Assosiativitet, kommutativitet og distributivitet brukt på omkrets av et rektangel

Når vi skal finne omkrets av et rektangel kan vi måle en av de korteste sidene og en av de lengste sidene. Så kan vi plusse de korte og de lange sidene. Hvilke forenklinger gjøres da?

Kan du også svare meg på hva som er forskjellen på den distributive og den assosiative loven?

Et rektangel er en firkant der alle vinklene er rette. To og to motstående sider er like lange. Omkretsen er et tall som er gitt som summen av sidelengdene:

$Omkrets=lengde+bredde+lengde+bredde$.

Du kan bruke den kommutative loven for addisjon, her uttrykt som $a+b=b+a$, for å endre rekkefølgen på de midterste to tallene og få

$Omkrets=lengde+lengde+bredde+bredde$.

Merk nå at $lengde=1\cdot lengde$, og tilsvarende for $bredde$, så

$Omkrets=1\cdot lengde+1\cdot lengde+1\cdot bredde+1\cdot bredde$.

Her kan vi nå bruke den distributive loven, $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$, baklengs og få at

$Omkrets=(1+1)\cdot lengde+(1+1)\cdot bredde$.

$1+1=2$, så nå kan vi endelig skrive

$Omkrets=2\cdot lengde+2\cdot bredde$.

Mye enklere blir det ikke.

Den assosiative loven for multiplikasjon sier at et uttrykk som $a\cdot b\cdot c$ er meningsfylt, du kan enten regne ut $a\cdot b$ først og multiplisere resultatet med $c$, eller multiplisere $a$ med resultatet av $b\cdot c$. I symboler skriver vi $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. Det finnes en helt analog assosiativ lov for addisjon, som gir  $a+b+c$ mening.

Det som skiller den distributive loven ut er at den gjelder hvordan addisjon og multiplikasjon henger sammen, ikke hva som gjelder addisjon og multiplikasjon hver for seg.