www.matematikk.org

Målgruppe:

Vg2T

Stopplengde for en bil

Elevene skal i denne oppgaven bestemme modellikningen for stopplengden til en bil, og undersøke om en kjent tommelfingerregel er til å stole på. Elevene skal selv prøve å forklare modellen de kommer fram til og hvorfor den får den formen den får.

En tommelfingerregel som ofte trekkes fram i kjøreopplæring og som ofte illustreres på skilt langs veiene er som følger:

Du skal ligge så langt bak bilen foran deg at du er i stand til å telle 1001 - 1002 - 1003 før frontpartiet på bilen din når det punktet i veien du tok utgangspunkt i da du begynte å telle. Dette punktet var naturlig nok ved endepartiet på bilen foran, og man bør ha et fast punkt i veien som et referansepunkt for dette (f.eks et gjerde langs veien, en av stripene i veien o.l). Dersom du når dette punktet før du er ferdig med å telle, ligger du for nær bilen foran deg.
       
Regelen er enkel, men er den god nok? I denne oppgaven vil vi undersøke om den holder for tillatte hastigheter på norske veier.

For å undersøke tommelfingerregelen må vi bestemme den avstanden vi trenger for å få stanset en bil ved en gitt hastighet. Dette vil vi kalle stopplengden for bilen, og den kan deles opp i to deler:            

A: Reaksjonslengden, som er den avstanden bilen beveger seg fra sjåføren oppfatter situasjonen til han setter foten på bremsen.

B: Bremselengden, som er den avstanden bilen beveger seg i fra bremsing starter til bilen stopper. 

For effektivt å kunne beregne stopplengde når farten er kjent, vil vi nedenfor se om vi kan bestemme en formel/likning som gir oss stopplengden når vi kjenner farten. Siden stopplengden er en sum av reaksjonslengde og bremselengde, starter vi med å bestemme formler for disse.


Nedenfor er det i tabell 1 gjengitt testdata som viser sammenhengen mellom hastighet, reaksjonslengde, bremselengde og total stopplengde. (Tabellen inneholder testdata som representerer 85 % av observasjonene gjort i en undersøkelse av "the U.S. Bureau of Public Roads". Hastighet og lengde var opprinnelig oppgitt i mph (miles per hour) og ft (feet), og er blitt omregnet til m/s (meter i sekundet) og m (meter))

 

Hastighet (v) (måles i meter per sekund (m/s) Reaksjonslengde (lR) (måles i meter (m)) Bremseslengde (lb) (gjennomsnittsverdi inni parentesen, alle verdier målt i meter) Total stopplengde (lT) (gjennomsnittsverdi inni parantesen, alle verdier målt i meter)
8,9 (32,2 km/t) 6,7 5,5 - 6,7 (6,1) 12,2 - 13,4 (12,8)
 11,2 (40,2 km/t) 8,5 7,6 - 9,4 (8,5) 16,1 - 17,9 (17,0)
 13,4 (48,3 km/t) 10,1 11,0 - 13,7 (12,4) 21,1 - 23,8 (22,5)
 15,6 (56,3 km/t) 11,9 14,3 - 17,7 (16,1) 26,2 - 29,6 (28,0)
17,9 (64,4 km/t) 13,4 19,5 - 24,4 (22,0) 32,9 - 37,8 (35,4)
20,1 (72,4 km/t) 15,2 25,0 - 31,4 (28,2)  40,2 - 46,6 (43,4)
 22,4 (80,5 km/t) 16,8 32,0 - 39,9 (36,0) 48,8 - 56,7 (52,8)
24,6 (88,5 km/t) 18,6 40,2 - 50,3 (45,3) 58,8 - 68,9 (63,9)
 26,8 (96,5 km/t) 20,1 49,4 - 61,6 (55,5) 69,5 - 81,7 (75,6)
 29,1 (104,6 km/t) 21,9 59,7 - 74,7 (67,2) 81,6 - 96,6 (89,1)
 31,3 (112,6 km/t) 23,5  72,2 - 89,9 (81,1) 95,7 - 113,4 (104,6)
33,5 (120,7 km/t) 25,3 86,3 - 107,6 (97,0) 111,6 - 132,9 (122,3)
35,8 (128,7 km/t) 26,8 101,8 - 127,4 (114,6) 128,6 - 154,2 (141,4)

