www.matematikk.org

Målgruppe:

9. trinn
10. trinn

Utforsk med Pytagoras' læresetning

Elevene blir utfordret til å bevise Pytagoras' læresetning før de skal bruke denne til å bevise sammenhenger mellom arealene på ulike geometriske figurer.

Lærerens instruksjoner

Gjennomføring

Som oppvarming får elevene i oppgave å bevise Pytagoras' læresetning (Oppgaveark 1 med tilhørende -Bevis 1 under). Deretter deles elevene i grupper på 2-4 elever og får oppgaveark 2. Oppgavearkene er i høyrespalten under Vedlegg. Etter at elevene har gjort ferdig den første oppgaven, skal en gruppe vise og forklare beviset for de andre. Først da leveres ut oppgave 3 og etter at denne er forklart i plenum deles oppgave 3 ut. Oppgave 3 krever kunnskap utover det som er pensum på ungdomstrinnet og kan derfor brukes som ekstra utfordring for elevene som trenger det. På slutten av økten oppsummerer læreren funnene.

Bevis

Bevis 1 av Pytagoras' læresetning

På figuren ser du et lite kvadrat som ligger inne i et større kvadrat. Det minste kvadratet er vippet slik at hjørnene kommer borti sidekantene til det store kvadratet, slik at vi også får dannet fire like store rettvinklede trekanter. La oss nå kalle katetene i disse trekantene for a og b, og hypotenusen for c. Denne hypotenusen er samtidig sidekanten til det lille kvadratet. På figuren er det et stort kvadrat og et mindre hvitt kvadrat. De fargede fire rettviklede trekanter er like store. Vi kaller katetene i trekantene for a og b, og hypotenusen for c. Hypotenusen er også sidekanten i det hvite kvadratet.

Siden de fire trekantene er like stor er sidekantene i det store kvadratet lik a+b. Vi bruker første kvadratsetning og får at arealet til det store kvadratet er a+b2=a2+2ab+b2.

Arealet til en trekant er lik gh2 der g står for grunnlinje og h for høyde. I trekantene velger vi a som grunnlinje. Høyden er da b og arealet til hver av trekantene er ab2. Sidekanten i det hvite kvadratet er c og derfor er arealet til det kvadratet likt c2.

Inne i det store kvadratet er det akkurat plass til de fire trekantene og det hvite kvadratet. Derfor gjelder:


Arealet til det store kvadratet = arealet til det hvite kvadratet + arealet til de fire trekantene

a+b2=c2+4ab2

a2+2ab+b2=c2+2ab

a2+2ab+b2-2ab=c2+2ab-2ab

a2+b2=c2

Vi har bevist Pytagoras' læresetning.

 

Bevis 2 av at arealet til Ac er summen av Aa og Ab

Vi har en rettviklet trekant og fra hver av sidene er det tegnet en halvsirkel. Er det slik at A_a + A_b = A_c? Er det slik at Aa+Ab=Acder Aa, b, c er arealene for de mørkegrå figurene på bildet. Arealet av en halvsirkel er halvparten av arealet til en sirkel: πr22der er radius. Radiusen til halvsirkelen ut fra katet a er a2, fordi hele kateten er diameteren. Derfor er

 Aa=πa222=πa242=πa28 .

På tilsvarende måte finner vi at:

Ab=πb28 og Ac=πc28.

Hvis summen av Aa og Ab er lik Ac, så er πa28+πb28=πc28. Vi begynner med Pytagoras' setning:

 a2+b2=c2

Vi multipliserer begge sider av likheten med konstanten π8:
a2+b2π8=c2π8


πa28+πb28=πc28


Aa+Ab=Ac, som var nettopp det vi ønsket!

Vi har dermed vist at arealene til de to små halvsirklene lagt sammen virkelig er lik den største.

Bevis 3 av at arealet til Ac er summen av Aa og Ab

De mørkegrå trekantene på bildet er alle likesidede slik at alle sidene er like lange og alle vinklene er 600. Nå skal vi vise at Aa+Ab=Ac. Arealet til en trekant med grunnlinje g og høyde h er gh2. La oss se på Aa.

Vi velger lengde a (til kateten) som grunnlinjen g. Vi bruker Pytagoras og at alle sidene er like til å finne høyden som er a32. Arealet blir da Aa=gh2=aa32=a232. Tilsvarende får vi at Ab=b232 og Ac=c232. Bruk Pytagoras og multipliser hele uttrykket med en kostant for å vise at Aa+Ab=Ac.

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk fellesfag

  • Etter 10. årssteget
    • Geometri
      • bruke og grunngje bruken av formlikskap og Pytagoras' setning i berekning av ukjende storleikar

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    I grupper på 2-4 elever.

  • Utstyr

    Skrivesaker, ark med oppgaven

Skrevet av

Johanne Lein
Johanne Lein

Institusjon

Universitetet i Bergen