten. Vi regner ut i CAS:

Svar: Arealet til den hvite trekanten er $27 \sqrt{5} - 45$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

areal

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

abc-formelen

abc-formelen sier at en likning på formen $a x^{2} + b x + c = 0$ har løsningene $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

abc-formelen

For flere eksempler og forklaringer se lynkurset Geometri - areal og volum.

For å øve mer, se oppgavesettet om areal i Treningsleiren.

Oppgave 3 (4 poeng) Nettkode: E-4BPU

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = x^{2} - x - 2$

a)

Bruk graftegner til å tegne

- grafen til $f$

- en rett linje som går gjennom punktene $(1, f (1))$ og $(3, f (3))$

- en rett linje som går gjennom punktene $(0, f (0))$ og $(4, f (4))$

- tangenten til grafen til $f$ i punktet $(2, f (2))$

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi bruker

GeoGebra

GeoGebra er et gratis dynamisk matematikkprogram til skolebruk.

GeoGebra

og til å tegne

Graf

grafene

Vi begynner med å tegne grafen til $f$ , og skriver da i inntastingsfeltet

$f (x) = x^{\land} 2 - x - 2$

Videre skriver vi inn punktene $(1, f (1))$ og $(3, f (3))$ og velger i verktøylinjen "Linje gjennom to punkter" og velger de to punktene. Da får vi grafen til denne rette linjen.

Tilsvarende gjør vi med den rette linjen som går gjennom punktene $(0, f (0))$ og $(4, f (4))$ .

GeoGebra har en kommando for å finne tangenter,

Tangent[<x-verdi>, <Funksjon>],

som vi kan bruke. Vi vil finne tangenten til $f$ når $x = 2$ , og skriver dermed

Tangent[2,f].

Svar:

Mer om

Denne oppgaven handler om

Funksjon

En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).

Eksempel: For funksjonen $f (x) = 2 x + 1$ , vil $x = 1$ alltid gi $f (x) = 3$

funksjoner

Graf

grafer

For flere forklaringer og eksempler om lineære funksjoner se lynkurset Rette linjer (lineære funksjoner) og mer om andre typer funksjoner i lynkurset Funksjoner (del II).

Lynkurset om GeoGebra er under utarbeidelse og kommer snart.

For å øve mer, se oppgavesettet om grafisk framstilling i Treningsleiren.

b)

Bruk CAS til å vise at tangenten til grafen til $f$ i punktet $(c, f (c))$ er parallell med den rette linjen som går gjennom punktene $(c + h, f (c + h))$ og $(c - h, f (c - h))$ .

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

For å vise at tangenten til grafen er parallell med den gitte rette linjen, må vi vise at linjene har samme stigningstall.

Vi skal bruke CAS til å vise at tangenten og linjen er parallelle, og da må vi vise at stigningstallet til tangenten, $f' (c)$ , og stigningstallet til linja, $a$ er det samme.

Først finner vi $f' (c)$ ved hjelp av CAS. Vi bruker samme GeoGebra-vindu som i oppgave a), der $f$ allerede er definert, og skriver inn "f '(c)". Da får vi at stigningstallet til tangenten i punktet $(c, f (c))$ er $2 c - 1$ .

Stigningstallet $a$ , til linja gjennom punktene finner vi ved å se på endringen i $y$ -verdi, $f (c - h) - f (c + h)$ , dividert på endringen i $x$ -verdi, $(c - h) - (c + h)$ .

$a = \frac{f (c - h) - f (c + h)}{(c - h) - (c + h)}$

Vi skriver dette inn i CAS og får at $a = 2 c - 1$ .

Svar: Linjene har samme stigningstall, og er dermed parallelle.

Mer om

Denne grafen handler om

Derivasjon

En grenseoperasjon på en funksjon, som gir en ny funksjon, den deriverte til den opprinnelige. Funksjonsverdiene til den deriverte er stigningstallene til grafen til den opprinnelige funksjonen.

derivasjon

For flere forklaringer og eksempler se artikkelen om Å finne tangenten - introduksjon i lynkurset Derivasjon.

