www.matematikk.org

Målgruppe:

Vg1T
Vg2T
R1
S1

Binomialformel med spill

Ved hjelp av terningspill og myntspill skal binomialformelen introduseres. Elevene deltar aktivt, og det legges stor vekt på forståelse.

Lærerens instruksjoner

Introduksjon

De Mére, som levde på 1600-tallet, introduserte et veddemål der han veddet på at han skulle få minst en sekser på fire kast med terning. Dette veddemålet vant han på (i det lange løp), mens da han veddet på at han skulle få minst en dobbeltsekser på 24 kast, så tapte han. I begge disse tilfellene kan vi enklest regne ut sannsynligheten for å vinne ved å regne ut sannsynligheten for det motsatte (komplementet) - altså ingen sekser eller dobbeltsekser.

Et interessant spørsmål her kan jo være: Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig en sekser på fire kast med en terning. Eller: Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig tre seksere på fire kast?

Binomisk utregning er en enkel metode å regne dette ut på og dermed unngå omfattende beregninger. Til det trenger vi en formel. Denne vil vi se nærmere på litt senere. Nå skal vi spille to spill.

Del ut til elevene spillene som du finner i Elevens oppgaveark.

Kommentar: Terningspill og myntspill kan varieres med flere eller færre kast og flere eller færre terninger eller mynter - og dermed også tilemping av hva som skal være "gunstige" resultater. For enkelte spesielt interesserte elever i ungdomsskolen og for elever på videregående skole kan spillet brukes som grunnlag for å innføre/forklare binomialformelen.

Spillene er i "Elevens oppgaveark". Det er viktig å oppfordre elevene til å forklare hvorfor et spesielt valg eller spesielle valg gir størst vinnersjanse - og i hvilken rekkefølge de andre valgene sannsynligvis vil komme.

Hvis elevene får spilt begge spillene, skal de forklare hvorfor sannsynlighetene for de ulike hendelsene er forskjellig i de to spillene.

Binomialformelen

I fellesskap med elevene skal man nå generalisere funnene fra de to spillene. Målet er følgende formuleringer:

Vi gjør et forsøk som består av et visst antall, n, uavhengige, enkeltforsøk. At de er uavhengige betyr at resultatet i ett forsøk ikke påvirker resultatet i et annet. I hvert forsøk teller vi opp antall ganger et bestemt resultat (hendelse) inntreffer.

Sannsynligheten for at den bestemte hendelsen skal inntreffe i hvert av enkeltforsøkene setter vi lik p. For eksempel er sannsynligheten for "kron" i hvert kast lik 12 og sannsynligheten for "sekser" er 16 i hvert kast.

Vi kaller antall ganger vi får det bestemte resultatet, for X - altså at X forteller hvor mange ganger den bestemte hendelsen inntreffer i løpet av n forsøk.

I hvert forsøk er sannsynligheten p for at X skal inntreffe.

Da har vi at sannsynligheten for at hendelsen inntreffer x ganger er gitt ved:

P(X=x) = (nx)px(1p)nx

Denne formelen kaller vi binomialformelen.

Kaster vi en terning og lar X være antall ganger vi får det "gunstige" resultatet i løpet av n kast, der sannsynligheten for at akkurat det inntreffer er p (i terningtilfellet 16 og i mynttilfellet 12), skriver vi at X er bin(n,p)

Eksempel 1

Vi kaster terningene 20 ganger og registrerer antall ganger vi får sekser. Da er X bin(20,16).

Eksempel 2

Vi kaster pengestykkene 30 ganger. Da er X bin(30,12).

Forventede resultat kan vi regne ut ved å sette inn i binomialformelen.

Nå kan elevene løse oppgavene under Binomialformel i Elevens oppgaveark. Fasiten til de tre først oppgavene er 23,8%, 20,5% og 8,8%.

Elevens oppgaveark

Terningspill

  • Hver spiller velger en kolonne i tabellen (eller kast terning om hvem som skal ha hvilken kolonne).
  • I hver runde kaster hver spiller tre terninger en gang (eller en terning tre ganger).
  • Sett en strek hver gang et gunstig resultat inntreffer.
  • Etter ti runder tell strekene og den som har flest streker (eller færrest) vinner.
Resultet En sekser To seksere Tre seksere Ingen seksere
Antall ganger



Relativ frekvens



Kumulativ relativ frekvens



Hvorfor gir et spesielt valg størst vinnersjanse- og i hvilken rekkefølge vil de andre valgene sannsynligvis komme?

Myntspill

  • Hver spiller velger en kolonne i tabellen (eller kast terning om hvem som skal ha hvilken kolonne).
  • I hver runde kaster hver spiller tre pengestykker en gang (eller et pengestykke tre ganger).
  • Sett en strek hver gang et gunstig resultat inntreffer.
  • Etter ti runder tell strekene og den som har flest (eller færrest) streker vinner.
Resultat En kron To kron Tre kron Ingen kron
Antall ganger



Relativ frekvens



Kumulativ relativ frekvens



Hvorfor gir spesielle valg størst vinnersjanse - og i hvilken rekkefølge vil de andre valgene sannsynligvis komme?

For deg som har spilt både terningspill og myntspill:
Forklar hvorfor sannsynlighetene for de ulike hendelsene er forskjellige i de to spillene.

Binomialformel

Oppgave 1

Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig tre seksere i løpet av 20 kast med terning (eller ett kast med 20 terninger)?

Oppgave 2

Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig fire ganger kron i løpet av 10 kast med et pengestykke (eller ett kast med 10 pengestykker)?

Oppgave 3

Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig to dobbeltseksere i løpet av 20 kast med to terninger?

Oppgave 4

Lag tre nye oppgaver med løsningsforslag.

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk 2T og 2P

  • Etter 2T
    • Kombinatorikk og sannsyn
      • berekne sannsyn ved ordna utval med og utan tilbakelegging, og ved uordna utval utan tilbakelegging
      • rekne med binomisk og hypergeometrisk sannsyn og kjenne att og modellere slike fordelingar i ulike situasjonar

Læreplan i matematikk fellesfag 2T-Y og 2P-Y, Vg3 påbygging til generell studiekompetanse

  • Etter 2T-Y
    • Kombinatorikk og sannsyn
      • berekne sannsyn ved ordna utval med og utan tilbakelegging, og ved uordna utval utan tilbakelegging
      • rekne med binomisk og hypergeometrisk sannsyn og kjenne att og modellere slike fordelingar i ulike situasjonar

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program

  • Matematikk S1
    • Sannsynlighet
      • regne med binomialkoeffisienter og bygge opp Pascals talltrekant
      • lage binomiske og hypergeometriske sannsynlighetsmodeller ut fra praktiske situasjoner, og regne med sannsynligheter for slike modeller

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    inntil 4 elever og i plenum

  • Utstyr

    en eller tre terninger per gruppe,
    et eller tre pengestykker per gruppe,
    elevens oppgaveark,
    blyant og viskelær

  • Tidsbruk

    en enkeltime

  • Valg av tidspunkt

    innføring av binomialformel

Skrevet av

Geir Martinussen
Geir Martinussen

Institusjon

Høgskolen i Oslo og Akershus