www.matematikk.org

Målgruppe:

8. trinn
9. trinn
10. trinn
R1
S1

Forskjellige typer utvalg

Gjennom eksempler og utfordringer skal elevene få en grundig innføring i de forskjellige typer utvalg. Det legges stor vekt på forståelse.

Lærerens instruksjoner

Her viser vi til to forskjellige arbeidsformer.

Arbeidsform I
I høyre spalte under vedlegg finner du et arbeidsdokument. Dokumentet er en artikkel for selvstudium. Elevene får utdelt dokumentet og jobber i par, mens noen utvalgte utfordringer blir gjennomgått i fellesskap. Dersom denne arbeidsformen velges, skal det brukes god tid på oppsummeringen slik at alle elevene får anledning til å vise forståelse for de ulike typer utvalg.

Arbeidsform II (forløpet som beskrevet nedenfor)
Elevene får utdelt Elevens oppgaveark der alle utfordringene er. De må gjerne jobbe i par med en og en utfordring. Etter hver utfordring skal løsningene diskuteres i plenum. Nedenfor følger detaljert forløp med løsningforslag, spørsmål som elevene skal besvare underveis og kommentarer til læreren.

Utfordring 1 - Ordnet utvalg uten tilbakelegging
Elevene gjør utfordring 1. Løsningene diskuteres i plenum.

Løsningsforslag
Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks personer. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. Utdelingen skal være tilfeldig - og ingen kan få mer enn en pakke. Alle seks har samme mulighet til å få en hvilken som helst av pakkene.

På hvor mange måter kan pakkene deles ut?

Det er seks som kan få TV'en. Da er det fem som kan få PC'en. Og det er fire som kan få mobiltelefonen. Antall kombinasjoner blir

654=120. Det er altså 120 forskjellige muligheter for fordeling.

Spørsmål: Hvordan vil et trediagram se ut?

Vi kaller personene A, B, C, D, E og F. Nedenfor ser du hvordan det blir dersom A får TV'en:

På toppen: A Neste rad fra venstre: B, C, D, E, F Nederste rad fra venstre: C D E F, B D E F, B C E F, B C D F, B C D E

Du ser at dersom A får TV'en, er det 20 mulige kombinasjoner for utdeling, Tilsvarende antall får du dersom B, C, D, E eller F får TV'en. Dette betyr at det er

620=120kombinasjoner til sammen - som vi kan skrive som

654

Merk at her spiller det en rolle hvilken rekkefølge vi får. Hvis rekkefølgen ikke hadde spilt en rolle (tenk at du skal velge tre personer av seks), ville antall utvalg vært 20, altså sjetteparten i forhold til de 120 vi fikk her. Det er derfor viktig å definere hvilke utvalg vi snakker om.

Definisjon
Et ordnet utvalg er et utvalg der ordningen (eller rekkefølgen) spiller en rolle.


Når hver har mulighet å få bare en pakke, sier vi at det ikke er tilbakelegging. Har en person fått en pakke, blir ikke denne personen med i neste trekning.

Vi har altså et:

Ordnet utvalg uten tilbakelegging

En generell regel for slike utvalg blir da:
Dersom vi skal trekke o objekter fra en mengde på m elementer, og rekkefølgen spiller en rolle, er antall forskjellige utvalg gitt med:

m(m1)(m2) der antall faktorer blir o

Dette kan vi også skrive som

m(m1)(m2)(mo+1)

La oss nå trekke inn sannsynlighet.

Utfordring 3 - Uordnet utvalg
Elevene skal løse utfordring 2. Løsningene presenteres i plenum. Her er det viktig å understreke at de ikke trenger å svare på alle spørsmål, men velger ut et par.

Neste utvalgstype

Utfordring 3 - Uordnet utvalg
Elevene gjør utfordring 3 og presenterer løsningene i plenum. Her er det sentrale at rekkefølgen ikke har betydning og at vi kun ser på hvor mange forskjellige grupper på tre personer det kan velges fra de seks. Det er viktig å stille elevene spørsmål når de presenterer løsningene slik at alle ser forskjellen fra utfordring 1. De forskjellige personene i de alternative gruppene skal altså ikke ordnes i forhold til hverandre.

 

Definisjon
Et uordnet utvalg er et utvalg der ordningen (eller rekkefølgen) ikke spiller noen rolle.


Spørsmål:
Hvordan kan du forklare at vi i uordnete utvalg som i utfordring 3 "mister" et visst antall kombinasjoner?

Vi har at

ABC =ACB = BAC = BCA = CAB = CBA

Og tilsvarende er

BCE = BEC = CBE = CEB = EBC = ECB

Så her blir altså bare sjetteparten av det opprinnelige antallet igjen - og sjetteparten av 120 er 20, så det stemmer med det vi fant tidligere.

En annen måte å se det på, er at de tre som velges ut, kan ordnes på

321 måter og produktet er 6 slik at det er seks ganger så mange ordnede som uordnede utvalg.

Utfordring 4 - Ordnet utvalg uten tilbakelegging
Elevene løser utfordring 4 og løsningene presenteres i plenum.

Løsningsforslag:
Nå har du antagelig funnet ut - og du har en god forklaring, at det blir

54=20 mulige sammensetninger. Hvis utvalgene skal være uordnet slik som her - altså at rekkefølgen ikke spiller noen rolle - så blir AB = BA, AC = CA og så videre, så vi "mister" altså halvparten av sammensetningene. Her må vi dividere med 2 i forhold til antall ordnede utvalg, og 2 kan vi skrive som

21

Utfordring 5 - Uordnet utvalg uten tilbakelegging
Elevene løser utfordring 5 og ser på løsningene i fellesskap.

Løsningsforslag
Antall ordnede utvalg blir

7654=840

Da har altså rekkefølgen betydning. Skal vi finne antall uordnede utvalg, må vi finne ut hvor mange måter de fire kan ordnes på. Det er

4321=24

Altså finner vi antall uordnede utvalg ved å dividere 840 med 24. Så antall uordnede utvalg når vi velger fire fra syv, blir trettifem.

Merk at vi ikke legger tilbake. Er en person trukket ut, kan hun ikke trekkes en gang til.

Nå kan elevene forklare for hverandre hva som menes med ordnet og uordnet utvalg.

Utfordring 6 - Uordnet utvalg uten tilbakelegging
Elevene gjør utfordring 6 og i fellesskap diskuteres løsningene.

Løsningsforslag
Skal vi trekke seks elementer fra ti - og rekkefølgen ikke spiller noen rolle - har vi i utgangspunktet

1098765 forskjellige utvalg, men siden utvalget er uordnet må vi dividere dette tallet med

654321 (som er antall måter seks elementer kan ordnes på).

Spørsmål: Ser du et system som går igjen når vi skal regne ut antall uordnede utvalg uten tilbakelegging?

Vi har altså

Uordnet utvalg uten tilbakelegging

Dersom vi skal trekke o objekter fra en mengde på m elementer, og rekkefølgen ikke spiller noen rolle, er antall forskjellige utvalg gitt ved:

m(m1)(m2).....(mo+1)o! som også kan skrives slik: (mo)

Spørsmål:

  • Gi et eksempel på uordnet utvalg uten tilbakemelding.
  • Lotto er et eksempel på uordnet utvalg uten tilbakemelding. Her skal det trekkes syv tall fra en mengde på trettifire tall - uten å legge tilbake. Hvor mange forskjellige lottorekker finnes det?

Utfordring 7  - Uordnet utvalg uten tilbakelegging
Elevene gjør utfordring 7. Løsningene presenteres i plenum. Her er det viktig å legge vekt på forklaringer.

To utvalgstyper til

Eksempel

På en tippekupong er det 12 kamper, og i hver kamp kan det bli enten H eller U eller B. Det er altså tre mulige resultater i første kamp. Så legger vi tilbake og "trekker" igjen - det vi si vi "trekker" med de samme alternativene en gang til. Hvor mange mulige sammensetninger av resultater er det for de to første kampene? Og hva med de tre første?

Nå kan elevene lage trediagram og komme med løsningene.

Spørsmål:

  • Hvor mange forskjellige tipperekker finnes det - når det er 12 kamper?
  • Så hvor mange rekker må vi levere for å være garantert gevinst?
  • Hva er forskjellen fra dette eksemplet og de foregående utfordringene?

Her er det viktig at elevene forstår at utvalget er ordnet og at det er med tilbakelegging.

Utofrdring 8 - Ordnet utvalg med tilbakelegging
Elevene gjør utfordring 8 og løsningene gjennomgås gjennom i plenum.

Løsningsforslag
Du fant antagelig ut at når vi har en "vanlig" tippekupong, er det ni mulige kombinasjoner i de to første kampene - altså 32. Ved tolv kamper blir det 312 muligheter. (Så det blir dyrt å skulle sikre seg å få 12 rette.)

Kaster vi et pengestykke, kan vi enten få kron (K) eller mynt (M). Vi ser bort fra muligheten for at det blir liggende på høykant. Kaster vi to ganger, kan vi få enten K eller M første gang og enten K eller M andre gang. Antall mulige resultater for de to gangene vil være KK, KM, MK eller MM - altså fire muligheter.

Spørsmål:

  • Hva om vi kaster åtte ganger?
  • Eller n ganger?

Her er det viktig at elevene ser at vi hele tiden får en potens med grunntall lik antall mulige resultater i hvert forsøk - og eksponent lik antall forsøk. Elevene kan få et par minutter til å se på tippekupongen og se om det også stemmer her.

Nå er elevene også klare til å lage en formulering og en generell regel. Vi trekker fra en mengde med et visst antall mulige utfall (eller resultater): tippekupong tre - H, U eller B og myntkast to - K eller M. Vi gjør trekningen et visst antall ganger, og vi har de samme alternativene i hver trekning, det vil si at vi "legger tilbake" mellom hver trekning. Lar vi nå antall mulige resultater være N og antall trekninger være n, kan vi lage en generell regel for:

Ordnet utvalg med tilbakelegging

Dersom vi trekker n ganger fra en mengde på N, vil antall mulige forskjellige resultater blir Nn.

Til nå har vi sett på tre forskjellige typer utvalg. Vi kan også ta med et fjerde - som vi kaller:

Uordnet utvalg med tilbakelegging

Utfordring 9 - Sannsynlighet
Elevene gjør utfordring 9 og løsningen diskuteres i plenum.

Løsningsforslag
De kan få tre jenter, tre gutter, ei jente og to gutter, to jenter og en gutt. Her lar vi ikke rekkefølgen spille noen rolle, så da har vi et uordnet utvalg. Vi trekker ut fra de samme alternativene hver gang, så da er det med tilbakelegging.

Mulige sammensetninger:

Ved 3 jenter blir rekkefølgen: JJJ
Ved 2 jenter og en gutt kan det være: JJG JGJ GJJ
Ved ei jente og 2 gutter: GGJ GJG JGG
Ved 3 gutter: GGG

Dersom vi teller opp antall mulige utfall, ser vi at det blir fire.

Men disse utfallene har ikke samme sannsynlighet for å inntreffe. For eksempel kan tre jenter fås bare på en måte: nemlig JJJ. Mens to jenter og en gutt (JJG, JGJ, GJJ) eller to gutter og en jente (GGJ, GJG, JGG) kan fås på tre måter. Dette betyr at det er tre ganger så stor sjanse for å få to jenter og en gutt som for å få tre jenter.

Merk at dersom vi hadde spurt om rekkefølgen - for eksempel først jente, så gutt og til slutt jente, så ville det vært et ordnet utvalg.

Spørsmål:

  • Hvilken type utvalg ville det vært hvis vi hadde spurt om rekkefølgen (for eksempel først en jente, så gutt og til slutt jente)?
  • Hvilken betydning ville det ha hatt for beregnig av sannsynlighet?

Vi ser at så lenge det er et uordnet utvalg, kan det være relativt greit å finne antall forskjellige utfall, men de forskjellige utfallene har ulik sannsynlighet for å inntreffe.

Når mengden øker, kan det være greit å ha en formel og på den måten kontrollere at vi har funnet riktig antall uordnede utvalg med tilbakelegging. Den forteller oss at antallet er gitt ved (når n er mengden vi trekker fra og k er antall ganger vi trekker):

(n+k1k)=(2+313)=(43)=4

Nå kan elevene sammenlikne skrivemåten med det vi satte opp da vi så på uordnet utvalg uten tilbakelegging.

Ovenfor ser vi at det er fire forskjellige muligheter når utvalget skal være uordnet. Teller vi antall sammensetninger, finner vi åtte. Av disse er det bare en som gir tre jenter og en som gir tre gutter, mens det er tre sammensetninger som gir to jenter og en gutt og tre som gir en jente og to gutter.

Vi kan sette opp sannsynlighetene slik:

P(tre jenter) = 18

P(tre jenter og en gutt) = 38

Og så videre.

Spørsmål: Hva blir svaret hvis du legger sammen alle sannsynlighetene?

Utfordring 10 - Uordnet utvalg med tilbakelegging, sannsynlighet
Elevene gjør utfordring 10 og løsningene diskuteres i plenum.

Nå kan vi sammenlikne det vi har sett på med ordnet utvalg med tilbakelegging. Da er vi interessert i hvor mange mulige enkeltutfall det er til sammen - og sannsynligheten for at et spesielt skal inntreffe. Bruker vi formelen for ordnet utvalg med tilbakelegging, får vi 23 - altså 8 muligheter. Og hver av disse har samme sjanse for å inntreffe. Så det er 18 sjanse for hver.

Hvis vi derimot betraktet det som et uordnet utvalg, hadde vi fire muligheter - og de har ganske forskjellig sjanse for å inntreffe.

Utfordring 11 - Uordnet utvalg, sannsynlighet
Elevene gjør utfordring 11 og løsningene diskuteres i plenum. Her er det viktig at elevene gir en god forklaring på hvorfor resultatet er forskjellig når det er ordnet utvalg og når det er uordnet utvalg.

Oppsummering: La elevene i plenum oppsummere hvilke typer utvalg de har jobbet med, gi eksempler på de forskjellige og fortelle hva de har sett når det gjelder sannsynlighet for at de forskjellige utfallene inntreffer.

