www.matematikk.org

Målgruppe:

8. trinn
9. trinn
10. trinn
Vg1P

Kombinatorikk, en innføring

Ønsker du en annerledes innføring i kombinatorikk? Gjennom eksempler og utfordringer oppfordres elevene til å finne sammenhenger og system. Det legges stor vekt på forståelse som resulterer i formuleringen av to regler.

Lærerens instruksjoner

Del ut utfordringer til elevene, se i fanen "Elevens oppgaveark".

Utfordring 1 - Tre av fem
Elevene skal så løse utfordring 1. Denne gjennomgås i fellesskap.

Løsningsforslag
Av fem personer skal det trekkes ut tre personer. På hvor mange måter kan de trekkes ut?

Mer matematisk: Av en mengde på fem objekter vil vi undersøke hvor mange forskjellige utvalg som kan bestå av tre objekter.

Vi kaller personene (eller objektene) for eksempel Anne, Bjørn, Cecilie, David og Even. Dette er tungvint å skrive mange ganger, så vi bruker forbokstavene A B C D E - og får disse utvalgene:

ABC ABD ABE ACD ACE ADE
BCD BCE BDE
CDE

Da er alle kombinasjonene med- og vi ser at det er 10 forskjellige alternativer.

Spørsmål:

  • Hvor mange alternativer har med A?
  • Hva med de andre?
  • Hvor mange alternativer har med både A og B?
  • Hva med de andre kombinasjonene (A og C, B og C og så videre)?

A, B, C, D og E er med i 6 av alternativene. Både A og B er sammen i 3 av alternativene. Det samme er A og C, B og C og så videre.

Presiser for elevene at dere nå har funnet:

  1. Alle mulige kombinasjonene
  2. Antallet kombinasjoner for hver av bokstavene.

Med disse opplysningene kan dere finne sannsynligheten. Sannsynligheten for at A er med i et tilfeldig utvalg er

610

Spørsmål:

  • Hvor stor er sannsynligheten for at B er med?
  • Hva med C, D eller E?
  • Hvor stor er sannsynlighetetn for at A og B er med?
  • Hva med A og C eller B og D?

Vi ser at vi kan starte med A og få 6 kombinasjoner, så med B og få til 3, og til slutt med C og få enda en til - som også blir den siste. Altså er antall kombinasjoner

1+3+6

Spørsmål: Hva kaller vi tallene 1, 3 og 6?

Ja, dette er summen av de tre første i rekken av trekanttall! Og alle er med i 6 av utvalgene - som er det siste av disse tre trekanttallene.

Utfordring 2 - Tre av seks
Elevene skal løse utfordring 2. Løsningen gjennomgås i plenum ved at elevene oppfordres til å forklare sine løsninger.

Spørsmål:

  • Hva er altså sannsynligheten for at F er med i et tilfeldig utvalg?
  • Eller A?
  • Eller B?
  • Og hva er sannsynligheten for at både D og F er med i et tilfeldig utvalg?
  • Eller A og E?

Er det mulig å trekke inn figurtallbetrakning her også?

Nå som vi har en mengde på seks personer, ble det tilsammen 20 utvalg. Summen av de 4 første trekanttallene er

1+3+6+10=20

Og A er med i ti av dem, det er også B, C og så videre. Altså er hver og en med i antall utvalg som tilsvarer det siste trekanttallet - når vi summerer slik.

Siden B er med i 10 av 20 utvalg, er sannsynligheten for at hun er med i et tilfeldig utvalg

1020=12=0,5=50%

D og F er med sammen i 4 av de 20 utvalgene, så sannsynligheten for at begge er sammen med i et tilfeldig utvalg er

420=15=0,2=20%

Utfordring 3 og 4 - Tre av syv og tre av åtte
Elevene skal løse utfordring 3 og 4. Ut i fra funnene oppfordres elevene til å formulere en regel.

Regel
Dersom vi har en mengde på n, og skal trekke ut 3 objekter, kan vi få antall forskjellige kombinasjoner ved å summere trekanttallene opp til og med nummer (n2).

Utfordring 5 - To av fem
Elevene løser utfordring 5 før denne gjennomgås i plenum.

Løsningsforslag
Dersom vi skal velge to personer fra ei gruppe på fem - A, B, C, D og E - har vi disse kombinasjonene - eller utvalgene:

AB AC AD AE
BC BD BE
CD CE
DE

Det ble 10 muligheter til sammen. Vi merker oss at alle er med i 4 av utvalgene, og at 2 av personene bare kommer sammen i ett av uvalgene. Vi ser også at de 10 utvalgene kan finnes slik:

1+2+3+4=10

Utfordring 6 - To av seks
Elevene løser utfordring 6. Løsningene presenteres i plenum.

Spørsmål:

  • Tror de denne metoden å komme til svar på egner seg til å løse alle oppgaver?
  • Hva hvis det var en mye større mengde med objekter?

Nå skal fokuset rettes mot utfordringer knyttet til rekkefølgen.

Spørsmål:

  • Spilte rekkefølgen personene kom i noen rolle i alle de foregående utfordringene?
  • Gi eksempler på når rekkefølgen spiller stor rolle. (Eksempel: Tre personer står i kø for å gjøre et svært fordelaktig kjøp.)

Eksempel

La oss først se på hvor mange måter to personer kan stille seg i kø på. Det skulle bli to måter (AB eller BA). Dette er altså

21 måter

Utfordring 7 -Tre, fire eller fem personer i køen
Elevene løser utfordring 7, og løsningene presenteres i plenum.

