Å bygge funksjoner

Vi har nå sett hva funksjoner er, og sett på noen av de viktige typene av funksjoner. Det siste vi skal gjennom her er hvordan vi kan få enda flere forskjellige funksjoner. Dersom $f$ og $g$ er to funksjoner, kan vi "bygge" nye funksjoner ut fra disse to. Det er to hovedmåter vi kan gjøre dette på.

Den mest opplagte metoden er å bruke de 4 regneartene. Hvis for eksempel

f (x) = \sqrt{x + 1}

g (x) = x^{3},

kan vi lage nye funksjoner ved å legge dem sammen $(\sqrt{x + 1} + x^{3})$ , trekke dem fra hverandre $(\sqrt{x + 1} - x^{3}$ og $x^{3} - \sqrt{x + 1})$ , gange dem sammen $(\sqrt{x + 1} \cdot x^{3})$ eller dele den ene på den andre $(\frac{\sqrt{x + 1}}{x^{3}}$ og $\frac{x^{3}}{\sqrt{x + 1}})$ .

Den andre metoden er å sette funksjonene inni hverandre. Med $f$ og $g$ som over, får vi med denne teknikken de to funksjonene

f (g (x)) = \sqrt{x^{3} + 1}

g (f (x)) = {(\sqrt{x + 1})}^{3} = {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}

Den innerste funksjonen kalles ofte kjernen i det sammensatte uttrykket. Funksjoner som er bygget opp på denne måten, er utgangspunktet for den berømte kjerneregelen. Teoremet under oppsummerer diskusjonen over og gjør rede for definisjonsmengdene til de nye funksjonene. Beviset for teoremet følger fra definisjonen av en funksjon, men vi hopper over dette flisespikkeriet her. (Ikke la deg lure av at vi setter opp dette som et fancy teorem - det meste er rene selvfølgeligheter.)

Teorem. Anta at $f (x)$ og $g (x)$ er funksjoner med

Definisjonsmengde

En funksjon tar verdier fra en bestemt mengde, og denne mengden kalles definisjonsmengden til funksjonen.

Eksempel:

$f (x) = \frac{1}{x} f o r x \in (0, \infty)$

har definisjonsmengde $(0, \infty)$ . Merk at funksjonen ikke kan være definert i $x = 0$ fordi vi ikke kan dele på $0$ .
definisjonsmengdene

$D_{f}$ og $D_{g}$ . Da er følgende uttrykk også funksjoner:

a)	$f (x) + g (x)$	b)	$f (x) - g (x)$	c)	$g (x) - f (x)$
d)	$f (x) \cdot g (x)$	e)	$\frac{f (x)}{g (x)}$	f)	$\frac{g (x)}{f (x)}$
g)	$f (g (x))$	h)	$g (f (x))$

Funksjonene i a)-d) er definert der både $f$ og $g$ er definert. Definisjonsmengden blir altså $D_{f} \cap D_{g}$ .
I e) og f) blir definisjonsmengden $D_{f} \cap D_{g}$ minus de punktene der nevneren er lik null.
Funksjonen $f (g (x))$ er definert for alle $x \in D_{g}$ som er slik at $g (x) \in D_{f}$ . Tilsvarende for $g (f (x))$ .

Å bygge funksjoner

Definisjonsmengde

Lynkurs 11.-13.trinn

Funksjoner (del II)

Består av: