Substitusjon

Videoen forklarer integrasjonsmetoden substitusjon, som utnytter kjerneregelen for derivasjon.

MatRIC: Substitusjon

Rettighetshaver: MatRIC ved Universitetet i Agder / MatRIC

Oppgaver

1. Regn ut $\int 4 x (2 x^{2} - 3)^{2} d x$ .

FASIT

$\frac{1}{3} (2 x^{2} - 3)^{3} + C$

Løsningsforslag:

La $u = (2 x^{2} - 3)$ . Da er $\frac{d u}{d x} = 4 x$ .

Substituerer og får:

$\int 4 x (2 x^{2} - 3)^{2} d x$
$= \int u^{2} d u$
$= \frac{1}{3} u^{3} + C$
$= \frac{1}{3} (2 x^{2} - 3)^{3} + C$

2. Regn ut $\int x \cdot \sin (x^{2}) d x$ .

FASIT

$- \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

Substitusjon: $u = x^{2}$

3. Regn ut $\int 3 x^{2} \cdot \cos (x^{3} - 3) d x$ .

FASIT

$\sin (x^{3} - 3) + C$

Substitusjon: $u = x^{3} - 3$

4. Regn ut $\int_{}^{} \frac{3}{1 - x} d x$ .

FASIT

$- 3 \ln |1 - x| + C$

Substitusjon: $u = 1 - x$

5. Regn ut $\int_{}^{} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$ .

FASIT

$\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + C$

Substitusjon: $u = x^{2} + 1$

(Her trenger vi ikke absoluttverdier, siden $x^{2} + 1$ er positiv for alle $x \in ℝ$ .)

6. Regn ut $\int_{}^{} e^{a x} d x$ .

FASIT

$\frac{1}{a} e^{a x} + C$

Substitusjon: $u = a x$

7. Regn ut $\int_{}^{} x e^{x^{2} + 7} d x$ .

FASIT

$\frac{1}{2} e^{x^{2} + 7} + C$

Substitusjon: $u = x^{2} + 7$

8. Regn ut $\int_{}^{} 6 x e^{x^{2}} e^{2 x^{2} + 4} d x$ .

FASIT

$e^{3 x^{2} + 4} + C$

Substitusjon: $u = 3 x^{2} + 4$

(Merk at $\int_{}^{} 6 x e^{x^{2}} e^{2 x^{2} + 4} d x = \int_{}^{} 6 x e^{3 x^{2} + 4} d x$ )

9. Regn ut $\int_{}^{} x^{2} e^{x^{3} + 2} d x$ .

FASIT

$\frac{1}{3} e^{x^{3} + 2}$

Substitusjon: $u = x^{3} + 2$

10. Regn ut $\int_{}^{} \tan x dx$ .

FASIT

$- \ln |\cos x| + C$

Substitusjon: $u = \cos (x)$

Del på Facebook

Del på Facebook

Substitusjon

Oppgaver

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

FASIT

Matematikk for studenter

Integrasjon

Består av: