www.matematikk.org

Målgruppe:

10. trinn
Vg1T

Hva har tallfølger, figurtall og algebra til felles?

Tallfølger er en nyttig ressurs i arbeid med algebra og funksjoner. Ved å studere tallfølger kan elevene få trening i å se og beskrive systemer som de deretter kan utvikle formler for. Her skal vi spesielt se på arbeid med eksplisitt og rekursiv formel for tallfølger.

Lærerens instruksjoner

Undervisningsopplegget i sin helhet passer best for elevene i videregående skole, men store deler kan brukes til å motivere elever på ungdomsskolen som presterer over gjennomsnittet. Det egner seg også til selvstudium siden oppgavene 4 - 9 har løsningsforslag (se under vedlegg).

I timene legges det opp til arbeid i par og gjennomgang av oppgavene/resultatene i plenum der det også oppfordres til diskusjoner. Det er fint hvis elever selv presenterer og forklarer egne løsninger i plenum. Løsningsforslag til oppgavene er å finne i høyre spalte under vedlegg.

Arbeid i par med oppgave 1 og 2

Timen begynner med at elevene får utdelt Elevens oppgaveark, og de blir oppfordret til å løse første to oppgaver (om partall og oddetall). Dette er kjente begreper og derfor en god oppvarming for elevene. Også de svakeste vil oppleve at de mestrer den første oppgaven, og med litt hjelp bør også oppgave 2 gå fint.

Når de fleste elevene er ferdige, kan oppgavene gjennomgås i plenum før en mer "formell innføring" i dagens tema.

Gjennomgang av oppgave 1 og 2 (med diskusjon)

Oppgaven 1 og 2 dreier seg om partall og oddetall. Når det gjelder partallene, ser elevene raskt at neste tall fås ved å legge til 2. Og dette fører til den rekursive formelen, som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Hvis vi kaller partall nr n for Pn, blir

Pn+1= Pn+ 2

Vi ser at alle partallene er gitt ved formelen Pn= 2n. Det er den eksplisitte formelen for partallene.

Tilsvarende blir eksplisitt formel for oddetallene On= 2n - 1, mens rekursiv formel blir

On+1= On+ 2

NB: To tallfølger kan altså godt ha samme rekursive formel selv om de eksplisitte formlene er ulike.

Når det gjelder eksplisitt formel for partall og oddetall (og mange flere), gir de oss et funksjonsuttrykk. For partallene kunne vi ha skrevet y = 2x eller y = 2n eller f(n) = 2n eller slik vi allerede har gjort: Pn= 2n. Nå kan man se på hva slags funksjon dette er. Hvordan vil grafen til funksjonen se ut (hvis vi utvider definisjonsmengden fra heltallene til alle reelle tall)?

En kort introduksjon av dagens tema

Nå er det på plass med en kort introduksjon til dagens tema:

- Alle tallfølgene kan illustreres ved antall kryss eller prikker som figurtall. Dette vil være nyttig verktøy for å beskrive mønstre og utvikle formler. Repeter gjerne med elevene noen av de kjente figurtallene, og oppfordre dem til å se etter kjente figurtall i oppgavene.

Utfordringen er å finne formler som

- gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Den rekursive formelen.

- gir oss alle tallene an i tallfølgen uansett hva n er. Den eksplisitte formelen.

Arbeid i par med oppgave 3 etterfulgt av gjennomgang i plenum der nye begreper innføres

Elevene utfordres til å løse oppgave 3. Etter en stund kan tallfølgen c) diskuteres i fellesskap. (Kommentar til læreren: Ved at elevene selv finner svaret, vil de med egne ord kunne beskrive løsningen og veien til løsningen. Derfor vil fokuset være rettet like mye i å utvide deres matematiske vokabular som å sjekke om stoffet har blitt forstått av alle.)

I denne tallfølgen legger vi ikke til et fast tall, men vi øker tillegget med 1 hver gang. Vi får altså først en differanse - som ikke er fast - den kaller vi for første differanse. Denne første differansen økes med 1 for hver gang. "Differansen av differansene" (som her er 1) kaller vi andre differanse. (Dette har sammenheng med den 1. og 2. deriverte av funksjonsuttrykket, men det trenger ikke elevene vite dersom de ikke er fortrolige med derivasjon og integrasjon).

Resultatet kan vises i en tabell:

Tall F1 F2 F3 F4 F5   Fn Fn+1
Tallverdi 2 4 7 11        
1. differanse     2   3   4    
2. differanse 1   1    


Selv om denne følgen greit kan beskrives med ord - også av elever, er det kanskje ikke like enkelt å finne rekursiv eller eksplisitt formel. Dette er en fin diskusjon å ta opp med elevene. Konklusjonen vil nok være at dette ikke er helt enkelt og at det må noen andre metoder til enn de som vi til nå har sett på.

På samme måte kan følgende d) og e) settes opp. Flere elever vil nok kjenne igjen kvadrattallene - og kanskje noen også trekanttallene. Vi kommer tilbake til formelutvikling av kvadrattall, trekanttall og rektangeltall i oppgave 5 og 6. Når det gjelder følgen ovenfor, bør elevene (senere) utfordres på sammelikningen med trekanttall (hverttaller nøyaktig en større enn tilsvarende trekanttall).

