Konvergente tallfølger

Vi kommer her til å gå langt mer teoretisk til verks enn andre steder i lynkurset. Vi er nå et godt stykke utenfor pensum i Matematikk R2.

I deﬁnisjonen av en konvergent rekke bruker vi implisitt deﬁnisjonen av en konvergent tallfølge. Med en solid forståelse av dette vil det være enkelt å betrakte uendelige rekker i mange tilfeller; du kan simpelthen anse det som en følge av partiellsummer.

DEFINISJON

En uendelig tallfølge $\{a_{n}\}$ konvergerer mot $a$ hvis det for alle $ε > 0$ eksisterer et heltall $N$ slik at for alle $n > N$ er

$|a_{n} - a| < ε .$

Deﬁnisjonen kan leses slik: for at $\{a_{n}\}$ skal konvergere til $a$ , må vi til slutt kunne komme vilkårlig nær $a$ . Det at vi introduserer et vilkårlig positivt tall $ε$ er for å gi oss pusterom; det ﬁnnes ikke et positivt heltall $n$ slik at $\frac{1}{n} = 0,$ men jo større verdi av $n$ vi velger, jo nærmere kommer vi.

Eksempel 1

Vi merker at tallfølgen $\{{(- 1)}^{n}\}$ ikke konvergerer. Avstanden mellom tallene i følgen vil alltid være $2$ .

DEFINISJON

En tallfølge $\{a_{n}\}$ kalles Cauchy om det for alle $ε > 0$ eksisterer et heltall $N$ slik at for alle $n, m > N$ er

$|a_{n} - a_{m}| < ε .$

TEOREM

La $\{a_{n}\}$ være en tallfølge. Om $\{a_{n}\}$ er konvergent, så er den Cauchy.

Altså

$\{a_{n}\}$ konvergent $\Rightarrow \{a_{n}\} Cauchy.$

Bevis

Vi kan simpelthen velge $n, m > N$ slik at $|a_{n} - a| < \frac{ε}{2} og |a_{m} - a| < \frac{ε}{2}$ ved definisjonen av konvergens (merk at vi ikke jukser her, vi kan velge $ε > 0$ vilkårlig), og vi har ved trekantulikheten at $|a_{n} - a_{m}| \leq |a_{n} - a| + |a_{m} - a| < 2 \cdot \frac{ε}{2} = ε .$

Det motsatte er sant i de reelle tallene, men ikke i de rasjonale tallene: vi kan konstruere en tallfølge av rasjonale tall som nærmer seg $π$ . Den blir dermed Cauchy da avstanden mellom tallene vil til slutt bli vilkårlig liten, men den vil ikke konvergere i de rasjonale tallene. Om du syntes dette høres spennende ut så nøkkelbegrepet "metriske rom" (metric spaces på engelsk). Lykke til!

Konvergente tallfølger

Eksempel 1

Bevis

Lynkurs 11.-13.trinn

Følger og rekker

Består av: