www.matematikk.org

Målgruppe:

R1

To bevis

Hvorfor ikke ta utgangspunkt i en vanlig misoppfatning som oppstår når elever lærer å skrive formelle bevis? La elevene sette sammen flere bevis og diskuter forskjeller mellom disse.

Lærerens instruksjoner

Dette opplegget tar utgangspunkt i en vanlig misoppfatning som kan oppstå når elever lærer å skrive formelle bevis. Elever har ofte problemer med å lese algebraiske uttrykk og tolke meningen.

Kortene i vedlegget er laget ved at vi har klippet ut én og én linje fra to bevis og så satt disse i tilfeldig rekkefølge. Dette kan gjøres for mange andre temaer (f.eks. gjennomgang av drøfting for en funksjon).

Introduksjon

Gi mål for timen som er å forstå bruk av variabler i bevis. Bruk gjerne et bevis som elevene allerede har sett, og vis dem at beviset kan klippes opp linje for linje som i sin tur brukes som kort. Denne introduksjonen er viktig, fordi kortaktiviteter vanligvis handler om å parvis finne kort som hører sammen og det er ikke tilfelle her.

Gruppearbeid

Elevene deles i grupper på 2 til 4 elever der hver gruppe får sitt kortsett (se høyrespalten under Vedlegg). Elevene skal så selv klippe ut kortene og på denne måten få oversikt over alle kortene før de begynner å rekonstruere bevisene. Gi elevene beskjed at det stemmer at det skal være to blanke kort. Disse skal etter hvert fylles ut av elevene.

Elever skal komme til følgende to bevis:

Bevis 1

 

Bevis 2

Hvis n og m er oddetall, så

er







 

n=2s+1

for et heltall s

 n=2s+1

for et heltall s

og

m=2t+1

for et heltall t.

 og

m=2s+1

for et heltall s

nm=2s+12t+1=4st+2s+2t+1=22st+s+t+1  nm=2s+12s+1=4s2+4s+1=22s2+2s+1

nm=2r+1

for et heltall r.

 

nm=2r+1

for et heltall r.

Så nm er et oddetall.  

 

Elever skal se at det mangler et kort i begynnelsen og slutten av bevis to (til høyre). Det er viktig at elever får tid til å tenke over, og diskutere hva det er som vises i bevis to, og hva som skal stå på de to tomme kortene.

Hjelpespørsmål som kan stilles til elevene er å finne forskjellen mellom de to bevisene.

Elever som er tidlig ferdig kan få utfordringen til å skrive bevis to på en enklere måte.

Oppsummering

Her er det viktig å gå gjennom forskjellen mellom bevis 1 og bevis 2. Siden vi kan velge s som variabel for både m og n i bevis 2, blir m og n like og da viser vi på en (noe komplisert) måte at hvis n er et oddetall, så er n2 et oddetall. Vis at dette ikke er tilfelle i bevis 1 når variabel s velges for n, og t for m.

En fin avslutning er å bevise på en enklere måte at hvis n er et oddetall, så er n2 et oddetall:


                  Hvis n er et oddetall så er n=2s+1 for et heltall s.

                  Da blir n2=2s+12=4s2+4s+1.

                  Dette kan skrives som n2=22s2+2s+1.

                  Det vil si at n2=2r+1 for et heltall r.

                  Så n2 er et oddetall.

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk for realfag - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram

  • Matematikk R1
    • Algebra
      • gjøre rede for implikasjon og ekvivalens, og gjennomføre direkte og kontrapositive bevis

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    Grupper på 2 til 4.

  • Utstyr

    kortsett, saks

  • Tidsbruk

    30 minutter til 1 time

  • Valg av tidspunkt

    Innføring av formell bevis