For å øve mer, se på veksthastighet i Treningsleiren.

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4BPX

Et rektangel har areal $\frac{3}{8}$ og omkrets $\frac{5}{2}$ .

Hvor langt og hvor bredt er rektangelet?

Løs oppgaven her

Løsningsforslag

Jeg tenker

Vi kan bruke formlene til

Areal

Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m², dm² og cm².

arealet

Omkrets

Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

omkretsen

av et

Rektangel

Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

Areal: $A = a b$

Omkrets: $O = 2 a + 2 b$

rektangel

til å lage to likninger, der lengden og bredden til rektangelet er de ukjente. Da får vi et

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystem

med to ukjente.

Vi kaller lengden $l$ og bredden $b$ og setter opp likninger for areal og omkrets av rektangelet. Arealet av rektangelet $A = b \cdot l = \frac{3}{8}$ og omkretsen $O = 2 b + 2 l = \frac{5}{2}$ . Dette gir likningssystemet

$[\begin{matrix} b \cdot l = \frac{3}{8} \\ 2 b + 2 l = \frac{5}{2} \end{matrix}]$

Vi skriver begge likningene inn i CAS og løser likningssystemet

Vi får to løsninger:

${b = \frac{3}{4}, l = \frac{1}{2}}, {b = \frac{1}{2}, l = \frac{3}{4}}$

Løsningene gir det samme rektangelet. Vi velger lengden $l$ til å være den lengste siden.

Svar: $l = \frac{3}{4}, b = \frac{1}{2}$

Mer om

Denne oppgaven er om

Ligningssett

Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.

likningssystem

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man løser et sett med likninger finner du i lynkurset Lineære likninger med flere ukjente.

For å øve mer, se oppgavesettet om likningssystemer i Treningsleiren.

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4BQ0

Nedenfor ser du overskrift og et sitat fra en artikkel på e.24.no/bil i 2014 etter at Statens vegvesen hadde foretatt trafikktellinger på en veistrekning.

a)

Vurder om sitatet fra artikkelen gir grunnlag for overskriften som er valgt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi må finne ut om forholdet mellom elbiler og kjøretøy er omtrent det samme som $\frac{4}{5} = 0, 8$ .

Vi vil se på forholdet mellom elbiler og totalt antall kjøretøy. Dersom sitatet gir grunnlag for overskriften må vi ha at forholdet mellom elbiler og totalt antall kjøretøy er omtrent $\frac{4}{5} = 0, 8$ . Vi finner forholdet mellom elbiler og totalt antall kjøretøy ved å dividere antall elbiler på det totale antallet kjøretøy.

Totalt er det

$1350 + 120 + 100 = 1570 kjøretøy$

Vi finner forholdet mellom elbiler og totalt antall kjøretøy ved å se på antall elbiler dividert på antall kjøretøy. Da får vi

$\frac{1350}{1570} \approx 0,86$ .

$0, 86$ er litt større enn $0, 8$ , men det er ikke veldig stor forskjell. Derfor kan vi si at det er grunnlag for å ha den overskriften.

Svar: Overskriften er rimelig.

Mer om

Denne oppgaven handler om

Statistikk

Statistikk dreier seg om innsamling og bearbeiding av data eller informasjon. Målet med statistikk er å presentere og gjøre beregninger på datamaterialet slik at det kan gi god og sann informasjon og være grunnlag for vurderinger.

statistikk

Flere forklaringer og eksempler på statistikk finner du i lynkurset Statistikk.

b)

Anta at fire av fem kjøretøy i kollektivfeltet er elbiler, og at du står langs denne veistrekningen i telleperioden.

Bestem sannsynligheten for at nøyaktig ett av de tre neste kjøretøyene som passerer deg i kollektivfeltet, er elbiler.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Sannsynlighet

Sannsynligheten

er forholdet mellom antall gunstige og antall mulige utfall. Legg merke til ordet nøyaktig.

