www.matematikk.org

Målgruppe:

8. trinn
9. trinn
10. trinn
Vg1T
Vg1P

Introduksjon i kombinatorikk med konkrete utvidelser

Målet med undervisningsopplegget er å finne antall muligheter i oppstillingen av ulik antall elever. Det kan lett utvides til å regne ut sannsynligheten for en hendelse og regning med fakultet.

Lærerens instruksjoner

Mål: Finne antall mulige kombinasjoner

Tre frivillige elever stiller seg opp foran resten av klassen/gruppen. Nå skal dere i fellesskap finne ut hvor mange forskjellige måter de tre elevene kan stille opp i rekke på. De forskjellige kombinasjonsmulighetene skrives på tavla. Bruk gjerne bare forbokstavene (så lenge de er forskjellige), så sparer dere tid.

Eksempel: Anne (A), Trond (T) og Stian (S) gir følgende kombinasjoner ATS, AST, TAS, TSA, SAT og STA. Til sammen er det altså 6 mulige kombinasjoner. La disse stå framme på tavla.

De tre frivillige går tilbake, mens fire nye frivillige stiller seg opp foran klassen. Be denne gangen elevene gjette hvor mange forskjellige måter disse fire kan stille opp på. Finn ut i fellesskap hvor mange forskjellige kombinasjoner det er. Med litt flaks er det noen som foreslår å lage et system, for eksempel først finne alle mulige kombinasjoner når samme elev står først. Hvis det ikke skjer, kan følgende hint gis elevene:

- Kan dere skrive opp de ulike kombinasjonene mer oversiktlig?

- Hvor mange kombinasjoner har vi hvis eleven Anne står først? Hva med Trond?

 

Eksempel: Sarah, Terje, Mads og Arne gir følgende kombinasjoner:

STMA, STAM, SMTA, SMAT, SATM, SAMT

TSMA, TSAM, TMSA, TMAS, TASM, TAMS

MSTA, MSAT, MTSA, MTAS, MAST, MATS

ASTM, ASMT, ATSM, ATMS, AMST, AMTS

Her er det 24 mulige kombinasjoner.

 

Utvidelse av undervisningsopplegget

Mål: Regne ut sannsynligheten for en hendelse

  1. Hvis de tre elevene stiller opp på rekke helt tilfeldig, hva er sannsynligheten for at Anne stiller opp først og Stian sist?
  2. Hvis de fiere elevene stiller opp tilfeldig hva er sannsynligheten for at Sarah og Arne står ved siden av hverandre?

Målet er at elevene kommer frem til at sannsynligheten for en bestemt hendelse er lik antall med ønsket utfall dividert med antall mulige utfall.

Mål: Regne med fakultet

Hvis det bare hadde vært 2 elever, er det lett å se at antallet mulige kombinasjoner er 2.

Når det er 3 elever som bytter på å stå først, er det 2 mulige måter de to siste elevene kan stille seg opp på for hver av de tre elevene. Dette gir oss 32=6 mulige kombinasjoner. Her kan dere bruke navnene dere har skrevet opp på tavlen, eller vise med elevene at dette stemmer.

Når det er fire elever, blir det 32 mulige kombinasjoner for hver av de 4 elevene. Hvordan skriver vi dette?

432=24 mulige kombinasjoner. Og dette heter 4! (fire fakultet).

Hvor mange mulige kombinasjoner er det når det er fem elever? Hvis ikke elevene ser systemet, kan de få et hint.

5!=54321

Hvor mange mulige kombinasjoner er det når det er 10 elever?

10!=10987654321 (= 3 628 800 mulige kombinasjoner)

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk fellesfag

  • Etter 10. årssteget
    • Statistikk, sannsyn og kombinatorikk
      • drøfte og løyse enkle kombinatoriske problem
  • Etter 1T
    • Sannsyn
      • berekne sannsyn ved å telje opp gunstige og moglege utfall, systematisere oppteljingar ved hjelp av krysstabellar, venndiagram og val-tre og bruke addisjonssetninga og produktsetninga
  • Etter 1P
    • Sannsyn
      • berekne sannsyn ved å telje opp gunstige og moglege utfall, systematisere oppteljingar ved hjelp av krysstabellar, venndiagram og val-tre og bruke addisjonssetninga og produktsetninga i praktiske samanhengar

Læreplan i matematikk fellesfag 2T-Y og 2P-Y, Vg3 påbygging til generell studiekompetanse

  • Etter 2T-Y
    • Kombinatorikk og sannsyn
      • berekne sannsyn ved å telje opp gunstige og moglege utfall, systematisere oppteljingar ved hjelp av krysstabellar, venndiagram og val-tre og bruke addisjonssetninga og produktsetninga
  • Etter 2P-Y
    • Statistikk og sannsyn
      • berekne sannsyn ved å telje opp gunstige og moglege utfall, systematisere oppteljingar ved hjelp av krysstabellar, venndiagram og val-tre og bruke addisjonssetninga og produktsetninga i praktiske samanhengar

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    I gruppe.

  • Utstyr

    Ingen.

  • Tidsbruk

    20 - 30 minutter (med utvidelser 60 minutter)

  • Valg av tidspunkt

    Innføring.

Skrevet av

Mette Hjermann
Mette Hjermann

Institusjon

Haugen skole