Arbeid i par med oppgave 4, etterfulgt av gjennomgang i plenum 

La elevene se på oppgave 4, og se om de gjenkjenner rektangeltallene. Oppgaven utfordrer elevene til å utvikle rekursiv formel for figurtall som gir andregradsfunksjoner. Gi elevene tid til å arbeide med oppgaven før den diskuteres i plenum.

Den eksplisitte formelen blir Rn=n(n + 1) eller Rn= n2+ n. Nå kan man høre med elevene hvilken type funksjon dette er. Gjør dem oppmerksomme på at vi forutsetter i figurtallsammenheng at den lengste "siden" er (nøyaktig) 1 større enn den korteste.

Arbeid i par med oppgave 5 etterfulgt av gjennomgang i plenum

Oppgave 5 er neste utfordring og det anbefales at denne oppgaven gjennomgås i plenum. Dette fordi elevene i påfølgende oppgave blir bedt om å lage tilsvarende tabell for rektangeltallene og trekanttallene, og å finne rekursiv formel.

Arbeid i par med oppgavene 6 til 9

Oppgavene 6 - 9 bør elevene jobbe sammen. Hvis det er nødvendig, kan noen av oppgavene gjennomgås i plenum. De som blir tidligere ferdig, kan jobbe selvstendig med å lage figurtall (se "Lag to figurtall" under vedlegg).

Kommentar til oppgavene 7, 8 og 9

Oppgave 7: I fasiten er det vist to ulike måter å finne den rekursive formelen på (se vedlegg).

Oppgave 8: Her må elevene blant annet løse et likningssett for å komme frem til den eksplisitte formelen. De som løser oppgaven raskt, kan få oppfølgingsspørsmål om hvilken type funksjon det er. Det er viktig å huske at funksjonen er definert for hele tall (vi opererer med tallfølger), og den gir ikke ei linje, men punkter. Dette blir altså en punktfunksjon.

Oppgave 9: Denne oppgaven omfatter metoder for å finne den eksplisitte formelen også for andre figurtall som har utgangspunkt i andregradsfunksjoner. I fasiten er det også her vist to alternative måter å finne eksplisitt formel på.

Avslutning

Som en avslutning av arbeidsøkten (hvis dere har nok tid) kan dere i fellesskap gå gjennom hvordan man kan lage ulike figurtall og på denne måten oppsummere timene (se "Lag to figurtall" under vedlegg).

Elevens oppgaveark

Tallfølger, figurtall og algebra

Oppgave 1.

Hva blir neste tall - og neste, og så videre - i disse tallfølgene?

a)    2, 4, 6, 8, …
b)    1, 3, 5, 7, …

Og hvordan kan utviklingen beskrives med ord?

Prøv å lage en formel som gir alle tallene ani tallfølgen uansett hva n er.

Oppgave 2.

Se på partallene (tallfølge a) i oppgave 1) og finn ut hvordan du kan skrive en formel som gir deg neste tallet i tallfølgen.

Gjør tilsvarende for oddetall (tallfølge b) i oppgave 1).

Oppgave 3.

Hva blir neste tall - og neste, og så videre - i disse tallfølgene?

c)    2, 4, 7, 11, …
d)    1, 4, 9, 16, …
e)    1, 3, 6, 10, …

Og hvordan kan utviklingen beskrives med ord? 

Oppgave 4.

Hva blir neste tall - og neste, og så videre i denne tallfølgen?

f)    2, 6, 12, 20, …

Finn den eksplisitte formelen.

Oppgave 5.

Den "enkleste" andregradsfunksjonen er y = x2. Hvilke tall representerer denne? Hva er den eksplisitte formelen? Finn den rekursive formelen.

Oppgave 6.

Lag tabell for rektangeltallene og trekanttallene. Finn rekursiv formel for disse.

Oppgave 7 - rekursiv formel på to måter

Lag en tallfølge fra den eksplisitte formelen

Fn= n2 + 5n + 7

Sett opp en tabell og se på 1. og 2. differanse. Finn den rekursive formelen.

Oppgave 8 - utvikling av eksplisitt formel

Vis at Fn+1= Fn + 6 er den rekursive formelen for tallrekken

3, 9, 15, 21, ...

Finn den eksplisitte formelen.

Oppgave 9 - eksplisitt formel for figurtall som gir andregradsfunksjoner

Se på tallfølgen

9, 15, 23, 33, ...

Finn både den rekursive og den eksplisitte formelen.

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk fellesfag

  • Etter 10. årssteget
    • Tal og algebra
      • behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk, knyte uttrykka til praktiske situasjonar, rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk og bruke kvadratsetningane
      • bruke tal og variablar i utforsking, eksperimentering og praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design
    • Funksjonar
      • lage funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, med og utan digitale verktøy, beskrive og tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekstar

Læreplan i matematikk for realfag - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram

  • Matematikk R2
    • Algebra
      • finne og analysere rekursive og eksplisitte formler for tallmønstre med og uten digitale hjelpemidler, og gjennomføre og presentere enkle bevis knyttet til disse formlene

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program

  • Matematikk S2
    • Algebra
      • finne mønstre i tallfølger og bruke dem til å summere endelige aritmetiske og geometriske rekker og andre rekker, med og uten digitale hjelpemidler

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    Parvis og i plenum

  • Utstyr

    Vanlige skrivesaker. Elevens oppgaveark

  • Tidsbruk

    To dobbeltimer

  • Valg av tidspunkt

    Gjennomgang av emnet tallfølger

Skrevet av

Geir Martinussen
Geir Martinussen

Institusjon

Høgskolen i Oslo og Akershus