www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Kontrapositivt bevis

En veldig nyttig 

Ekvivalens

Man sier at to påstander P og Q er ekvivalente hvis følgende er sant: 1. Hvis P er sann, så må også Q være sann, 2. hvis Q er sann må også P være sann. Vi skriver PQ. Eksempel:

"Hvis Ida er i Frankrike, er hun i Europa" er ekvivalent med "hvis Ida ikke er i Europa, er hun ikke i Frankrike".

ekvivalens
er den følgende:

PQ

ekvivalent med

ikkeQikkeP

Siden de to utrykkene er ekvivalente, holder enten ingen eller begge. Dermed kan vi bevise det andre uttrykket for å bevise det første. Når vi gjør dette, kaller vi det et kontrapositivt bevis.

Eksempel 1:

Vis at hvis n er et heltall og n2 er et oddetall, så er n også et oddetall.

Bevis:

La påstandene P og Q være som følger:

P="n2 er et oddetall"

Q="n er et oddetall".

Påstanden vi skal vise blir da PQ. Vi vil bruke et kontrapositivt bevis, så vi vil heller vise: ikkeQikkeP.

ikkeQ er det motsatte av Q, altså at n ikke er et oddetall. Da er n et partall.

ikkeP er det motsatte av P, altså at n2 ikke er et oddetall. Da er n2 et partall.


Anta at n er et partall.

Da finnes det et heltall k slik at n=2k.

n2=2k2=4k2.

Og vi ser at dette kan deles på 2, og dermed er også n2 et partall.


Dette beviser ikkeQikkeP og dermed også PQ.

Sagt med ord: Vi viste at hvis n er et partall er n2 et partall, og da vet vi også at hvis n2 er et oddetall må n være et oddetall.

Publisert: 07.08.2014 Endret: 03.05.2017