Rask gjennomgang av regneregler for potens og røtter

Definisjonen av potenser og røtter gir oss følgende fine egenskaper ved potenser:

Teorem La a og b være reelle tall, og m og n naturlige tall. Da gjelder:

1)    $a^m{a}^n=a^{m+n}$ 2)   $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},(m>n)$ 3)   ${\left(a^m\right)}^n={\left(a^n\right)}^m=a^{m\cdot n}$ 4)   $a^m{b}^m={\left(ab\right)}^m$ 5)   $\frac{a^m}{b^m}={\left(\frac{a}{b}\right)}^m$

Bevis for 1):

Fra definisjonen av potenser har vi at  $a^m=\stackrel{\text{m faktorer}}{a\cdot a\cdot \cdot \cdot a}$ og dette gir oss at

$a^m{a}^n=\stackrel{\text{m faktorer} \mathrm{n} \mathrm{faktorer}}{a\cdot a\cdot \cdot \cdot a\cdot a\cdot \cdot \cdot a}=a^{m+n}$

Flere definisjoner og sammenhengen med røtter

Teoremet over gir en naturlig måte å utvide definisjonen av potenser slik at vi kan tillate andre tall enn bare de naturlige tallene som eksponenter. Vi kan for eksempel spørre oss: Hvis det var noe som het $a^0$, hva skulle dette være for noe? La oss anta at regnereglene i teoremet fortsatt gjelder når  $m,n\le 0$. Da får vi, ved å sette $m=0$ i punkt 1), at

$a^0\cdot a^n=a^{0+n}=a^n$

Deler vi på $a^n$ på begge sider, står vi igjen med $a^0=1$.
På samme måte kan vi undersøke hva $a$ opphøyd i et negativt heltall skulle være, ved å bruke punkt 2): Setter vi $m=0$ her, får vi at

$\frac{a^0}{a^n}=a^{0-n}=a^{-n}\mathrm{.}$

 

Dersom vi holder fast på at $a^0=1$, betyr dette altså $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Til slutt ser vi på uttrykket $a^{\frac{1}{m}}$, der $m\in N$. Hvis noe slikt skal gi mening og samtidig respektere teoremet, gir punkt 3) at vi må ha

${\left(a^{\frac{1}{m}}\right)}^m=a^{\frac{1}{m}\cdot m}=a$

Men dette vil si at $a^{\frac{1}{m}}$ tilfredsstiller likningen i definisjonen av m-’te-roten av $a$! Motivert av det vi nettopp har diskutert, lager vi følgende definisjon:

Definisjon La $m$ være et naturlig tall. Da er a)    $a^0=1$ for alle $a\in ℝ,a\ne 0.$ Uttrykket $0^0$ er ikke definert. b)    $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$ for alle $a\in ℝ,a\ne 0.$ c)    $a^{\frac{1}{m}}=\sqrt[m]{a}$ for alle $a\in ℝ$ slik at $\sqrt[m]{a}$ er definert. Mer generelt definerer vi for alle $a\ge 0$ og alle naturlige tall $m$ og $n$: d)    $a^{\frac{m}{n}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}\mathrm{.}$ e)    $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{{\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\mathrm{.}$ Dersom $n$ er odde, kan vi tillate negative $a$ i d) og e). Uttrykkene blir de samme.

 

Ved å studere definisjonen av en potens, har vi utvidet potensbegrepet til å gjelde også eksponenter som er brøker!

Det er også mulig å definere potensuttrykk der eksponenten er irrasjonal, for eksempel $2^{\pi }$. Idéen er å betrakte følgen $2^3,2^{3,1},2^{3,14},2^{3,141}$ . . . , der eksponentene er rasjonale tall som blir stadig nærmere $\pi$. Man kan vise at følgen nærmer seg et bestemt tall, som vi definerer til å være $2^{\pi }$. Vi går ikke nærmere inn på detaljene her.

Vi oppsummerer potensreglene:

Potensregler                 La $a,b,m,n\in ℝ$ der $a,b\ge 0.$  Følgende regler gjelder der hvor uttrykkene er definert:
1)   $a^m{a}^n=a^{m+n}$	2)   $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},(m>n)$	3)   ${\left(a^m\right)}^n={\left(a^n\right)}^m=a^{m\cdot n}$
4)   $a^m{b}^m={\left(ab\right)}^m$	5)   $\frac{a^m}{b^m}={\left(\frac{a}{b}\right)}^m$

 

Eksempler

Regn ut: a) $\sqrt[3]{5^6}$ b) $2^{-10}\sqrt[\frac{1}{3}]{2^4}$  c) ${\left(\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[3]{a^2}}\right)}^6$

Løsning:

a) $\sqrt[3]{5^6}=5^{\frac{6}{3}}=5^2=25$ 

b) $2^{-10}\sqrt[\frac{1}{3}]{2^4}=2^{-10}{\left(2^4\right)}^{\frac{1}{\frac{1}{3}}}=2^{-10}{\left(2^4\right)}^3=2^{-10}{2}^{12}=2^{-10+12}=4$ 

c) Enten:

${\left(\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[3]{a^2}}\right)}^6={\left(\frac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{2}{3}}}\right)}^6={\left(a^{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}}\right)}^6={\left(a^{\frac{1}{12}}\right)}^6=a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$

eller:

 ${\left(\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[3]{a^2}}\right)}^6=\frac{{\left(\sqrt[4]{a^3}\right)}^6}{{\left(\sqrt[3]{a^2}\right)}^6}=\frac{a^{\frac{3}{4}\cdot 6}}{a^{\frac{2}{3}\cdot 6}}=\frac{a^{\frac{9}{2}}}{a^4}=a^{\frac{9}{2}-4}=\sqrt{a}$