www.matematikk.org

Målgruppe:

R1
S2

Funksjonsdrøfting med GeoGebra

Elevene starter med en GeoGebra-modell som de bruker til å utforske egenskaper ved en funksjon knyttet til den deriverte og den dobbeltderiverte. De fortsetter med å lage egne modeller i Geogebra og løser tradisjonelle oppgaver.

Lærerens instruksjoner

For de flinkeste elevene vil opplegget kunne kjøres gjennom i løpet av en dobbelttime, men en dobbelttime og en enkelttime vil være tilstrekkelig for å få gjennom alle.

Opplegget krever noe kjennskap og tilgang til GeoGebra. Elevene skal i én av deloppgavene selv legge inn en funksjon og studere denne i GeoGebra.

Det kan være en fordel å friske opp kunnskapene om derivasjon fra Vg1T før opplegget kjøres/startes - repeter hva den deriverte er og øv litt på derivasjon av polynomfunksjoner før dere går over til å undersøke egenskapene til funksjonene i dette opplegget.

Elevens oppgaveark

Utforsking av den deriverte til en funksjon.

Hensikt: Å bli kjent med hva den deriverte til en funksjon uttrykker og hvordan den kan brukes til å finne ut av egenskaper ved grafen til funksjonen.

1: Skriv med egne ord hva den deriverte av en funksjon f(x) i et punkt (a,f(a)) er et uttrykk for.

Du skal nå arbeide med GeoGebra for å få bedre forståelse av hva den deriverte av en funksjon kan fortelle om grafen til funksjonen.

2: Åpne GeoGebraanimasjonen som du finner på denne adressen: 
http://www.geogebra.org/en/upload/files/Norwegian/Jon_Arild_Jorgensen/stigningstall_tangent_1.html

I denne animasjonen ser du grafen til en funksjon, f(x), samt en tangent i et punkt A som ligger på grafen.

3: Studér grafen, og tegn ei fortegnslinje som viser fortegnet til f(x) for alle verdier av x.

Du kan flytte på punktet A. Du ser også en trekant som viser stigningen til tangenten, m er stigningstallet.

4: Flytt på A langs grafen til f(x), og ut fra det du ser lager du ei fortegnslinje for m, stigningen til tangenten.

5: Sammenlign fortegnslinja med grafen. Hva kan du si om grafen når fortegnslinja viser at m er negativ? Når m er positiv? Når m er null?

6: Se tilbake på spørsmålet du startet med. Ser du noen sammenheng mellom m og den deriverte av funksjonen f(x)? Vil du endre forklaringen din av hva den deriverte til en funksjon er?

7: Bruk animasjonen til å finne f(2), f(0,5), f(1) og f(1,5). Forklar hva du gjør og hvorfor du går fram som du gjør.

8: Ut fra det du nå vet, tegn en skisse som viser et forslag til hvordan grafen til f(x) ser ut.

9: Kan du ut fra denne grafen avgjøre hvor f(x) synker, stiger, hvor den har toppunkt og hvor den har bunnpunkt?

Videre arbeid med den deriverte

1: Åpne GeoGebra.
2: Skriv inn f(x)=(x1)(x+2)(x2) (Bruk * som gangetegn.)
3: Skriv inn g(x)=derivert[f]
4: Skift farge på grafen til den deriverte funksjonen, g(x).
5: Sammenlign grafen til g(x) med den grafen du tegnet i forrige oppgave.
Kommentar?

6: Tegn en fortegnslinje til den deriverte av g(x).

7: Kan du beskrive grafen til f(x) i det området der g(x) er positiv?  Der den er negativ?

g(x) er den deriverte av den deriverte til f(x). Denne funksjonen kaller vi den dobbeltderiverte eller andrederiverte av f(x) og skriver f(x).  Fortegnslinja du tegnet over er derfor fortegnslinja til f(x).

8: Du har nå funnet en verdi for x der f(x) skifter fortegn.  Finn det punktet på grafen til f(x) som har denne verdien som x-koordinat. Dette punktet kalles et vendepunkt på kurven.

Denne siste oppgaven skal du gjennomføre med blyant og papir, ikke med GeoGebra.

Oppgave

a: Vis at f(x)=(x1)(x+2)(x2)=x3x24x+4 

b: Finn f(x) og f(x).

c: Lag fortegnslinje for f(x) og for f(x).

d: Finn eventuelle ekstremalpunkt (topp og bunnpunkt) til f(x).

e: Finn eventuelle vendepunkt til f(x).

f: Avgjør for hvilke verdier av x grafen til f(x) vender den hule siden opp og hvor den vender den hule siden ned.

g: Sammenlign med de resultatene du fikk da du jobbet med GeoGebra.

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk for realfag - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram

  • Matematikk R1
    • Funksjoner
      • bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte forløpet til funksjoner og tolke de deriverte i modeller av praktiske situasjoner
      • tegne grafer til funksjoner med og uten digitale hjelpemidler, og tolke grunnleggende egenskaper til en funksjon ved hjelp av grafen

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program

  • Matematikk S2
    • Funksjoner
      • drøfte forløpet til funksjoner og tolke de deriverte i praktiske sammenhenger ved å bruke førstederiverte og andrederiverte
      • tolke grunnleggende egenskaper til en funksjon ved hjelp av grafen

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    Grupper eller alene. Elevene bør ha litt kjennskap til GeoGebra.

  • Utstyr

    GeoGebra og tilgang på internett.
    Papir og blyant.

  • Tidsbruk

    En dobbelttime og én enkelttime.

  • Valg av tidspunkt

    Introduksjon til bruk av derivasjon i forbindelse med funksjonsdrøfting.

Skrevet av

Anne Karin Wallace
Jon Arild Jørgensen

Institusjon

Molde videregående skole
Matematikksenteret

Eksterne lenker