www.matematikk.org

Målgruppe:

R1

Hvordan få et flyttelass billigst mulig på plass?

Elevene skal utvikle en kostnadsfunksjon ut fra gitte opplysninger, og deretter optimere denne. Til sist må de vurdere det svaret de får og modellforutsetningene.

Kommentar til problemet:

Antagelsen om konstant fart er avgjørende for at problemet kan løses. Hvis elevene ikke er helt fortrolig med regneregelen for konstant fart må man oppgi denne for elevene. I punkt f) vil denne antagelsen bli vurdert (men den kan eventuelt tas opp tidligere).

I punkt b) må det vurderes om man bør oppgi svaret, og i stedet la elevene vise hvordan man kommer fram til dette. Faren med slik det står er at elevene ikke kommer lenger enn til punkt b), og dermed ikke får prøvd seg på de øvrige punktene. Dette må vurderes i forhold til hvordan man legger opp undervisningen av problemet, og hvilke erfaringer og evner elevene sitter med på dette området.

Benevning i svarene må man ta på alvor, og i dette problemet har jeg valgt å sette disse i parenteser i de fleste tilfeller. Det er veldig viktig at man unngår misforståelser, ved f.eks å bruke t som forkortelse både for tid og time.

Løsningsforslag:

a) Høy fart gir lavere leiepris for bilen og lavere timelønn. Derimot vil høy fart gi økt forbruk av diesel og økt fare for skader på eiendelene til Kristina. Det gjelder derfor å bestemme den farten som totalt gir den laveste prisen for Kristina.

b) Modell for beregning av utgiftene til transporten:

       K(x,t)=7,90b(x)t+(80+70)t

der tida t måles i timer.



Siden vi antar at farten er konstant er:

  t=s/v=300/x  (timer)

Dette gir følgende modell for utgiftene ved transporten:

f(x)=7,90b(x)300x+(80+70)300x 
    
          =7,90(2+x2300)300x+150300x

          =4740x+7,90x+45000x

          =49740x+7,90x


c) Optimal hastighet finner vi ved derivasjon av f:

     f(x)=49740/x2+7,90=0 

som gir:

     x2=49740/7,90=6296

     x79,3

Da tar transporten:

   300km79,3km/time=3,78timer3timer47min.

Kontroll viser at dette blir den hastigheten som svarer til at transporten blir billigst.

Kristina må etter dette betale:

f(79,3)=4974079,3+7,9079,31250 

Kommentar:
Vi ser at denne farten holder seg innenfor tillatt topphastighet på norske veier. Samtidig vet vi at det fins en del 60-soner på E 18, og dette sammen med svinger og tett trafikk gjør at man ikke kan forvente å holde en så høy fart.

d) Med en dieselpris på på 5,80 kroner literen, kan vi stille opp følgende funksjon for utgiftene til transporten:

    g(x)=5,80(2+x2300)300x+150300x 

             =48480x+5,80x


Derivasjon gir:

    g(x)=48480x2+5,80=0 

som gir:

     x=484805,8091,4   (km/t).



Kontroll viser at dette blir den hastigheten som fører til at transportkostnadene minimeres.


I dette tilfellet tar transporten:

    300km91,4km/time3timer17min


Prisen Kristina må betale blir etter dette:

    g(91,4)=4848091,4+5,8091,41060 

Kommentar:
Denne hastigheten er for høy. Det er for det første ulovlig å kjøre så raskt på de fleste norske veier, og det ville ført til stor fare for ulykker. Dessuten vil det med stor sannsynlighet gitt store skader på flyttelasset.

I forhold til svaret i punkt c) ser vi en interessant (og naturlig) tendens. Når prisen på dieselen synker lønner det seg å øke hastigheten med tilsvarende økt forbruk av diesel. På denne måten bruker man mindre penger på leie av bil og sjåfør, men altså flere liter diesel. Totalt blir prisen Kristina må betale lavere.

e) Det er i dette tilfellet klart at man vil tape penger på alle områder ved å kjøre på 3 timer og 17 minutter i forhold til å bruke 3 timer og 30 minutter. Grunnen er at leieprisen blir den samme, mens forbruket av diesel vi avta med mer moderat hastighet.

For å nå fram på 3 timer og 30 minutt må sjåføren kjøre med hastigheten:

     x=300km3,5timer85,7  (km/t)

Dette er en for høy hastighet, og derfor tester vi ut ved neste "grense" som er ved     kjøring i 4 timer. Da blir hastigheten:

      x=300km4,0timer=75   (km/t)

Denne hastigheten er vel også noe høy, men det kan være verd et forsøk å prøve å få det til på 4 timer. Da får vi følgende pris for transporten:

    h(x)=48480x+5,80x

    h(75)=4848075+5,80751080(kr)


Vi ser at det ikke fikk noen stor innvirkning på prisen Kristina må betale. Økningen i forhold til det svaret vi fant i punkt d) er på omlag 20 kroner! Velger de å kjøre tryggere eller tidsrammene sprekker, kan man tilsvarende regne ut at en transport som tar mellom 4 og 4 1/2 time vil koste 1110 kroner. Så her er det lite å hente ved å kjøre fort og farlig. Det man tjener ved å kjøre raskere taper man nesten fullstendig i økt forbruk av diesel.

Man kan fristes til å trekke den konklusjonen at transportbyrået har villet sikre seg mot press på sjåførene ved å sette lav leiepris på bil og sjåfør, og i stedet la kundene betale for dieselen som er avhengig av farten man kjører med.
    
f) Antagelsen om konstant fart er naturlig nok tvilsom. Svinger, bakker, kødannelse, fartsgrenser, veiarbeid m.m. vil føre til at hastigheten varierer en hel del. Videre vil sjåføren trolig ha behov for en pause, og Kristina bør få klargjort om denne tida regnes med i leietiden.

Likevel vil sjåføren mesteparten av tida holde en ganske jevn fart (E 18 holder rimelig jevn og god kvalitet), og det synes derfor ikke urimelig å anta tilnærmet konstant fart. Forbruket vil nok ligge noe høyere enn det anslåtte, da gjentatt akselerasjon og nedbremsing krever noe ekstra forbruk av diesel.

Rådet til Kristina blir derfor at hun anmoder sjåføren om å holde mest mulig jamn fart og unngå å kjøre i for mye rykk og napp. Så får hun heller tåle det lille ekstra utlegget som måtte komme hvis tidsrammene sprekker.


Du finner mer om dette problemet i følgende kilder:    

Clausen, F., Printz, P. & Schomacker, G. (1989). Differentialregning, 1. utgave, 1. opplag, Munksgaard, København.

Erfjord, I (1997). Matematisk modellering og bruk av matematikk i videregående skole, Hovedoppgave i matematikkdidaktikk, Høgskolen i Agder.

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk for realfag - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram

  • Matematikk R1
    • Funksjoner
      • bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte forløpet til funksjoner og tolke de deriverte i modeller av praktiske situasjoner

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    individuelt eller parvis

  • Utstyr

    ordinære skrivesaker og linjal

  • Tidsbruk

    1 dobbeltime

  • Valg av tidspunkt

    Elevene må gjøre bruk av derivasjon, og det er en fordel om de kjenner loven om konstant fart.

Skrevet av

Ingvald Erfjord

Institusjon

Universitetet i Agder