www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt
Tilbake til eksamensoversikten

Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.


Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.

Våre samarbeidspartnere:

AkerBP PGS

REA3024 2014 Vår

Eksamenstid:
5 timer:
Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler:

Del 1:
Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler

Del 2:
Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Framgangsmåte:
Du skal svare på alle oppgavene i Del 1 og Del 2.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling.

Veiledning om vurderingen:
Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du

  • viser regneferdigheter og matematisk forståelse
  • gjennomfører logiske resonnementer
  • ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner
  • kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
  • vurderer om svar er rimelige
  • forklarer framgangsmåter og begrunner svar
  • skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger

Andre opplysninger:
Kilder for bilder, tegninger osv.

  • Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet
  • CSI, sodahead.com (28.02.2014)

DEL 1 Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (3 poeng) Nettkode: E-4DG6

Deriver funksjonene

a)

fx=sin3x

Løs oppgaven her

b)

gx=e2xcosx

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (4 poeng) Nettkode: E-4DG9

Regn ut integralene

a)

2xsinx2dx

Løs oppgaven her

b)

1exlnxdx

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (2 poeng) Nettkode: E-4DGC

Funksjonen f er gitt ved

fx=e2x-4ex   ,    Df=

Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til  f.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (4 poeng) Nettkode: E-4DGE

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

sx=1+1-x+1-x2+1-x3+...

a)

Bestem konvergensområdet til rekken.

Løs oppgaven her

b)

Løs likningene

sx=3  og  sx=13

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4DGH

Planet α er gitt ved

α:  2x+y-2z+3=0

a)

Vis at punktet P3, 4, 2 ikke ligger i planet  α.

Løs oppgaven her

b)

En linje l går gjennom P slik at  lα.

Bestem en parameterframstilling for l.

Løs oppgaven her

c)

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom l og α.

Løs oppgaven her

d)

Bestem avstanden fra P til α.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (4 poeng) Nettkode: E-4DGM

En funksjon f er gitt ved

fx=asincx+φ+d

Grafen til funksjonen har et toppunkt i 0, 7. Det nærmeste bunnpunktet til høyre for dette toppunktet er 2, 3.

a)

Forklar at funksjonsuttrykket kan skrives

fx=2sinπ2x+π2+5

 

Løs oppgaven her

b)

Lag en skisse av grafen til f for x0, 12.

Løs oppgaven her

Oppgave 7 (2 poeng) Nettkode: E-4DGP

Løs differensiallikningen

y'-3y=2  når  y0=13

Løs oppgaven her

DEL 2 Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng) Nettkode: E-4DGT

Punktene  A4, 3, 1,  B2, 2, 0 og  C1, 2,-2 er gitt.

En setning i geometrien sier:

Et plan er entydig bestemt av tre punkter dersom disse punktene ikke ligger på en rett linje.

a)

Bruk denne setningen til å vise at punktene AB og C bestemmer et plan α entydig.

Løs oppgaven her

b)

Bestem en likning til planet α.

Løs oppgaven her

c)

Et punkt  T  har koordinatene 2, 5, 4t+1.

Bestem t slik at volumet av pyramiden ABCT blir 3.

Løs oppgaven her

Oppgave 2 (5 poeng) Nettkode: E-4DGY

En kuleflate er gitt ved likningen

x2+y2+z2-2x-2y-6z+2=0

a)

Vis at punktet P2, 3, 5 ligger på kuleflaten.

Løs oppgaven her

b)

Bestem sentrum og radius til kulen.

Løs oppgaven her

c)

Bestem likningen til planet som tangerer kuleflaten i punktet  P.

Løs oppgaven her

Oppgave 3 (7 poeng) Nettkode: E-4DH7

Kriminalserie på tv

I en kriminalserie på TV ble  et drapsoffer funnet kl. 11.00. Kroppstemperaturen ble da målt til 30°C . Rommet der den drepte ble funnet, hadde hatt en konstant temperatur på 22°C siden mordet skjedde.

Vi lar kroppstemperaturen være yt grader Celsius t timer etter at den døde ble funnet.

a)

Ifølge Newtons avkjølingslov er temperaturendringen per time proporsjonal med differansen mellom kroppstemperaturen og romtemperaturen. Forklar at dette gir differensiallikningen

y'=-ky-22  der  k>0

Løs oppgaven her

b)

Forklar at y0=30, og løs differensiallikningen ved regning.

Løs oppgaven her

c)

En time etter at den døde ble funnet, ble kroppstemperaturen målt til  28 °C . Bruk dette til å bestemme konstanten k.

Løs oppgaven her

d)

Vi antar at drapsofferet hadde en kroppstemperatur på 37°C like etter at døden inntraff.

Bruk yt til å anslå når drapet ble utført.

Løs oppgaven her

Oppgave 4 (7 poeng) Nettkode: E-4DHC

En uendelig rekke er gitt ved

1+x+x2+x3+...

a)

Vis at  1+x+x2+x3+...=11-x , når  x-1, 1

Det kan vises at

1'+x'+x2'+x3'+...=11-x' , når  x-1, 1

Løs oppgaven her

b)

Vis at

1+2x+3x2+4x3+...=11-x2 , når  x-1, 1

Løs oppgaven her

c)

Bruk resultatet i oppgave b) til å vise at

1+221+322+423+...=4

Løs oppgaven her

d)

Bruk induksjon til å bevise påstanden

Pn:   1+221+322+423+...+n2n-1=4-n+22n-1   ,    n

Løs oppgaven her

e)

Bruk det du har funnet ovenfor til å bestemme  limnn+22n-1

Løs oppgaven her

Oppgave 5 (5 poeng) Nettkode: E-4DHJ

Et rektangel ABCD er innskrevet i en sirkel. Sirkelen har sentrum i  O og radius 10.

Vi setter COD=v, der 0<v<π. Se figuren nedenfor.

Rektangel ABCD

a)

Vis ved regning at arealet  F  av sirkelsektoren COD er

Fv=50v

Løs oppgaven her

b)

Vis ved regning at arealet  T  av det fargelagte området på figuren kan skrives som

Tv=50v+3sinv

Løs oppgaven her

c)

Bestem v grafisk slik at  T blir størst mulig. Bestem Tmaks.

Løs oppgaven her

Oppgave 6 (6 poeng) Nettkode: E-4DHP

Figur 1 nedenfor viser grafen til funksjonen f gitt ved

fx=1x ,       x1, a

Vi dreier grafen til f  360° om x-aksen. Vi får da fram et omdreiningslegeme som vist på figur 2.

Figur 1 og 2

a)

Bestem volumet  Va  av omdreiningslegemet.

Løs oppgaven her

b)

Bestem  1afxdx. Omdreiningslegemet har overflateareal  Oa. Forklar at  Oa>1afxdx.

 

Løs oppgaven her

c)

Vi lar  a. Det omdreiningslegemet vi da får, kalles Gabriels horn.

Bestem  limaOa  og  limaVa  dersom grenseverdiene eksisterer. Kommenter svarene.

Å male Gabriels horn, og å fylle Gabriels horn.

 

Løs oppgaven her