www.matematikk.org

Multiplikasjon

Multiplikasjon er på en måte en forkortet tenkemåte for addisjon av flere like ledd. Regnetegnet for multiplikasjon er  (eller et kryss x), og det leses "multiplisert med" (eller "ganget med"). Når vi multipliserer, kalles svaret for et produkt. Tallene vi ganger sammen kalles faktorer, men her brukes også som i de andre regneartene betegnelsen ledd. Hvis det er bare to ledd, har faktorene også egne navn: multiplikand og multiplikator. Hvis vi tolker 35 som 3 tatt 5 ganger, er 3 multiplikand og 5 multiplikator, men tolker vi det som 5 tatt 3 ganger, er 5 multiplikand og 3 multiplikator.

I addisjon kan vi fritt bytte rekkefølge på leddene uten at svaret endres. Det kan vi selvsagt ikke i subtraksjon. Men i multiplikasjon gjelder

Ombyttingsregel
Vi får samme svar når faktorene bytter plass.


En annen regel som gjelder både for addisjon og multiplikasjon, er 

Grupperingsregel
Når vi skal addere eller multiplisere tre tall, kan vi gruppere dem sammen som vi vil.


Eksempel: Vi skal regne ut 8+1+9.  Da kan vi ta tallene fra venstre og tenke 9+9=18. Men vi kan også utnytte at 1+9=10 og dermed ende med å regne ut 8+10=18. Det blir samme svar. Tilsvarende gjelder for multiplikasjon.

Eksempel

Kåre hadde sommerjobb i to uker à fem dager. Hver dag jobbet han 7 timer. Antallet arbeidstimer i de to ukene kan vi da finne ved

  1. enten først å regne ut at det blir 75 timer i ei uke, dvs. 35 timer i uka, og så gange med 2 for å få med begge ukene
  2. eller ved å gange 7 timer daglig med de 52 dagene

Tankegangene er dermed, når vi skal regne ut 752:

  1. 75=35og352=70
  2. 52=10og710=70

Vi har også en tredje viktig sammenheng som angår multiplikasjon og addisjon. Vi tar et enkelt talleksempel, å regne ut 78. Svaret er 56, og vi kan illustrere det:

7 stjerner i 8 rader

 Vi kan dele opp utregningen i 58 pluss 28

7 stjerner i 8 rader; siste to kolonnene til høyre er skilt av med en skrek fra resten


Dette kaller vi fordelingsregelen: Vi skal gange 7 med 8. Dette kan vi utføre ved å dele opp 7 i 5+2, deretter regne ut 58 og 28, og til slutt addere svarene. Fordelingsregelen gjelder naturligvis for alle tall, og den kommer til nytte når tallene blir større eller vanskeligere å regne med.

Vi kan, hvis det er ønskelig, også fordele den andre faktoren, for eksempel i 5+3, og får det slik: 78=58+28=55+53+25+23.

7 kolonner og 8 rader. Stjernene i de to kolonnene lengst til høyre er skilt av fra resten med en vertikal strek. og De nederste to radene er skilt fra resten med en horisontal strek.


Vi går nå over til multiplikasjon av flersifrede tall. I skolen har vi lært en fast oppstilling for å regne multiplikasjoner som er for store til å ta i hodet. Vi skal se på et par slike multiplikasjoner.

Eksempel


Vi skal utføre multiplikasjonen 289. Noen klarer en slik multiplikasjon i hodet – og det er jo bra – ved f. eks. å tenke slik: Det er litt krevende å regne ut 289 direkte i hodet, men 2810 ser vi enkelt at blir 280. Vi kan derfor ta 28 ti ganger, og deretter trekke fra 28, og når vi så tar 28028 får vi svaret 252:

289=281028=28028=252.

Den vanlige oppstillingen for multiplikasjon av flersifrede tall har visse likhetstrekk med metoden vi har brukt for å addere og subtrahere. Vi spalter opp tallene i enere, tiere, hundrere osv. Vi stiller ikke opp tallene over hverandre, som i addisjon og subtraksjon, men ved siden av hverandre. Det er ofte hensiktsmessig å sette det største tallet til venstre.
Vi ganger først enerne med hverandre, 89=72. Vi noterer 7 som minnesiffer (”mente”) på tierplassen, og noterer 2 på enerplassen i svaret: 

Regnestykket 28 ganger 9 der minnesifferet 7 er skrevet over tallet 2 (i 28)

Så ganger vi de to tierne med 9. 29=18. Vi må deretter legge 7 til tierne, og får da 18+7=25 tiere. 25 tiere og 2 enere er 252.

