www.matematikk.org

Målgruppe:

Vg2T

Stopplengde for en bil

Elevene skal i denne oppgaven bestemme modellikningen for stopplengden til en bil, og undersøke om en kjent tommelfingerregel er til å stole på. Elevene skal selv prøve å forklare modellen de kommer fram til og hvorfor den får den formen den får.

Lærerens instruksjoner

Lærerveiledning


Kommentarer til problemet:
I utgangspunktet kan det virke fornuftig å la elevene jobbe sammen i litt mindre grupper, og på denne måten sammen kunne komme fram til sammenhenger og bestemme modellikningen for stopplengden. Problemet formidler indirekte viktige aspekt ved opptreden i trafikken, og gir innsyn i grunnlaget for en kjent tommelfingerregel. Dette kan være fint å ta med seg for elevene, som i løpet av et år eller to selv vil bli sjåfører.

Bevisst holdning til bruk av enheter er viktig i dette problemet. For å unngå at samme bokstav blir brukt i to ulike betydninger (for eksempel t som tid og timer), betyr forkortelsen t i dette problemet tid. Tilsvarende betyr s veilengde og ikke sekund. I punkt d) ser du at jeg oppgir proporsjonalitetskonstantene uten benevning, men at disse vises i en parentes bak. Det er likevel viktig at elevene forstår at disse konstantene har en benevning (og at de to konstantene har ulik benevning).

I punkt a) og b) kan det diskuteres om man bør lese av verdiene på konstantene med to gyldige siffer. Brukes regresjon på kalkulator kan man muligens bestemme det mer presist enn ved vanlig framstilling på millimeterark, og det kan derfor være på sin plass og akseptabelt å oppgi to gyldige siffer. Dette blir en vurdering som eventuelt kan gjøres sammen med elevene, ved at de sammenlikner verdiene de har kommet fram til og hvor mye de skiller seg fra hverandre.

Løsningsforslag:

a) Punktene vil ligge tilnærmet langs en rett linje, og man kan trekke en linje og bestemme dens stigningstall til omlag 0,7 (sek). Reaksjonslengden kan da skrives lR=0,7v, der v er farten gitt i meter per sekund. En begrunnelse for at reaksjonslengden vokser proporsjonalt med farten, er at reaksjonstida vil være tilnærmet konstant uavhengig av farten.

b) Når vi framstiller den kvadrerte farten mot bremselengden, finner vi at punktene til en viss grad blir liggende langs en rett linje. Vi finner at stigningstallet blir omlag 0,08 (sek2/m) . Bruk av kvadratisk regresjon på kalkulator kan tilsvarende som i a) være et aktuelt hjelpemiddel.

c) Vi tar utgangspunkt i de to bevegelseslikningene
   
(i):v=at(ii):s=12at2

og kraftloven

(iii):K=ma
som for de fleste elevene ville være mer eller mindre kjente. I denne oppgaven bruker vi lB i stedet for s som betegnelse på bremselengde, og Kf som betegnelse på friksjonskrafta. Siden vi antar konstant akselerasjon under nedbremsing, følger det at denne kraften også blir konstant.

Da får vi:
       
lB=12at2,bruker(i)=12a(va)2=12v2a,bruker(iii)=12v2Kfm=12mKfv2   


som viser hvorfor bremselengden vokser proporsjonalt med kvadratet av farten.
   
Under en enkel nedbremsing vil friksjonskrafta holde seg tilnærmet konstant. Derimot vil den kunne variere mye mellom hver gang man kjører og trenger å bremse, særlig hvis det skjer med flere dagers mellomrom. Bremselengden vil nemlig avhenge av hvordan veidekket er (f. eks. isdekke eller tørr asfalt), og på kvaliteten til dekkene. Dessuten vil den avhenge av om man står på stive hjul eller ikke (ABS - bremser), og overoppheting av bremsene kan føre til svekket og manglende bremsekraft. Dette til sammen kan forklare tendensen mot at bremselengden øker med noe mer enn kvadratet av farten for høye hastigheter.

d) Siden stopplengde = reaksjonslengde + bremselengde får vi følgende formel for stopplengden:

lT=lR+lB=av+bv2, der a0,7 (sek) og b0,08 (sek2 / m)

e) Vi får:

v=40,2km/t=11,2m/s er: s=vt=11,2ms3s=33,6m>lT=17,0m

v=80,5km/t=22,4m/s  er: s=vt=22,4ms3s=67,2m>lT=52,8m

v=104,6km/t=29,1m/s  er: s=vt=29,1ms3s=87,3m<lT=89,1m

v=120,7km/t=33,5m/s  er: s=vt=33,5ms3s=100,5m<lT=120,7m

v=150,0km/t=41,7m/s er: s=vt=41,7ms3s=125,0m<lT=168,1m

v=180,0km/t=50,0m/s er: s=vt=50,0ms3s=150,0m<lT=235,0m

Vi ser at tommelfingerregelen fungerer under norske forhold med høyeste fartsgrense på 90  km / t. Det er først for "ulovlige" hastigheter i overkant av 100 km / t at det blir trøbbel med regelen. For svært høye hastigheter ser vi at tommelfingerregelen blir helt gal og meningsløs.

