Symmetri og mønster, geometrisk og tallmessig

SNU TREKANTEN, lærerveiledning

Denne aktiviteten kan brukes på alle trinn i skolen.

Dette er en laborativ, eksperimenterende aktivitet. Den passer inn under ulike mål i læreplanene.

• De generelle målene om undersøkelser og oppdagelser, jakt etter mønster, systematisering, samarbeid og kommunikasjon, skriftlig og muntlig. Vitenskapelig arbeidsmåte med formulering av hypotese, testing, justering, og til slutt resultat.
• Fagmål i geometri_ symmetri
• Fagmål i tallære:

-    tallmønster og system (småskolen),
-    trekanttall (ungdomstrinn),
-    sum av tallrekker, fra tallmønster til formler og symboler (ungdomstrinn og grunnkurs videregående skole)
-     aritmetiske rekker, (induksjonsbevis?) (VK1 og VK2, (begynnerkurs universitet/høgskole?))

   
Det beste er å introdusere aktiviteten i felles klasse. På den måten kan du forsikre deg om at alle vet hva oppgaven går ut på, og misforståelser avklares med en gang. Dette gjelder alle trinn.
   
Elevene jobber sammen i par. Det er viktig at de ikke jobber individuelt, for de skal venne seg til å sette ord på det de tenker.   

Litt teoribakgrunn for læreren  

Tallet 6 er et trekanttall. Trekanttall representeres geometrisk ved at vi kan danne en fylt trekant med dette antall brikker.

Vi sier at det første trekanttallet er 1, selv om dette ikke egentlig er noen trekant.
Det neste trekanttallet er 3. Framkommer som 1+2 (to rader) slik:

 
Deretter følger 6, som framkommer som 1+2+3 (tre rader) slik:

Nå følger 10 (eller 1+2+3+4) og 15 (eller 1+2+3+4+5), og så videre.

Hvert trekanttall er en sum av naturlige tall i rekkefølge, fra 1 og oppover. Vi kan finne en formel for disse summene, ved å legge merke til at summen av første og siste tall er lik summen av andre og nest siste, er lik summen av tredje og tredje siste, osv. Hvis vi summerer n tall, vil vi få summen n+1 hver gang, og det er n/2 ganger. Altså er summen $(n+1)\cdot \frac{n}{2}$.
   
Slik ser vi at vi for eksempel trenger $(8+1)\cdot 4=36$ brikker til det 8. trekanttallet.
 
Legg en trekant med 6 plastbrikker eller mynter på glassplata på overheaden, slik som vist på den første figuren  i oppgaven.
   
Spør om elevene kan se hvor mange brikker som trengs for å snu trekanten så spissen vender ned.
   
Etter hvert som elevene mestrer oppgaven, kan de prøve seg med en ekstra rad i trekanten. Da er det 10 brikker til sammen.
   
Be elevene tegne trekanten og markere de brikkene som skal ligge i ro med én farge, og de som skal flyttes med en annen farge. Spør om de kan beskrive den figuren som ligger i ro.
Her kan du lede dem inn på symmetri hvis de ikke selv ser det. Den figuren som ligger i ro, må være nord-syd symmetrisk (eventuelt litt forskjøvet).
   
 Se for øvrig løsningsforslaget.

For lærere i ungdomstrinnet og videregående skole

Det n-te trekanttallet framkommer som en sum av de n første naturlige tallene, 1+2+3+4+5+ … +n. Dette er en aritmetisk rekke med første ledd 1 og differanse lik 1. Summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke, er den aritmetiske middelverdien av første og n-te ledd. Altså hvis a₁ er første ledd, og a_n er n-te ledd, så er summen s_n gitt ved

    $s_n=(a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2}$

Her kan vi komme inn med stoff om trekanttall og hvordan de gjenfinnes for eksempel i Pascals talltrekant.

SNU TREKANTEN

Barnetrinnet

 Materiale:       

15 runde plastbrikker eller mynter.

  Oppgave:

a) Legg 6 av brikkene i et trekantmønster slik:

Vis hvordan du kan snu trekanten opp ned ved å flytte

-    3 brikker

-    2 brikker

Når trekanten er snudd, skal den se slik ut:

b) Legg 10 av brikkene i et trekantmønster slik:

Vis hvordan du kan snu trekanten opp ned ved å flytte 3 brikker.

Legg en enda større trekant med alle 15 brikkene. Hva er det minste antall brikker dere må flytte for å snu denne trekanten?

Tegn en figur der dere farger de brikkene som ligger i ro med en farge, og de som skal flyttes med en annen farge. Ser dere noe system?

Utvidelse for ungdomstrinnet og GK videregående skole

Legg større og større trekanter og prøv å finne det minste antall brikker som skal til for å snu trekanten hver gang.

Skriv resultatene opp i tabellen nedenfor. Sjekk med andre i klassen om de har fått det samme resultatet som dere.

Tegn en ramme rundt de brikkene som ligger i ro. Ser dere noe system? Kan dere forklare systemet?

Se på tallene i tabellen. Finner dere noen sammenheng mellom antall brikker i hele trekanten og antall brikker som må flyttes?

Hvordan kan vi regne ut  det minste antall brikker som må flyttes hvis vi vet hvor mange brikker det er i trekanten totalt?

Hvordan kan vi regne ut hvor mange brikker det er i trekanten totalt hvis vi kjenner antall rader i trekanten?

Utvidelse for VK1 og VK2

Kall det totale antall brikker i den n-te trekanten for  T_n.

Hvert av tallene T₁, T₂, T₃, T₄, T₅, T₆, … utgjør summen av de n første tallene i en rekke.

Hva slags rekker er dette? Hvordan kan vi regne ut verdien av T_n når vi kjenner n? Sett opp en formel for T_n.

Finn en formel for det minste antall brikker som må flyttes for å snu trekanten med n  rader.

Diskutere egenskaper for rekka T₁, T₂, T₃, T₄, T₅, T₆, …

Figur	Antall brikker i hele figuren	Minste antall brikker som må flyttes

Løsningsforslag

På figuren har vi markert de brikkene som skal flyttes med ο

3 brikker:

2 brikker:

Med den store trekanten, kan vi snu trekanten ved å flytte 3 brikker:

Med 15 brikker, kan trekanten snus ved å flytte 5 brikker:

For å finne ut hvilke brikker som skal flyttes, må en se etter det største mønsteret inni trekanten som er symmetrisk i nord-syd retning. Resten av brikkene må flyttes.

Det er $1+2+3+\mathrm{...}+n=\frac{n(1+n)}{2}$ brikker i en trekant. En tredel av disse må flyttes hver gang. Hvis tallet ikke går opp i 3, skal vi se bort fra restleddet (det havner inne i den symmetriske kjernen).