Vi antar nå at sannsynligheten for at et kjøretøy er en elbil er lik

$P (E) = \frac{4}{5}$

Sannsynligheten for at et kjøretøy ikke er en elbil er

$P (\overline{E}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

Hvis nøyaktig ett av tre kjøretøy skal være en elbil kan det gjøres på tre måter. Elbilen kan komme først, i midten, eller sist. Sannsynligheten for at det først kommer en elbil er $\frac{4}{5}$ . Sannsynligheten for at de neste to kjøretøyene ikke er elbiler er

$(P (\overline{E}))^{2} = (\frac{1}{5})^{2}$

Sannsynligheten for sekvensen

$E \overline{E} \overline{E} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5^{3}} = \frac{4}{125}$

Endrer vi rekkefølgen, får vi fortsatt like stor sannsynlighet.

Det er altså tre like sannsynlige måter det kan komme akkurat én elbil blant de neste tre kjøretøyene. Derfor er sannsynligheten for at nøyaktig ett av de tre neste kjøretøyene er elbiler lik $3 \cdot \frac{4}{125} = \frac{12}{125} = 0, 096 = 9, 6 %$ .

Svar: $\frac{12}{125} = 9, 6 %$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Flere forklaringer og eksempler finner du i artikkelen om Sannsynlighet ved komplementære hendelser i lynkurset Sannsynlighet (del II).

For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleiren.

c)

Bestem sannsynligheten for at minst to av de tre neste kjøretøyene som passerer deg i kollektivfeltet, er elbiler.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi skal finne sannsynligheten for at minst to av de neste tre kjøretøyene er elbiler. Denne hendelsen er komplementær med at én eller ingen av de neste tre kjøretøyene er elbiler.

Hendelsene at "minst to av de neste tre kjøretøyene er elbiler" og at "én eller ingen av de neste tre kjøretøyene er elbiler" er komplementære. Det vil si at vi kan finne sannsynligheten til at minst to av kjøretøyene er elbiler ved å regne ut

$1 - (P (0 elbiler) + P (1 elbil))$

I forrige deloppgave regnet vi ut at $P (1 elbil) = \frac{12}{125}$ .

Vi regner ut sannsynligheten for at ingen av kjøretøyene er elbiler:

$(P (\overline{E}))^{3} = \frac{1}{125}$

Sannsynligheten for to eller flere elbiler er

$1 - (P (0 elbiler) + P (1 elbil)) = 1 - (\frac{12}{125} + \frac{1}{125}) = 1 - \frac{13}{125} = \frac{112}{125} = 0, 896$ .

Svar: $\frac{112}{125} = 89, 6 %$

Mer om

Denne oppgaven er om

Sannsynlighet

sannsynlighet

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner ut sannsynlighet finner du i lynkurset Sannsynlighet.

For å øve mer, se oppgavesettet om sannsynlighetsregning i Treningsleiren.

Oppgave 6 (7 poeng) Nettkode: E-4BQ4

Gitt $Δ A B C$ slik at $∠ A = 45^{\circ}$ , $B C = 6$ og $A C = 8$

a)

Bruk CAS til å bestemme lengden av $A B$ eksakt.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag a)

Jeg tenker

Vi har en vilkårlig trekant der to av sidelengdene er kjent og en vinkel. Da kan vi bruke

Cosinussetningen

La $A B C$ være en trekant. Anta at vi kjenner sidene $A B$ , $A C$ og $∠ A$ mellom dem. Da er

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 (A B \cdot A C) \cos ∠ A .$

cosinussetningen

for å bestemme lengden av

A B

Når vi kjenner to av sidelengdene og en vinkel kan vi bruke cosinussetningen. Ved den har vi at

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 \cdot A C \cdot A B \cdot cos (∠ A)$

Vi setter inn verdiene for sidelengdene. Da får vi

$6^{2} = 8^{2} + A B^{2} - 2 \cdot 8 \cdot A B \cdot cos (45^{\circ})$

Dette løser vi i CAS:

og får to mulige lengder for $A B$ ,

${A B = 4 \sqrt{2} - 2, A B = 4 \sqrt{2} + 2}$ .

