Hopp til hovedinnholdet
www.matematikk.org

Første ordens lineære differensiallikninger

Videoen forklarer første ordens lineære differensiallikninger og viser et eksempel på hvordan slike likninger kan løses.

 

Første ordens lineære differensiallikninger


Rettighetshaver: UiO / UiO

 

 

Begreper

Differensiallikning

En likning hvor den ukjente er en funksjon og der den deriverte, funksjonens differensialkvotient, inngår.

Et eksempel er y'' - y = 0 eller d2f(x)dx2 f(x)= 0

Differensiallikning
   

Oppgaver

1. Er likningen y'+x2y=x en første ordens lineær differensiallikning?

FASIT

Ja.

En første ordens lineær differensiallikning er på formen y'+f(x)y=g(x)der f og g er gitte funksjoner. Med f(x)=x2 og g(x)=x ser vi at dette er tilfellet i likningen ovenfor.



2. Vis at funksjonen y gitt ved y(t)=12+Ce-t, der C, oppfyller differensiallikningen y'+y=12.

FASIT

y(t)=12+Ce-t og y'(t)=-Ce-t


y'+y=12+Ce-t-Ce-t=12



3. Vis at funksjonene y gitt ved y(x)=Ce-32x+6, der C, oppfyller differensiallikningen 2y'+3y=18.

FASIT

y(x)=Ce-32x+6 og y'(x)=-32Ce-32x


2y'+3y=2(-32Ce-32x)+3(Ce-32x+6)=18



4. La y'=-5y. Skriv likningen på formen y'+f(x)y=g(x).

FASIT

y'+5y=0

 

Så f(x)=5 og g(x)=0.



5. Løs differensiallikningen y'+5y=0.

FASIT

y(x)=Ce-5x


Løsningsforslag:

y'+5y=0

y'e5x+5ye5x=0

(ye5x)'=0

ye5x=C

y(x)=Ce-5x



6. Vis at funksjonen y gitt ved y(x)=2e-5x er en løsning av differensiallikningen i oppgave 5.

FASIT

y(x)=2e-5x og y'(x)=-10e-5x


y'+5y=-10e-5x+52e-5x=0



7.
La y'=1-y2. Skriv likningen på formen y'+f(x)y=g(x).

FASIT

Dette er ikke mulig.

Siden vi har y2 klarer vi ikke å få leddet f(x)y, der y er i første potens.

 


8. La y'=1-y. Skriv likningen på formen y'+f(x)y=g(x).

FASIT

y'+y=1

 

Så f(x)=1 og g(x)=1.



9. Løs differensiallikningen y'+y=1.

FASIT

y(x)=1+Ce-x

Løsningsforslag:

y'+y=1

y'ex+yex=ex

(yex)'=ex

yex=exdx

yex=ex+C

y(x)=1+Ce-x



10. Vis at funksjonene y gitt ved y(x)=1+Ce-x, der C, er en løsning av differensiallikningen i oppgave 8.

FASIT

y(x)=1+Ce-x og y'(x)=-Ce-x.


y'+y=1+Ce-x-Ce-x=1



11.
La y=y(t). Løs differensiallikningen y'+yt=t.

FASIT

y(t)=13t2+Ct


Løsningsforslag:

y'+1ty=t

Integrerende faktor: e1tdt=t

y't+y=t2

(yt)'=t2

yt=t2dt

yt=13t3+C

y(t)=13t2+Ct-1



12. Løs differensiallikningen y'-yt=t.

FASIT

y(t)=t2+Ct


Løsningsforslag:

y'-1ty=t

 

y't-1-yt-2=1

(yt-1)'=1

yt-1=t+C

y(t)=t2+Ct

Matematikk for studenter

Difflikninger

Består av: