www.matematikk.org

En femkant med en ku

Spørsmål:

Else, 69

Har en femkant, hvor hver side er 200m, i det ene hjørne står ei ku bundet i tau, kua skal beite halvparten av femkanten, hvor langt må tauet til kua vere, har prøvd og tegne opp med en passar, men jeg står fast her, kunne du hjelpe meg.

På forhand takk

Svar:

Hei, Else!

En artig oppgave! Oppgaven er såpass vanskelig at jeg antar du kan litt trigonometri. (Send meg gjerne en melding med hvor du fant oppgaven!)

Løsningsmetoden jeg velger, starter med å gå i formelsamlingen for å hente formelen for arealet av en likesidet mangekant:

A=12Or

der O er mangekantens omkrets, og r er radius til den innskrevne sirkelen, dvs. den sirkelen som akkurat får plass inni mangekanten.

Videre er det slik at for en likesidet mangekant er

r=t2tan54

der t er sidelengden.

Setter vi dette inn i formelen over, får vi at arealet av en likesidet mangekant er

A=54t2tan54

Arealet av vår femkant, som har sidelengde 200 m, blir dermed

A=54200m2tan5468 819m2

Kua skal gresse på halvparten av dette arealet, altså 34 410 m2.

Siden kua er bundet til et hjørne, vil figuren den kan bevege seg på være en sirkelsektor. Vinkelsummen i en femkant er 540 grader, og derfor er vinkelen i sirkelsektoren vår 540/5 = 108 grader.

Arealet av en slik sirkelsektor blir

A=πx2108360

der x er sirkelsektorens radius, som jo også er lik tauets lengde. Det betyr at hvis dette arealet skal være lik 34 410 m2, kan vi finne tauets lengde x ved å løse likningen

πx2108360=34 410  x2=36 510  x191

Tauet må altså være omtrent 191 meter langt.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 30.10.2016 Endret: 29.04.2019