Regnestykket 28 ganger 9 der minnesifferet 7 er skrevet over tallet 2 (i 28) og svaret til regnestykket er 252.

Hvordan og hvorfor fungerer dette?


Metoden utnytter fordelingsregelen: Vi deler 28 opp i 8 enere og 2 tiere. Oppstillingen er en kort og grei skrivemåte for denne tankegangen:

289=89+209=72+180=2+70+180=2+250=252.

Eksempel


Regn ut 12115.

Å regne dette uttrykket i hodet kan være litt krevende, men noen vil kanskje tenke slik:

12115=12110+1215

12110 blir 1210, og 1215 må være halvparten av 1210, altså 605. Da får vi at

12115=1210+605=1815.

Vi har delt opp multiplikasjonen i enklere deler ved hjelp av fordelingsregelen.

Den vanlige oppstillingen baserer seg, i likhet med hoderegningen, på å dele opp multiplikasjonen i enklere deler.

Først tar vi for oss det sifferet som står på enerplassen i tallet til høyre. Vi ganger dette tallet med tallet som står til venstre, slik som i forrige eksempel:

Regnestykket 121 multiplisert med 15 der 1 er minnesifferet skrevet over 121 og svaret er 605


Neste skritt er å gange sifferet som står på tierplassen i tallet til høyre med tallet som står til venstre. Vi plasserer resultatet under det foregående, og forskyver sifrene med en plass mot venstre fordi det er tiere vi ganger med. Altså, det første tallet på tierplassen, det neste på hundrerplassen, osv. 

Regnestykket 121 ganget med 15 der 1 tallet er minnesifferet skrevet over 1 i 121. Under er det 605 og 121 men står slik at 21 (fra 121) kommer rett under 60 i tallet 605. Svaret er 1815.


Egentlig kunne vi godt ha skrevet det helt ut slik:

Hele regnestykket som på bildet over. Men det er blitt tilføyd et 0 etter 121 slik at det står 1210 under 650, men slik at sifrene 210 fra 1210 står rett under 650. Svaret er 1815.
Publisert: 05.03.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Addisjon

    Synonymt med å "legge til", "plusse på".
    Regneoperasjonen 5 + 7 = 12 kalles en addisjon.
    Tallene 5 og 7 kalles ledd, og resultatet kalles en sum.
    Mellom leddene skrives plusstegn (+).

  • Enere

    Sifferet som står på enerplassen forteller hvor mange enere det er i tallet.
    Eksempel:  Tallet 286 har 6 enere.

  • Faktor

    Når tall multipliseres, kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt. Eksempel: 5 · 3 = 15. 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet, og vi kan si at produktet består av faktorene 5 og 3.

  • Gjentatt addisjon

    Gjentatt addisjon er addisjon av samme tall flere ganger:
    3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 · 5 = 15

  • Hundrer

    Sifferet som står på hundrer-plassen forteller hvor mange hundrere det er i tallet.
    Eksempel : 38745
    Dette tallet har 7 hundrere.

  • Ledd

    I en addisjon, slik som
    8 + 3 + 5
    kalles tallene for addisjonens ledd

  • Multiplikasjon

    Å multiplisere er det samme som å addere samme tall flere ganger. Ofte kalt "ganging". Et av tallene i multiplikasjonen forteller hvilket tall som skal adderes. Det andre tallet forteller hvor mange ganger det skal adderes.

    Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

    Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
    Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

    Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

    Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

  • Multiplikasjonstegn

    Regnetegnet for multiplikasjon er · .
    Noen ganger kan du se multiplikasjonstegnet skrevet som x.

    Eksempel : 2·3 eller 2x3

  • Produkt

    Produktet er et resultat av en multiplikasjon.

    Eksempel : 2·7=14

    14 er produktet, mens 2 og 7 kalles faktorer.

  • Siffer

    Symbolene (skrifttegnene) som vi bruker i vårt posisjonssystem for å beskrive ulike tall:
    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

  • Subtraksjon

    Subtraksjon er operasjonen der vi har et tall og trekker fra et annet.
    Regneoperasjonen 14 - 9 = 5 kalles en subtraksjon.
    Talene 14 og 9 kalles ledd, og resultatet kalles differensen.
    Mellom leddene skrives minustegn (-).

  • Tiere

    Sifferet som står på tier-plassen forteller hvor mange tiere det er i tallet.

    Eksempel : 3847
    Dette tallet har 4 tiere.