Elevens oppgaveark

Forskjellige typer utvalg

Utfordring 1

Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks personer. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. Utdelingen skal være tilfeldig - og ingen kan få mer enn en pakke. Alle seks har samme mulighet til å få en hvilken som helst av pakkene.

På hvor mange måter kan pakkene deles ut?

Utfordring 2

Ved å betrakte trediagrammet, prøv å svare på noen av spørsmålene:

  • Hva er sannsynligheten for at A, B og C er med sammen i et tilfeldig uttrukket utvalg - altså at alle de tre får (en eller annen) pakke?
  • Hva er sannsynligheten for at A og B er to av tre tilfeldige som får en pakke?
  • Hva er sannsynligheten for at akkurat C får TV'en?
  • Hva er sannsynligheten for at akkurat A får mobiltelefonen?
  • Hva er sannsynligheten for at F får TV'en, D får PC'en og B får mobiltelefonen?

Finner du en lur måte å regne disse sannsynligheten på - som du kan forklare ut fra trediagram?

Utfordring 3

Seks personer skal dra sammen på en konsert. Det er kun mulig å kjøpe to billetter hver. Tre av dem stiller seg i kø. På hvor mange måter kan tre av de seks velges ut?

Utfordring 4

Vi skal velge ut to fra en mengde på fem. Hvor mange forskjellige utvalg kan vi få dersom vi ser på ordnede utvalg (uten tilbakelegging)?

Hint: Tegn trediagram og still det opp matematisk på en måte du kan forklare (gjerne ut fra trediagram).

Utfordring 5

Hvor mange måter kan du velge fire ut fra syv på?

Utfordring 6

Hvor mange måter kan du velge seks ut fra ti på?

Utfordring 7

  • Hvor mange forskjellige uordnede utvalg blir det dersom du skal trekke ut tre personer fra fem i forhold til to fra fem? Forklar resultatet.
  • Hvor mange forskjellige uordnede utvalg blir det dersom du skal trekke ut fire fra fem i forhold til en fra fem? (Bruk gjerne trediagram for å forklare.)

To utvalgstyper til

Utfordring 8

  • Hvor mange mulige sammensetninger av resultater er det hvis  tippekupongen hadde bestått av ti kamper og det bare var to alternative utfall - enten H eller U?
  • Hvor mange mulige sammensetninger av resultater er det hvis tippekupongen hadde bestått av ti kamper og det var fire mulige utfall (det fjerde kunne for eksempel ha vært A for avlyst)?

Utfordring 9

Vi tenker oss et par som vil ha tre barn.

  • Hvor mange mulige sammensetninger er det?
  • Er dette ordnet eller uordnet utvalg?
  • Med eller uten tilbakelegging?
  • Er sannsynligheten for de forskjellige utfallene like stor?

Utfordring 10

Et par vil ha fire barn. Vis med trediagram resultatene. Hvilken type utvalg er dette? Er sannsynligheten for de forskjellige utfallene like stor?

Utfordring 11

Se igjen på tippekupongen. Det er tre mulige utfall H, U og B. Ta for deg de to første kampene, og tenk på det som et uordnet utvalg.

  • Hvor mange forskjellige utfall er det- når rekkefølgen mellom H, U og B ikke spiller noen rolle (altså at HU er det samme som UH og så videre)?
  • Hvor stor sannsynlighet er det for at hvert av de forskjellige utfallene skal inntreffe?
  • Sammenlikn resultatet med det du fikk dersom du betraktet det som ordnet utvalg med tilbakelegging.

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk fellesfag

  • Etter 10. årssteget
    • Statistikk, sannsyn og kombinatorikk
      • beskrive utfallsrom og uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal
      • drøfte og løyse enkle kombinatoriske problem

Læreplan i matematikk for realfag - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram

  • Matematikk R1
    • Kombinatorikk og sannsynlighet
      • drøfte kombinatoriske problemer knyttet til ordnede utvalg med og uten tilbakelegging og uordnede utvalg uten tilbakelegging, og bruke dette til å utlede regler for beregning av sannsynlighet

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program

  • Matematikk S1
    • Sannsynlighet
      • gjøre rede for ordnede utvalg med og uten tilbakelegging og uordnede utvalg uten tilbakelegging, og gjøre enkle sannsynlighetsberegninger knyttet til slike utvalg

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    parvis og i fellesskap

  • Utstyr

    elevens oppgaveark,
    blyant, viskelær

  • Tidsbruk

    en dobbeltime og en enkeltime

  • Valg av tidspunkt

    innføringen av forskjellige typer utvalg

Skrevet av

Geir Martinussen
Geir Martinussen

Institusjon

Høgskolen i Oslo og Akershus