Svar: $A B = 4 \sqrt{2} - 2 eller A B = 4 \sqrt{2} + 2$

Mer om

Denne oppgaven handler om

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinussetningen

Flere forklaringer og eksempler finner du i artikkelen Cosinussetningen i lynkurset Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesette om cosinussetningen i Treningsleiren.

b)

I resten av oppgaven setter vi $B C = a$ .

Ved å velge ulike verdier for $a$ kan vi få to trekanter, én trekant eller ingen trekant.

Lag skisser som illustrerer dette.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag b)

Jeg tenker

Vi bruker de kjente vinklene og sidelengdene til å konstruere trekantene.

Vi tegner en linje $A B$ og vinkelen $∠ A = 45^{\circ}$ . Deretter tegner vi en sirkel med sentrum i $C$ og med radius $B C = a$ . Lengden til radiusen, $B C = a$ , avgjør om sirkelen skjærer vinkelbeinet $A B$ i ett, to eller ingen punkter.

I oppgave a) kunne vi se at når $a = 6$ kan $B C$ skjære vinkelbeinet $A B$ i to punkter, som på øverste skisse under. Dersom $a$ blir for kort, vil ikke $a$ rekke ned, og vi får ingen trekant.

Dersom $a \geq 8$ får vi kun én løsning, for da vil sirkelen skjære linja som $A$ ligger på til venstre for $A$ . Vi vil også få en én løsning når $B C$ står vinkelrett på $A B$ .

Svar:

Mer om

Denne oppgaven er om

Trekant

En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.

trekant

og konstruksjon (finnes ikke enda).

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man konstruerer trekanter finner du i artikkelen Konstruksjon av figurer.

For å øve mer, se oppgavesettet om trekantberegninger generelt i Treningsleiren.

c)

Sett $A B = x$ .

Bruk CAS til å bestemme for hvilke verdier av $a$ likningen

$a^{2} = 8^{2} + x^{2} - 16 x \cdot \cos 45^{\circ}$

- har to positive løsninger

- har én løsning

- ikke har løsning

Bruk eksakte verdier.

Løs oppgaven her

Løsningsforslag c)

Jeg tenker

Vi løser andregradslikningen direkte i CAS.

Andregradslikningen skal løses i CAS. Vi må passe på at vi ikke har et element i GeoGebra-filen med variabelnavnet $a$ , da vil vi få feilmelding.

I CAS får vi at

Vi får to mulige løsninger,

${x = \sqrt{a^{2} - 32} + 4 \sqrt{2}, x = - \sqrt{a^{2} - 32} + 4 \sqrt{2}}$ .

Hvis $a^{2} - 32 < 0$ , får vi et negativt tall under rottegnet, og derfor ingen løsninger, det vil si at for $a < \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ har likningen ingen løsninger.

Hvis $a^{2} = 32 = 4 \sqrt{2}$ er uttrykket under rottegnet lik null og likningen har kun én løsning. Vi vil også få en løsning dersom en av løsningene blir null, eller en av løsningene gir negativ verdi i den første løsningen for $x$ .

Vi kan først se på tilfellet der en av løsningene blir null, for dersom $x = 0$ får vi ingen trekant. Vi løser dette i CAS og får at

$- \sqrt{a^{2} - 32} + 4 \sqrt{2} = 0$

for $a = 8$ . Vi ser bort fra $a = - 8$ fordi vi ikke har negative sidelengder.

Siden $a = 8$ gir at $x = 0$ i den ene likningen har vi også bare én løsning.

Dette passer med figurene fra oppgaven b), ettersom når $A C = B C$ vil det ene skjæringspunktet med $A B$ sammenfalle med punkt A.

Vi kan også få at den første løsningen, $x = - \sqrt{a^{2} - 32} + 4 \sqrt{2}$

gir negativ verdi for $x$ . Vi kan bruke CAS til å finne hvilke verdier av $a$ vi får at

$- \sqrt{a^{2} - 32} + 4 \sqrt{2} < 0$ .

