www.matematikk.org
Trinn 11-13Elever Trinn 11-13Lærer Trinn 11-13Foresatt

Implikasjon og ekvivalens

I mange oppgaver må man gjøre mer enn en enkeltstående utregning for å komme fram til svaret. Det kan være nødvendig med et matematisk resonnement, bestående av logiske argumenter. Hvordan får vi en ryddig framstilling av slike resonnementer?

For å få en ryddig framstilling av slike resonnementer, bruker vi gjerne implikasjonspilen , som i utsagnet

Det regner 

Bakken blir våt


Implikasjonspilen betyr at det som står ved starten av pilen, medfører (eller impliserer) det som står ved slutten av pilen. Legg merke til at selv om en implikasjon er gyldig, som i eksemplet over, er det ikke sikkert det samme gjelder når vi snur pilen:

Det regner 

 

Bakken blir våt

Ved første øyekast virker dette utsagnet også rimelig. Men det er ikke logisk gyldig. Det kunne for eksempel tenkes at noen spylte vann på bakken fra en slange!


Du synes kanskje at eksemplet over har lite med matematikk å gjøre? Dessverre er det fort gjort å gå i logiske "feller" i matematikken også. En typisk feilslutning er utsagnet

 x2=4 

  

 x=2 


Dette er ikke sant. Det riktige er at x2=4 medfører at x er lik enten 2 eller -2. I dette tilfellet er imidlertid den motsatte implikasjonen gyldig:

 x2=4 

  

 x=2 


Se nå på det logisk gyldige utsagnet

 n  er et heltall

 

2n er et partall 


Her er den motsatte implikasjonen også riktig:

n er et heltall

  

2n er et partall

Når vi har implikasjon begge veier som i dette eksemplet, samler vi gjerne begge utsagnene til ett, ved å bruke ekvivalenspilen :

n er et heltall

 

2n er et partall

Symbolet  leses "er ekvivalent med", eller "hvis og bare hvis".

Eksempler 

1. Hedda har førerkort Hedda er over 18 år.

2. Dyr er dødelige  giraffer er dødelige.

3. xy=0  x=0 eller y=0.

4. x=0 xy=0.

 

Publisert: 06.08.2014 Endret: 16.08.2016

Begrep

  • Ekvivalens

    Man sier at to påstander P og Q er ekvivalente hvis følgende er sant: 1. Hvis P er sann, så må også Q være sann, 2. hvis Q er sann må også P være sann. Vi skriver PQ. Eksempel:

    "Hvis Ida er i Frankrike, er hun i Europa" er ekvivalent med "hvis Ida ikke er i Europa, er hun ikke i Frankrike".

  • Implikasjon

    En påstand P impliserer en annen påstand Q hvis det følger at Q er sann hvis P er sann. Vi skriver PQ.

    Eksempel: "Alle i klassen har gul t-skjorte" impliserer "Ingen i klassen har grønn t-skjorte".