www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Indirekte bevis/bevis ved motsigelse

Indirekte bevis baserer seg på den grunnleggende innsikten at hvis noe ikke er usant, så er det sant. Med andre ord: en påstand må enten være sann eller usann.

Vi vil vise at en påstand P er sann. Da antar vi først ikke-P, altså at P ikke er sann. Vi viser så at ikke-P fører til en selvmotsigelse og fra dette slutter vi at P må være sann. Dette har vi fordi enten ikke-P eller P må være sann.

Men hva betyr det egentlig at noe er sant? Og hvorfor kan ikke noe være hverken sant eller usant? Mange har stilt seg disse spørsmålene, og selv om indirekte bevis er godtatt av et overveldende flertall, finnes det noen som ikke gjør det. Intuisjonismen er en retning innen matematisk filosofi som legger vekt på selvinnlysende sannheter og som forkaster bevis ved motsigelse. De vil dermed forsøke å finne bevis på andre måter. Som regel kan man føre et direkte bevis istedet, det er bare vanskeligere.

Eksempel

Vis at hvis n2 er et oddetall, er n også det.

Bevis:

Vi begynner med å anta det motsatte, altså at n2 er et oddetall, men n er et partall. Hvis n er et partall, finnes det et heltall k, slik at n=2k. Men da får vi:

n2=2k2=22k2=4k2=22k2.

Fra dette kan vi se at n2 er delelig på 2 og dermed er et partall. Men dette er en selvmotsigelse, fordi vi allerede har antatt at n2 er et oddetall.

Siden vi ikke kan ha at n er et partall, er n et oddetall.

Publisert: 07.08.2014 Endret: 16.09.2014