Når $a > 8$ vil den første løsningen gi negative verdier for $x$ , og det er kun den andre løsningen som gir gyldig $x$ -verdi.

Det betyr at når $a \geq 8$ vil vi kun ha en løsning.

Da må vi ha at vi har to løsninger når $4 \sqrt{2} < a < 8$ .

Svar: Én løsning for $a = 4 \sqrt{2}$ og $a \geq 8$ , ingen løsninger for $a < 4 \sqrt{2}$ og to løsninger for $4 \sqrt{2} < a < 8$ .

Mer om

Denne oppgaven handler om

Andregradslikning

En likning hvor x opptrer i andre potens. Vi kan alltid skrive en slik likning på formen:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Likningen kan løses ved hjelp av abc-formelen.

andregradslikninger

Cosinus

Cosinus er en trigonometrisk funksjon.
Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er lik forholdet mellom lengden til hosliggende katet og hypotenus.

cosinus

Flere forklaringer og eksempler på hvordan man løser andregradslikninger finner du i lynkurset Andregradslikninger, og du kan lese mer om cosinus i lynkurset Trigonometri.

For å øve mer, se oppgavesettet om andregradslikninger i Treningsleiren.

d)

Vurder om svarene i oppgave c) samsvarer med skissene du laget i oppgave b).

Løs oppgaven her

Løsningsforslag d)

Jeg tenker

For å se om det er samsvar mellom svarene og skissene, ser vi nærmere hva det betyr at $a$ varierer.

Vi finner samsvar mellom svarene og skissene.

Når $a$ er for kort, er det ingen løsninger. Når sirkelradiusen $a$ er akkurat lang nok, det er når $a = 4 \sqrt{2}$ , er det én løsning. Når sirkelradiusen øker får vi to løsninger helt til radiusen er større enn $A C = 8$ , da vil vi få én løsning.

Mer om

Denne oppgaven er om

Geometri

Ordet kommer fra gresk og betyr jordmåling. Geometri er den delen av matematikken som handler om egenskaper, form og størrelser til 2D- og 3D-figurer. Geometrien ser på sammenhenger mellom vinkler, sider, sideflater og kanter, som gjør at vi kan utføre ulike beregninger med de ulike figurene.

geometri

Trigonometri

Læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. De trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er de viktigste redskapene i denne teorien.

trigonometri

Flere forklaringer og eksempler på trigonometriske funksjoner finner du i lynkurset Trigonometri.

MAT1013 2015 Høst

Del 1

Del 2

Eksamensinformasjon

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (1 poeng) Nettkode: E-4BOI

Løsningsforslag

Standardform

Standardform

Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4BON

Løsningsforslag

Alternativ løsning

Ligningssett

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4BOP

Løsningsforslag

Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4BOR

Løsningsforslag

Rot

Potens

Oppgave 5 (2 poeng) Nettkode: E-4BOT

Løsningsforslag

Polynom

Faktorisering

Oppgave 6 (2 poeng) Nettkode: E-4BOV

Løsningsforslag

Brøk

Utvide brøk

Faktorisering

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4BOX

Løsningsforslag

Brøk

Faktorisering

Teller

Nevner

Andre kvadratsetning

abc-formelen

Alternativ løsning

Faktorisering

Andre kvadratsetning

abc-formelen

Andregradslikning

Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4BOZ

Løsningsforslag

Eksponentialligning

Grunntall

Eksponent

abc-formelen

Ligning

Potens

Oppgave 9 (2 poeng) Nettkode: E-4BP2

Løsningsforslag

Likebeint trekant

Grunnlinje

Høyde

Vinkelsum

Pytagoras læresetning

Trekant

Likebeint trekant

Vinkelsum

Areal

Pytagoras læresetning

Oppgave 10 (9 poeng) Nettkode: E-4BP4

a)

Løsningsforslag a)

Nullpunkt

Polynom

abc-formelen

Andregradslikning

abc-formelen

Nullpunkt

b)

Løsningsforslag b)

Bunnpunkt

c)

Løsningsforslag c)

Stigningstall

Konstant

Tangent

Derivasjon

d)