Spørsmål:

  • Hva synes de om denne løsningmetoden?
  • Blir det mye arbeid å skrive opp alle kombinasjonene?

I så fall kan vi heller lage "trediagram".

Også trediagram (eller valgtre) blir lett uoversiktelig når det blir mange objekter å forholde seg til, men vi kan se om vi finner et system som kan hjelpe oss uten at vi trenger å tegne trediagrammet.

Eksempel

For tre personer, A, B, C, får vi tre "trær":

 

Til venstre (fra toppen): A,B og C, C og B. Midten: B, A og C, C og A Til høyre: C, A og B, B og A

Da har vi fått med alle kombinasjonene og ser at det blir seks til sammen. Vi merker oss at dette kan skrives som

 

321

For fire personer; A, B, C og D, trenger vi fire trediagram, som blir seende slik ut:

Fra toppen og fra venstre: A - B, C, D - C, D, B, D, B, C - D, C, D, B, C, B Bindestrek angir ny rad. Fra toppen og fra venstre (bindestrek betyr ny rad): B  A, C, D - C, D, A, D, A, C - D, C, D, A, C, A
Fra toppen og fra venstre (bindestrek betyr ny rad): C - A, B, D - B, D, A, D, A, B - D, B, D, A, B, A Fra toppen og fra venstre (bindestrek betyr ny rad): D - A, B, C - B, C, A, C, A, B - C, B, C, A, B, A

Vi ser at det er 24 mulige kombinasjoner. Og at det er naturlig å skrive dette som

4321

Elevene løser utfordring 8. Under gjennomgangen av løsningene er det viktig å understreke at trediagramtenking er lurt, og det kan noen ganger lønne seg å skissere litt - for å se hvilken utvikling det vil bli.

Spørsmål: Kan vi lage en regel her?

Regel:

Dersom n personer stiller seg i kø, kan det gjøres på

n(n1)21 måter.

Spørsmål: Forklar for hverandre logikken i dette ut fra trediagramtenking.

Her kan man avslutte med å fortelle elevene at

n(n1)21 skriver vi som n! - og uttaler det som "n-fakultet".

Dette er altså bare en forenklet skrivemåte - for eksempel er

6!=654321

Elevens oppgaveark

Kombinatorikk, en innføring

Utfordring 1

Av fem personer skal det trekkes ut tre personer. På hvor mange måter kan de trekkes ut?

  • Hvordan kan du formulere oppgaven til å høres "mer matematisk" ut? (Hint: Matematikere er glad i ordet objekter.)
  • Gi personene navn. (Husk: Matematikere liker ikke å skrive mye, så bruk gjerne forbokstavene i navnene.)
  • Finn svaret på spørsmålet.

Utfordring 2

Av seks personer skal det trekkes ut tre personer.

  1. På hvor mange måter kan de trekkes ut?
  2. I hvor mange av kombinasjonene er F med nå? Hva med A?
  3. I hvor mange av kombinasjonene er både D og F med? Hva med A og E?

Utfordring 3

Av en mengde på syv skal det trekkes ut tre objekter. Hvor mange forskjellige utvalg blir det tilsammen? Er det mulig å trekke figurtallbetrakning her?

Utfordring 4

Av en mengde på åtte objekter skal det trekkes ut tre objekter. Hvor mange forskjellige utvalg blir det tilsammen? Er antallet utvalg summen av figurtall?

Utfordring 5

Av en mengde på fem objekter skal det trekkes ut to objekter. Hvor mange forskjellige utvalg blir det tilsammen? Sjekk om antallet utvalg er summen av figurtall.

Utfordring 6

Av en mengde på seks objekter skal det trekkes ut to objekter. Hvor mange forskjellige utvalg blir det tilsammen? Sjekk om antallet utvalg er summen av figurtall.

Utfordring 7

  • Hvor mange måter kan tre personer stille seg i kø på? Hvordan kan du skrive dette antallet som et produkt?
  • Hvor mange måter kan fire personer stille seg i kø på? Hvordan kan du skrive dette antallet som et produkt?
  • Hvor mange måter kan fem personer stille seg i kø på? Hvordan kan du skrive dette antallet som et produkt?

Utfordring 8

Finn ut hvordan du kan finne antallet kombinasjoner hvis det er syv personer som skal stille seg i kø.

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk fellesfag

  • Etter 10. årssteget
    • Statistikk, sannsyn og kombinatorikk
      • beskrive utfallsrom og uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal
      • drøfte og løyse enkle kombinatoriske problem
  • Etter 1P
    • Sannsyn
      • berekne sannsyn ved å telje opp gunstige og moglege utfall, systematisere oppteljingar ved hjelp av krysstabellar, venndiagram og val-tre og bruke addisjonssetninga og produktsetninga i praktiske samanhengar

Læreplan i matematikk fellesfag 2T-Y og 2P-Y, Vg3 påbygging til generell studiekompetanse

  • Etter 2P-Y
    • Statistikk og sannsyn
      • berekne sannsyn ved å telje opp gunstige og moglege utfall, systematisere oppteljingar ved hjelp av krysstabellar, venndiagram og val-tre og bruke addisjonssetninga og produktsetninga i praktiske samanhengar

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    parvis og i plenum

  • Utstyr

    elevens oppgaveark,
    blyant og viskelær

  • Tidsbruk

    en dobbeltime

  • Valg av tidspunkt

    innføring av begrepet utvalg

Skrevet av

Geir Martinussen
Geir Martinussen

Institusjon

Høgskolen i Oslo og Akershus