www.matematikk.org

Målgruppe:

10. trinn
Vg1T
Vg2P

Potenser og mønstre

Har du brukt matematisering før? Her utfordres du til å veilede eleven som skal gjennom gjennkjenning og videreføring av tallmønstre se sammenhenger mellom potenser, spesielt med 0 og negative eksponenter.

Lærerens instruksjoner

Undervisningsopplegget baserer seg på induktiv-fortsettelse metoden som vi blant annet finner i læreplanen ‹‹Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståelse og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i systemer og mønster.›› En viktig del av læring er refleksjonen over at de mønstrene som er oppdaget, kan kobles til tidligere læring. Disse refleksjonene er i delene Oppsummering.

Introduksjon

Gi gjerne mål for timen som er å undersøke regler om potenser ved å se på mønstre.

Begynn gjerne med en repetisjon i plenum av tidligere arbeid med potens. Hvis dere har jobbet tidligere med eksponentielle funksjoner (f.eks. utvikling av bakterier hvor det er en dobling for hver tidsperiode og utvikling av stråling hvor det er en halvering for hver tidsperiode), så er det gunstig med en repetisjon av disse.

Gi beskjed at de først alene skal lete etter mønstre og for deretter å gå i grupper og diskutere.

Oppgaver

Oppgave 1 (individuelt)

Eleven får eget kopieringsark (se høyrespalten under Vedlegg) og jobber alene med oppgave 1. Oppgave 2 skal diskuteres i grupper. Elevene som er tidlig ferdig med oppgave 1, kan fortsette å jobbe individuelt med oppgave 2.

Elever som tenker additivt (for eksempel ser på differansen mellom påfølgende ledd) vil få problemer. Veiledingen skjer ved å stille eleven spørsmålene som

  • Hva kan du multiplisere 2 med til å få 4?
  • Hva kan du multiplisere 4 med til å få 8?
  • Hva kan du dividere 16 på til å få 8?
  • Hva kan du dividere 8 på til å få 4?

Oppgave 2 (gruppearbeid)

Svarene i 1 a), 1 c) og 1 f) kan settes sammen til tallfølgen:

 132   116   18   14   12   1   2   4   8   16   32   64

Hvis vi skriver disse som potenser, får vi:

2-5   2-4   2-3   2-2   2-1  20   21   22   23   24   25   26 

En del av denne tallfølgen er 1 g).

Tallfølgene i 1 b) og 1 d) kan kombineres på en liknende måte.

Oppsummering oppgave 2

Det er ikke forventet at alle gruppene skal se alle disse sammenhengene. Noen grupper vil se sammenhengen mellom 1 a), 1 c) og 1 f), mens andre vil se mellom 1 c) og 1 g). Dette er grunnen til at det er viktig med en oppsummering i plenum. Be de ulike gruppene dele sine funn og vis tallfølgene ovenfor.

Til slutt, vis at vi får nytt ledd i følgen ved å multiplisere det siste tallet i tallfølgen med 2, mens vi finner foregående ledd i følgen med å dividere med 2.

Oppgave 3 (gruppearbeid)

Målet er at elevene kommer frem til disse to tabellene:

1125 125 15 1 5 25 125
164 116 14 1 4 16 64
127 19 13 1 3 9 27
18 14 12 1 2 4 8
1 1 1 1 1 1 1

 

5-3 5-2 5-1 50 51 52 53
4-3 4-2 4-1 40 41 42 43
3-3 3-2 3-1 30 31 32 33
2-3 2-2 2-1 20 21 22 23
1-3 1-2 1-1 10 11 12 13

 

Det kan være til stor hjelp at vi skriver opp tabellen fra kopieringsarket (vedlegget) på tavlen, mens elevene jobber. Læreren eller elevene kan også velge å fylle ut feltene fortløpende. På denne måten blir oppgaven lettere etter som flere felt er fylt ut og alle vil oppleve mestring.

Oppsummering oppgave 3

For mange elever er det ikke åpenbart at verdiene i tabellen til venstre er de samme som verdiene i tilsvarende rute i tabellen til høyre. Derfor er det viktig at dette blir tatt opp.

Da kan det observeres at alle verdiene i den siste linje er 1. Dette er eksempler på regelen 1n=1. Dessuten er alle verdiene i den midterste kolonnen lik 1. Dette er eksempler på regelen a0=1. Dette er en veldig enkel måte for elever å forstå hvorfor a0=1 (noe som er ofte forvirrende for mange). Man ser også ut fra tabellen at a-1=1a.

Alle disse kommer fra idéen om at å finne verdien til venstre for en verdi må vi dividere på grunntallet. Dette kan oppsummeres med følgende:

Utvidelse

For eleven med stort læringspotensiale kan tabellene utvides med en ny linje:

1125 125 15 1 5 25 125
164 116 14 1 4 16 64
127 19 13 1 3 9 27
18 14 12 1 2 4 8
1 1 1 1 1 1 1
      ? 0 0 0

 

5-3 5-2 5-1 50 51 52 53
4-3 4-2 4-1 40 41 42 43
3-3 3-2 3-1 30 31 32 33
2-3 2-2 2-1 20 21 22 23
1-3 1-2 1-1 10 11 12 13
      00 01 02 03

 

Da kan det innledes en diskusjon om hva verdien for 00 skal være. Dette er et eksempel av noe som ikke kan defineres: hvis man skulle holde mønstre opp-ned så skulle verdien bli 1, mens det horisontale mønsteret gir verdien 0. På grunn av dette gir matematikere 00 ulike verdier avhengig på konteksten. Dette gir også elever innsikt i at matematikk er noe som er oppfunnet og ikke oppdaget.

 

Faglitteratur

En induktiv-fortsettelse (inductive-extrapolatory) metode av Freudental i boka Mathematics as an Educational Task (s.281)

Matematik for Lærerstuderende – Delta  – Fadidaktik av Jeppe Skott, Kristine Jess og Hans Christian Hansen

 

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk fellesfag

  • Etter 10. årssteget
    • Tal og algebra
      • bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar
  • Etter 1T
    • Tal og algebra
      • rekne med rotuttrykk, potensar med rasjonal eksponent og tal på standardform, bokstavuttrykk, formlar, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tal og bokstavar, faktorisere kvadratiske uttrykk, bruke kvadratsetningane og lage fullstendige kvadrat
  • Etter 1T-Y
    • Tal og algebra
      • rekne med rotuttrykk, potensar med rasjonal eksponent og tal på standardform, bokstavuttrykk, formlar, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tal og bokstavar, faktorisere kvadratiske uttrykk, bruke kvadratsetningane og lage fullstendige kvadrat

Læreplan i matematikk 2T og 2P

  • Etter 2P
    • Tal og algebra i praksis
      • rekne med potensar og tal på standardform med positive og negative eksponentar, og bruke dette i praktiske samanhengar

Læreplan i matematikk fellesfag 2T-Y og 2P-Y, Vg3 påbygging til generell studiekompetanse

  • Etter 2P-Y
    • Tal og algebra i praksis
      • rekne med potensar og tal på standardform med positive og negative eksponentar, og bruke dette i praktiske samanhengar

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    Individuelt og i grupper på 2 til 4.

  • Utstyr

    Kopieringsark (se vedlegg).

  • Tidsbruk

    1 time

  • Valg av tidspunkt

    Viderearbeid med potenser

Skrevet av

James Gray

Institusjon

Høgskolen i Oslo og Akershus