Utvidelsesmuligheter:
Det kan være interessant å se på hvordan plassering av veiskilt ved ulykker bør gjøres, slik at det er mulig for bilistene å kunne stanse om det er nødvendig. Tabell 1 kan brukes som utgangspunkt for å svare på følgende spørsmål:

1. Hvor langt fra hendelsesstedet bør et varselskilt plasseres, når vi antar at en sjåfør begynner å reagere når han er rett ved skiltet og at han kjører i 80 km/t? Vi antar her at skiltet krever full stans.
2. En veistrekning har en fartsgrense på 80 km/t. En krapp sving krever at farten ikke er høyere enn omlag 50 km/t. Hvordan langt før svingen bør varselskiltet plasseres?


For å svare på disse to siste spørsmålene må man bruke tabellen og beregne stopplengder og nedbremsingsavstand. Elevene bør motiveres til å vurdere svarene, og sette seg inn i de problemstillingene veivesenet står ovenfor på dette området. For å begrense farlige situasjoner, må man ta høyde for ulik reaksjonsevne, for høy fart, mangler ved bremsesystemer og ulikt veidekke.

Du finner mer om dette problemet i følgende kilder:

Burghes, D. N., Huntley, I. & McDonald, J. (1982). Applying Mathematics  A Course in Mathematical Modelling, Ellis Horwood Limited, Chichester.

Erfjord, I (1997). Matematisk modellering og bruk av matematikk i videregående skole, Hovedoppgave i matematikkdidaktikk, Høgskolen i Agder.

Giordano, F. R. & Weir, M. D. (1985). A First Course in Mathematical Modeling, Brooks/Cole Publishing Company, Monterey, California.

Elevens oppgaveark

En tommelfingerregel som ofte trekkes fram i kjøreopplæring og som ofte illustreres på skilt langs veiene er som følger:

Du skal ligge så langt bak bilen foran deg at du er i stand til å telle 1001 - 1002 - 1003 før frontpartiet på bilen din når det punktet i veien du tok utgangspunkt i da du begynte å telle. Dette punktet var naturlig nok ved endepartiet på bilen foran, og man bør ha et fast punkt i veien som et referansepunkt for dette (f.eks et gjerde langs veien, en av stripene i veien o.l). Dersom du når dette punktet før du er ferdig med å telle, ligger du for nær bilen foran deg.
       
Regelen er enkel, men er den god nok? I denne oppgaven vil vi undersøke om den holder for tillatte hastigheter på norske veier.

For å undersøke tommelfingerregelen må vi bestemme den avstanden vi trenger for å få stanset en bil ved en gitt hastighet. Dette vil vi kalle stopplengden for bilen, og den kan deles opp i to deler:            

A: Reaksjonslengden, som er den avstanden bilen beveger seg fra sjåføren oppfatter situasjonen til han setter foten på bremsen.

B: Bremselengden, som er den avstanden bilen beveger seg i fra bremsing starter til bilen stopper. 

For effektivt å kunne beregne stopplengde når farten er kjent, vil vi nedenfor se om vi kan bestemme en formel/likning som gir oss stopplengden når vi kjenner farten. Siden stopplengden er en sum av reaksjonslengde og bremselengde, starter vi med å bestemme formler for disse.


Nedenfor er det i tabell 1 gjengitt testdata som viser sammenhengen mellom hastighet, reaksjonslengde, bremselengde og total stopplengde. (Tabellen inneholder testdata som representerer 85 % av observasjonene gjort i en undersøkelse av "the U.S. Bureau of Public Roads". Hastighet og lengde var opprinnelig oppgitt i mph (miles per hour) og ft (feet), og er blitt omregnet til m/s (meter i sekundet) og m (meter))

 

Hastighet (v) (måles i meter per sekund (m/s) Reaksjonslengde (lR) (måles i meter (m)) Bremseslengde (lb) (gjennomsnittsverdi inni parentesen, alle verdier målt i meter) Total stopplengde (lT) (gjennomsnittsverdi inni parantesen, alle verdier målt i meter)
8,9 (32,2 km/t) 6,7 5,5 - 6,7 (6,1) 12,2 - 13,4 (12,8)
 11,2 (40,2 km/t) 8,5 7,6 - 9,4 (8,5) 16,1 - 17,9 (17,0)
 13,4 (48,3 km/t) 10,1 11,0 - 13,7 (12,4) 21,1 - 23,8 (22,5)
 15,6 (56,3 km/t) 11,9 14,3 - 17,7 (16,1) 26,2 - 29,6 (28,0)
17,9 (64,4 km/t) 13,4 19,5 - 24,4 (22,0) 32,9 - 37,8 (35,4)
20,1 (72,4 km/t) 15,2 25,0 - 31,4 (28,2)  40,2 - 46,6 (43,4)
 22,4 (80,5 km/t) 16,8 32,0 - 39,9 (36,0) 48,8 - 56,7 (52,8)
24,6 (88,5 km/t) 18,6 40,2 - 50,3 (45,3) 58,8 - 68,9 (63,9)
 26,8 (96,5 km/t) 20,1 49,4 - 61,6 (55,5) 69,5 - 81,7 (75,6)
 29,1 (104,6 km/t) 21,9 59,7 - 74,7 (67,2) 81,6 - 96,6 (89,1)
 31,3 (112,6 km/t) 23,5  72,2 - 89,9 (81,1) 95,7 - 113,4 (104,6)
33,5 (120,7 km/t) 25,3 86,3 - 107,6 (97,0) 111,6 - 132,9 (122,3)
35,8 (128,7 km/t) 26,8 101,8 - 127,4 (114,6) 128,6 - 154,2 (141,4)

 

Tabell 1

a) Hvis du ser på tabellen ovenfor, ser det ut som om reaksjonslengden vokser proporsjonalt med farten. Undersøk dette ved en grafisk framstilling av de samhørende dataene for fart og reaksjonslengde. Finn en likning som beskriver sammenhengen mellom de proporsjonale størrelsene best mulig. Forklar hvorfor forholdet mellom fart og reaksjonslengde er konstant.

b) Hvis du sammenlikner hastighet og bremselengde i tabellen, finner du at bremselengden vokser mye raskere enn det farten gjør. Undersøk om du kan finne en tilnærmet lineær sammenheng mellom bremselengden (lb)  og kvadratet av farten (v2), og bestem en likning som uttrykker hvordan disse størrelsene vokser proporsjonalt.

c) Under nedbremsing vil akselerasjonen være tilnærmet konstant. Ta derfor utgangspunkt i bevegelseslikningene ved konstant akselerasjon:

 (i):v=at(ii):s=12at2
 
og kraftloven:

(iii):K=ma           
der v er farten (målt i meter per sekund), a er akselerasjon (målt i meter per sekund i andre), t er tida (målt i sekunder), s er veilengde (målt i meter), m er masse (målt i kilogram) og K er kraft (målt i Newton).

Vis ut fra dette at bremselengden vokser proporsjonalt med kvadratet av farten.
Hvilken forutsetning gjør vi m.h.t. friksjonskraften? Kan du tenke deg hvorfor denne forutsetningen kanskje er noe tvilsom?
       
d) I punkt a) og b) har du bestemt formler for henholdsvis reaksjonslengde og bremselengde. Still nå opp en formel for den totale stopplengden (lT). Framstill grafisk samhørende verdier for hastighet og stopplengde etter denne formelen. Merk også av de opprinnelige observasjonsdataene i diagrammet. Gir formelen tilnærmet riktige verdier for stopplengdene? 


I innledningen til denne oppgaven ble det vist til en klassisk tommelfingerregel (1001 -1002 - 1003). Tanken er at det tar omlag et sekund å si hvert av disse tallene, og det betyr at regelen sier at man minst må ligge 3 sekunder bak bilen foran. For å bestemme lengden en bil flytter seg i løpet av 3 sekunder, kan du anta at bilen holder en konstant hastighet i denne perioden.

En bil som kjører med konstant fart beveger seg en avstand s=vt.

e) Beregn den største trygge avstanden for ulike hastigheter etter tommelfingerregelen. Vurder om tommelfingerregelen er god nok for norske forhold ved å sammenlikne med stopplengdene i tabell 1. Framstill disse dataene i samme diagram som i punkt d).

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk 2T og 2P

  • Etter 2T
    • Kultur og modellering
      • utforske matematiske modellar, samanlikne ulike modellar og vurdere kva for informasjon modellane kan gje, og kva for gyldigheitsområde og avgrensingar dei har

Læreplan i matematikk fellesfag 2T-Y og 2P-Y, Vg3 påbygging til generell studiekompetanse

  • Etter 2T-Y
    • Kultur og modellering
      • utforske matematiske modellar, samanlikne ulike modellar og vurdere kva for informasjon modellane kan gje, og kva for gyldigheitsområde og avgrensingar dei har

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    Opplegget asser godt som et mindre prosjekt i grupper på to til tre elever. Problemet kan med fordel konkretiseres ute.

  • Utstyr

    ordinære skrivesaker og linjal.

  • Tidsbruk

    3 timer, gjerne som en del av et tverrfaglig prosjekt

  • Valg av tidspunkt

    Opplegget kan med fordel utføres tverrfaglig i forbindelse med at bevegelsesligninger og kraftloven tas opp i fysikk (naturfag).

Skrevet av

Ingvald Erfjord

Institusjon

Universitetet i Agder