 

Tabell 1

a) Hvis du ser på tabellen ovenfor, ser det ut som om reaksjonslengden vokser proporsjonalt med farten. Undersøk dette ved en grafisk framstilling av de samhørende dataene for fart og reaksjonslengde. Finn en likning som beskriver sammenhengen mellom de proporsjonale størrelsene best mulig. Forklar hvorfor forholdet mellom fart og reaksjonslengde er konstant.

b) Hvis du sammenlikner hastighet og bremselengde i tabellen, finner du at bremselengden vokser mye raskere enn det farten gjør. Undersøk om du kan finne en tilnærmet lineær sammenheng mellom bremselengden (lb)  og kvadratet av farten (v2), og bestem en likning som uttrykker hvordan disse størrelsene vokser proporsjonalt.

c) Under nedbremsing vil akselerasjonen være tilnærmet konstant. Ta derfor utgangspunkt i bevegelseslikningene ved konstant akselerasjon:

 (i):v=at(ii):s=12at2
 
og kraftloven:

(iii):K=ma           
der v er farten (målt i meter per sekund), a er akselerasjon (målt i meter per sekund i andre), t er tida (målt i sekunder), s er veilengde (målt i meter), m er masse (målt i kilogram) og K er kraft (målt i Newton).

Vis ut fra dette at bremselengden vokser proporsjonalt med kvadratet av farten.
Hvilken forutsetning gjør vi m.h.t. friksjonskraften? Kan du tenke deg hvorfor denne forutsetningen kanskje er noe tvilsom?
       
d) I punkt a) og b) har du bestemt formler for henholdsvis reaksjonslengde og bremselengde. Still nå opp en formel for den totale stopplengden (lT). Framstill grafisk samhørende verdier for hastighet og stopplengde etter denne formelen. Merk også av de opprinnelige observasjonsdataene i diagrammet. Gir formelen tilnærmet riktige verdier for stopplengdene? 


I innledningen til denne oppgaven ble det vist til en klassisk tommelfingerregel (1001 -1002 - 1003). Tanken er at det tar omlag et sekund å si hvert av disse tallene, og det betyr at regelen sier at man minst må ligge 3 sekunder bak bilen foran. For å bestemme lengden en bil flytter seg i løpet av 3 sekunder, kan du anta at bilen holder en konstant hastighet i denne perioden.

En bil som kjører med konstant fart beveger seg en avstand s=vt.

e) Beregn den største trygge avstanden for ulike hastigheter etter tommelfingerregelen. Vurder om tommelfingerregelen er god nok for norske forhold ved å sammenlikne med stopplengdene i tabell 1. Framstill disse dataene i samme diagram som i punkt d).

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk 2T og 2P

  • Etter 2T
    • Kultur og modellering
      • utforske matematiske modellar, samanlikne ulike modellar og vurdere kva for informasjon modellane kan gje, og kva for gyldigheitsområde og avgrensingar dei har

Læreplan i matematikk fellesfag 2T-Y og 2P-Y, Vg3 påbygging til generell studiekompetanse

  • Etter 2T-Y
    • Kultur og modellering
      • utforske matematiske modellar, samanlikne ulike modellar og vurdere kva for informasjon modellane kan gje, og kva for gyldigheitsområde og avgrensingar dei har

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    Opplegget asser godt som et mindre prosjekt i grupper på to til tre elever. Problemet kan med fordel konkretiseres ute.

  • Utstyr

    ordinære skrivesaker og linjal.

  • Tidsbruk

    3 timer, gjerne som en del av et tverrfaglig prosjekt

  • Valg av tidspunkt

    Opplegget kan med fordel utføres tverrfaglig i forbindelse med at bevegelsesligninger og kraftloven tas opp i fysikk (naturfag).

Skrevet av

Ingvald Erfjord

Institusjon

Universitetet i Agder