Googol og fakultet
Spørsmål:
Merete, 15
Hei!
Jeg prøver å løse en oppgave som jeg nå har sittet i flere uker med. Jeg er ikke sikker på hvordan jeg skal løse den. Svaret blir 70, men jeg skulle prøve å finne et annet svar, bruke en annen måte å løse oppgaven på. Jeg håper du kan hjelpe meg i gang, hvordan jeg skal tenke. :)
Hvilket tall må du sette inn i uttrykket 5! for å få omtrent en googol? Men om jeg skal finne en annen måte finne det ut på enn å gange det 70 ganger for å få som er en googol... Takk på forhånd!
Svar:
Hei, Merete!
Dette er et veldig interessant spørsmål, og spesielt fordi vi må prøve å svare på det med den matematikken du kan. Dersom du hadde vært veldig bekvem med noe som heter eksponentialfunksjonen kunne vi brukt noe som heter Stirlings formel, og dersom du i tillegg hadde kjent til derivasjon og integrasjon kunne vi brukt Gamma-funksjonen - men vi får prøve å gjøre dette med bare tall.
I stedet må vi forsøke å telle faktorer, og gjøre noen overslag underveis. Vi skal prøve å finne det vi kaller en øvre og nedre grense for en googol. En øvre grense er et tall som helt sikkert er større enn en googol, mens en nedre grense er et tall som helt sikkert er mindre. Det betyr at den riktige verdien ligger et sted mellom.
Først kan vi lage en øvre grense:
Jeg påstår først at . Det er fordi vi har 100 faktorer (10, 11, 12, ..., 108, 109) som alle er større eller lik 10. Det betyr at vi har et tall som er større enn . (Tre prikker betyr at det kommer noe i mellom, men som bare følger det samme mønsteret. Vi er for late til å skrive det opp.)
Så kan vi prøve å lage en nedre grense. Husk at .
Vi begynner med de første 20 tallene: I stedet for å se på , bytter vi ut med tall som er litt større, men enklere å regne med. Med "enklere å regne med", krever vi at det bare skal være faktorer 2 og 5 med. Dermed kan vi skrive
Altså: 1 til 5 erstattes med en 5 hver, 6 til 10 erstattes med 10, og 11 til 20 erstattes med 20 hele veien. Dette tallet er større enn 20!, siden hver eneste faktor er større eller lik den tilsvarende faktoren i 20!. Da kan vi telle opp tierne, og flytte noen av 2-erne fra 20-tallene til 5-tallene, så vi får at produktet over er mindre . Siden produktet igjen er større enn 20!, så må .
Så fortsetter vi oppover til 50. Her bytter vi ut 21 til 25 med 25, og 26 til 50 med 50. (Dette er det lurt å skrive ned på et ark selv da matematikk fungerer best med blyant eller penn i hånda.) Da får vi et produkt som er 10 ganget med seg selv 25 ganger, ganger 5 ganget med seg selv 25 ganger (50), ganger 25 ganget med seg selv 5 ganger, som er det samme som 5 ganget med seg selv 10 ganger. Det blir igjen det samme som 10 ganget med seg selv 25 ganger, ganger 5 ganget med seg selv 35 ganger, eller
Vi har lyst til å utnytte femmerne litt bedre. 5 er litt større enn 4, som er 22, så vi kan bytte ut omtrent en tredel av femmerne med firere.
Hvis vi setter dette sammen med det vi fant opp til 20, så vet vi nå at
.
Dette er en nedre grense. Den sier at 50! iallfall ikke er større enn så-og-så mye. 50! er i virkeligheten lik omtrent , så vi er ikke så veldig langt unna.
Vi mangler for å komme til . Dersom vi ganger . Med samme teknikk som før, kan vi bytte ut de neste tallene i (nå) 100! med 100, og se hvor mange vi kan gange inn før vi møter på trøbbel. Dersom vi ganger inn 16 stykker, blir det , så da er vi fortsatt under. Da har vi
Videre har vi at
.
Dette begynner å bli veldig langt, og jeg skal ikke forvente at du har hengt med hele veien, for dette er litt komplisert, men det er veldig god trening for mer avansert matematikk! Det vi har greid å vise til nå, er at
så en googol må altså ligge mellom 66! og 109!. Vi var mer nøye med den nedre grensen, så vi kan nok av erfaring kanskje forvente at den ligger litt nærmere den enn den øvre, og dersom vi fortsetter på samme måten, kan vi begrense dette enda litt bedre, men det vil nok ta enda lenger tid, og bare bli mer forvirrende.
Vennlig hilsen,
Oraklet
Ofte stilte spørsmål
- Regning (tall, prosent, brøk, gange)
- Algebra (likninger, faktorisering)
- Funksjonsdrøfting
- Geometri (passer og linjal, areal og omkrets)
- Måling
- Sannsynlighet
- Statistikk
- Matematikkens historie
- Formelsamling
- Generelt om matematikk og orakelet
- Spørsmål om spill
Vi har samlet på noen av svarene som orakelet har gitt. Spørsmål og svar finner du under følgende temaer: