Sum av geometrisk rekke

Skriv summen

 $-2+\frac{4}{3}-\frac{8}{9}+\frac{16}{27}\mathrm{...}$ 

ved hjelp av summetegn($\mathrm{\Sigma }$). Bestem summen.

Når det gjelder å skrive rekker med summetegn, er dette til dels en treningssak. Man lærer seg å gjenkjenne de vanligste utviklingene av rekker, i vårt tilfelle en alternerende geometrisk rekke, dvs. en rekke på formen

 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_0{r}^n$ 

der a₀ er en konstant lik det første leddet i rekka (dvs. der n=0) og r er negativ.

Dersom vi deler alle ledd på a₀, dvs. vi deler på $-2$, og flytter denne faktoren $-2$ utenfor summetegnet, ser vi at rekka kan skrives

 $-2\sum _{n=0}^{\infty }{(-\frac{2}{3})}^n$.

For å finne summen av rekka, bruker vi regelen for summen s av en konvergent geometrisk rekke:

 $s=\frac{a_0}{1-r}$.

Vi får at summen i vårt tilfelle blir

 $s=\frac{-2}{1-(-\frac{2}{3})}=-\frac{6}{5}$.