www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Målgruppe:

8. trinn
9. trinn
10. trinn

Sirkelens geometri

Praktisk tilnærming til begrepene radius, diameter, omkrets og areal av en sirkel.

Lærerens instruksjoner

I dette opplegget skal vi tilnærme oss begrepene omkrets, areal og π på en elevaktiviserende måte.


Felles:
Konstruer en sirkel. Snakk om begrepene radius, diameter, omkrets og areal.

Tilnærming til begrepet omkrets av en sirkel:


1) Bruk en rockering. Ta en sprittusj og lag et merke på ringen. Hold ringen med merket mot gulvet, bruk et kritt og tegn på gulvet der merket er. Rull ringen jevnt rett frem over gulvet. Når merket igjen treffer gulvet, lager du et nytt merke med krittet. Forsett slik framover. Undersøk lengden mellom krittstrekene. Ta diameteren til ringen og se hvor mange slike du kan legge ved siden av hverandre for å rekke mellom krittmerkene. Dette blir tre diametere og litt til. Får alle elevene dette?

Tilnærming til begrepet arealet av en sirkel:

1) Konstruer en sirkel i ei bok med rutenett, slik at du kjenner sirkelens radius. Tell opp rutene og prøv på denne måten å finne en tilnærmelsesverdi for arealet av sirkelen.

For eksempel: Hvis du konstruerer en sirkel med radius 1 cm vil sirkelen kunne inneholde følgende ruter: 4 stk hele ruter, 4 stk halve ruter, 8 stk 34 ruter.  Til sammen gir dette 12 hele ruter. Arealet av sirkelen kan da sies å være: 12 multiplisert med 14 cm2 som gir et areal på 3 cm2. Helt nøyaktig blir arealet lik π cm2.
Denne måten å finne sirkelens areal på ligger således ganske nær det eksakte areal.

2) Konstruer en sirkel, gjerne ved hjelp av Cabri. Konstruer videre det omskrevne kvadratet til denne sirkelen. Deretter det innskrevne kvadratet til sirkelen.

 

et stort kvadrat med en innskreven sirkel og et innskrevet kvadrat i sirkelen; radiusen er r


Ut fra dette skal elevene undersøke arealet til sirkelen, og hvordan dette forholder seg til de to kvadratene.

Løsning:

Sidekantene i det omskrevne kvadratet vil ha lengde 2r, der r er radius i sirkelen. Arealet av dette kvadratet blir da 2r2r=4r2.

Arealet av sirkelen kan vi se er noe mindre enn arealet av det omskrevne kvadratet.

Sidekantene i det innskrevne kvadratet vil ha lengde 2r2. Dette fordi diagonalen  i kvadratet vil ha lengde 2r. Pytagoras gir at katetene i kvadratet da vil ha denne lengden.
Arealet av det innskrevne kvadratet vil være: 
(2r2)2=2r2
Arealet av sirkelen kan vi se er noe større enn arealet av det innskrevne kvadratet.

Oppsummerer vi dette finner vi at sirkelens areal må ligge mellom arealet for det innskrevne kvadratet og det omskrevne kvadratet.
Dermed er sirkelens areal mellom 2r2 og 4r2.

Samtidig kan man sannsynliggjøre at arealet av sirkelen har noe med kvadratet av radiusen å gjøre.

 

Tilnærming til pi:

Ha flere sirkler foran deg.
Mål diameter og omkrets (ved hjelp av hyssing) for de ulike sirklene og skriv ned resultatet for dem i en tabell.

 

Omkrets Diameter Omkrets/Diameter
     
     
     
     
... ... ...



Ta omkretsen og divider med diameteren for hver av sirklene. Finner du noen sammenheng?

Elevens oppgaveark

Oppgaver:

1) Bruk en rockering. Ta en sprittusj og lag et merke på ringen. Hold ringen med merket mot gulvet, bruk et kritt og tegn på gulvet der merket er. Rull ringen jevnt rett frem over gulvet. Når merket igjen treffer gulvet, lager du et nytt merke med krittet. Forsett slik framover. Undersøk lengden mellom krittstrekene. Ta diameteren til ringen og se hvor mange slike du kan legge ved siden av hverandre for å rekke mellom krittmerkene.

2) Konstruer en sirkel i ei bok med rutenett, slik at du kjenner sirkelens radius. Tell opp rutene og prøv på denne måten å finne en tilnærmelsesverdi for arealet av sirkelen.

3) Konstruer en sirkel, gjerne ved hjelp av Cabri. Konstruer videre det omskrevne kvadratet til denne sirkelen. Deretter det innskrevne kvadratet til sirkelen

 

et stort kvadrat med en innskreven sirkel som igjen har et innskrevet kvadrat; radiusen er r


Undersøk arealet til sirkelen, og hvordan dette forholder seg til de to kvadratene.


4) Ha flere sirkler foran deg.
Mål diameter og omkrets (ved hjelp av hyssing) for de ulike sirklene og skriv ned resultatet for dem i en tabell.

 

 

Omkrets Diameter Omkrets/Diameter
     
     
     
     
... ... ...



Ta omkretsen og divider med diameteren for hver av sirklene. Finner du noen sammenheng?

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk fellesfag

  • Etter 10. årssteget
    • Måling
      • gjere overslag over og berekne lengd, omkrins, vinkel, areal, overflate, volum, tid, fart og massetettleik og bruke og endre målestokk
      • gjere greie for talet pi og bruke det i berekningar av omkrins, areal og volum

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    fellesaktivitet og grupper på 3 elever

  • Utstyr

    Passer, linjal, kritt, rockering, sprittusj, andre sirkler og eventuelt dataprogrammet Cabri

  • Tidsbruk

    1 dobbeltime

  • Valg av tidspunkt

    innføringsopplegg

Skrevet av

Martin Carlsen

Institusjon

Universitetet i Agder