Øvingsoppgaver med fasit

Ole og Sebastian har har tippet Tipping. Bare en av 12 kamper gjenstår på kupongen og begge har 11 rette. Ole har tippet hjemme, mens Sebastian har halvgardert seg med borte og uavgjort.

Anta at utfallet av den siste kampen er tilfeldig (helt tilfeldig om det blir hjemme, uavgjort eller borte). Vi betegner hendelsene "Ole 12 riktig" = O og "Sebastian 12 riktige" = S. 

a) Kan både Ole og Sebastian få alle de 12 kampene riktige? Hva blir dermed $P(O\cap S)$?

b) Hva er sannsynligheten for P(O) og P(S)?

c) Hva er sannsynligheten for $P(O\cup S)$?

Første time etter ferien spør læreren sine 24 elever hvor de har vært på ferie. 8 av elevene sier de kun har vært i Sverige, 4 sier de kun har vært i Danmark, 2 sier de både har vært i Sverige og i Danmark mens resten sier de bare har feriert hjemme i Norge.

a) Tegn opp et venndiagram for klassen.

Vi trekker ut en tilfeldig elev. Vi betegner hendelsen "Elev vært i Danmark" for D og "Elev vært i Sverige" for S.

b) Hva er sannsynligheten for P(S)? 

c) Hva er sannsynligheten for P(D)?

d) Hva er sannsynligheten for $P(S\cap D)$?

e) Hva er sannsynligheten for $P(S\cup D)$?

Den uerfarene tyske turisten Gûnter har gått seg vill oppe i den norske fjellheimen. Han befinner seg på en sti som deler seg i to. Altså det første veiskillet. Han vet den ene veien fører fram mot hytta han skal til, mens den andre vil resultere i at han får sett altfor mye av norsk natur.

Vi beskriver hendelsene

• "riktig ved første veiskille" = A
• "feil ved første veiskille = B

a) Siden Gûnter ikke har peiling på hvilken av de to stiene som fører fram til hytta, hva er da sannsynligheten for P(A)?

Nå viser det seg at den riktige stien også deler seg i to, der den ene stien fører rett til hytta mens den andre vil være feil. Så med andre ord kan Gûnter velge riktig ved det første veiskille mens ved det andre veiskille velge feil. Gûnter har heller ikke i dette veiskillet peiling.

Vi beskiver hendelsene

• "velger riktig ved andre veiskille" = C 
• "velger riktig ved andre veiskille gitt velger riktig ved det første" = C|A
• "velger riktig ved første og andre veiskille" = $A\cap C$

b) Tegn opp hendelsene A,B,C og $A\cap C$ i ett og samme venndiagram. Blir det riktig å tegne opp C|A inn i dette venndiagrammet?

c) Finn P(C|A) og $P(A\cap C)$.

d) Hva er sannsynligheten for P(C|B) og $P(B\cap C)$? (lurespørsmål!)  

Rosenborg spiller mot Barcelona hjemme på Lerkendal. Anta at sannsynligheten for utfallet er fordelt på følgende måte

                                                    P(H) = $\frac{1}{6}$ , P(U) = $\frac{2}{6}$ 

der H svarer til hjemmeseier dvs. RBK vinner osv.

a) Finn P(B) dvs. sannsynligheten for at Barcelona vinner.

b) Finn sannsynligheten til den komplementære hendelsen av P(U).

c) Finn sannsynligheten til den komplementære hendelsen av P(H). 

Er du enig i denne sannsynlighetsfordelingen (Barcelona-fans trenger ikke å svare:)? Hva kalles denne sannsynligheten og hva er forskjellen på denne type sannsynlighet og sannsynligheten på om det blir krone eller mynt ved et myntkast?

Trude ringer Posten en mandags morgen  og spør etter ett brev hun venter på. De forteller at at sannsynligheten for at brevet kommer på de nærmeste dagene er

P(man) = 0.0, P(tir) = 0.10, P(ons) = 0.30, P(tor) = 0.40, P(fre) = 0.20  

Funksjonæren i telefonen forteller videre at om f.eks posten ikke kommer på tirsdag så blir sannsynligheten for at brevet kommer dagen etter som følger

P(ons) = 0.30 + P(tir)  

altså  

P(brevet kom ikke idag, men kommer imorgen) = P(idag) + P(imorgen)

Dermed er det alltid 100% sannsynlighet for at brevet kommer frem innen de nærmeste 4 dagene (på fredag er brevet uansett i postkassa).

 a) Bestem P($\overline{man}$).

 b) Hvis brevet ikke kommer på onsdag, hva blir P(tor).

 c) Trude reiser bort på sent på torsdag og blir borte hele helgen. Hvor stor er  sannsynligheten for at Trude får brevet akkurat denne uka?         

I klasse 2B er det 24 elever. Av disse har 5 elever kun tysk og 12 elever har kun spansk. Det er 7 elever som har både tysk og spansk.

 a) Sett opp en tabell. Kollonnene skal inneholde de som har tysk, ikke tysk og sum. Radene skal inneholde de som har spansk, ikke spansk og sum.

 b) Tegn opp et venndiagram som illustrerer dette.

Vi ser på hendelsene A = "eleven har tysk" og B = "eleven har spansk". En elev blir trekt ut tilfeldig.

c) Hva er sannsynligheten for at eleven har tysk?

d) Hva er sannsynligheten for at eleven har kun et språk?

e) Hvilken av hendelsene (B, men ikke A) og (A) har størst sannsynlighet for å inntreffe?

En skole har totalt 30 elever og 2 klasser. I klasse 1 er det 20 elever hvorav 15 er gutter og i klasse 2 er det 10 elever hvorav 8 er gutter.

Vi plukker tilfeldig ut en elev fra skolen og ser på følgende hendelser:

• "eleven er gutt" = G
• "eleven går i klasse 1" = E

a) Tegn opp et venndiagram som viser utfallsrommet for den tilfeldig utplukkede eleven.

b) Beskriv med ord hendelsene $G\cup E$ og $G\cap E$. Merk disse av i venndiagrammet.

c) Hva er sannsynligheten for $P(G\cup E)$ og $P(G\cap E)$?

I en eske er det 3 røde baller og 3 blå baller. Vi trekker tilfeldig 3 baller i tur og orden.

a) Skriv opp utfallsrommet for den første trekte ballen.

b) Skriv opp utfallsrommet for de 2 første trekte ballene.

c) Skriv opp utfallsrommet alle de trekte ballene.

Ole og Kari Nordmann sitter å ser på lørdagens Lotto-trekning. Helt utrolig har de begge 6 rette og de venter spent på det siste tallet. Det siste tallet kan bli alt fra 1 - 34 og Ole's siste tall er 3 og Kari's siste tall er 24. Vi ser på hendelsene

• "Ole får 7 rette" = O
• "Kari får 7 rette" = K

a) Finn sannsynligheten for P(O) og P(K). Er P(O) = P(K)? 

b) Hva er $P(O\cup K)$ og $P(O\cap K)$?   

Du kaster en vanlig terning. Kan du finne hva som er den komplementære hendelsen til

   a) P(terningen viser 5)

   b) P(3 eller mer)

   c) P(3 eller mindre)