www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Målgruppe:

9. trinn
10. trinn

Pi

Pi er ofte et begrep som elevene kun lærer i beregning av omkrets og areal av sirkler. Bakgrunnen til dette irrasjonelle tallet, og hvorfor akkurat det brukes i disse beregningene blir sjeldent snakket om. Gjennom dette opplegget får elevene erfare hvordan de regnet areal før de visste om verdien pi. Samtidig får de muligheten til å beregne verdien av tallet pi.

Lærerens instruksjoner

Bakgrunnstoff for lærere


π er den første bokstav i det greske ordet perimetros, som betyr omkrets. Tallet defineres som forholdet mellom omkretsen av en (vilkårlig) sirkel og dens diameter. Symbolet π ble introdusert av William Jones i 1706, og på slutten av 1800-tallet ble det brukt av alle matematikere.

Er ikke π et så enkelt begrep at en bare kan dele en sirkels omkrets på dens diameter for å finne ut hva tallet er? Uansett hvor nøye du måler og regner, vil du ikke komme fram til en nøyaktig verdi for π. Mange matematikere har brukt år av sitt liv til å prøve å bestemme så mange desimaler av π som mulig. Rekorden i skrivende stund er på 51 billioner desimaler, noe som er mulig gjennom et samarbeid mellom menneskets hjerne og datamaskinen. Men hvorfor er alt dette arbeidet gjort, da ingen har bruk for så mange desimaler av π? Fram til 1600-tallet var det en utfordring matematisk å finne en mest mulig nøyaktig verdi for π. Etter hvert handlet det om menneskets trang til å teste sine grenser, akkurat det samme som de som vil bestige Mt. Everest. I dag har beregningen av π også en mening. Beregningene krever stor kapasitet på datamaskiner, slik at beregningene brukes til å teste dyktigheten, riktigheten, hurtigheten og lagringsmuligheten til nye datamaskiner og programvare.


Historien til π


Det er umulig å vite når den første personen observerte at når sirkelen ble større, vokste omkretsen og diameteren i et konstant forhold til hverandre. Det tidligste skrevne vi har om π stammer fra et problem i Rhind-papyrusen. Dette er en av hovedkildene vi har om matematikken i antikkens Egypt. Denne papyrusen ble skrevet av en egypter kalt Ahmes rundt 1650 f. Kr., men ble først funnet i 1858. Den inneholdt 85 matematiske problemer med løsninger. Den ble kjøpt av engelskmannen A. H. Rhind og brakt til London, hvor det nå oppbevares på British Museum. Den egyptiske kilden fastsetter ikke en verdi for π, men viser hvordan en kan regne ut et tilnærmet areal av en sirkel. Dette er en metode vi kommer tilbake til i elevenes arbeidsark.

I matematikkens historie ser en forholdet mellom sirkelens areal og diameteren omtalt flere ganger, men i Bok XII, proposisjon 2, i Euklids Elementa (ca. 300 f. Kr.) finner vi trolig det første formelle beviset for at det er et konstant forhold mellom sirkelens areal og diameteren. "Sirklers arealer forholder seg til hverandre som kvadratene på diametrene". Setningen ble oppdaget og brukt av Hippokrates (ca 470-410 f. Kr.), og senere bevist av Eudoxos. Det er dette beviset vi finner i Euklids Elementa.

Ca 450 f. Kr. brukte Antiphon og Bryson fra Heraclea ideen om utfyllingsprinsippet til å beregne sirkelens areal. Dette går ut på at de regner ut arealet av en sirkel ved hjelp av geometriske figurer som de kjenner formelen for arealet på. Det blir gått nærmere inn på denne metoden på elevenes arbeidsark. Arkimedes (287-212 f. Kr.) regnet ikke bare med mangekanter inne i sirkelen, han tegnet i tillegg mangekanter rundt sirkelen. På denne måten fant han ut at sirkelens areal var mellom arealet av den omskrevne og den innskrevne mangekanten. Arkimedes brukte en regulær 96-kant, og klarte å vise at π var et tall mellom 317 og 31071.

I historien framover var matematikere, deriblant kjente matematikere som Fibonacci og Viéte, opptatt av å finne en tilnærmet verdi av π. Den som lyktes mest med dette arbeidet, var Ludolph van Ceulen, som i 1610 klarte å beregne 35 desimaler. Dette ble sett på som en stor arbeid, og π ble i flere år kalt "the Ludolphian number". Utfyllingsprinsippet krevde en del arbeid, men etter at differensialregningen ble oppdaget på slutten av 1600-tallet, har man fått rekker som gir π med ønsket nøyaktighet. Slik regning går utenfor ungdomsskolens pensum, så det vil i arbeidsarkene bli lagt vekt på den geometriske tilnærmingen de jobbet med for over 2000 år siden.


Kommentar til arbeidsark:
Poenget med første arbeidsark er at elevene skal få erfare hvordan man regnet areal før man visste om verdien π. Arealet av kvadratet er 6481 eller 0, 79012…. Verdien til π funnet fra egypternes måte er 25681 eller 3,16049….

På andre arbeidsark må elevene få prøve seg fram. Kanskje er de ikke nøyaktige nok ved første forsøk, kanskje klarer sidemannen å finne en mer nøyaktig verdi. Læreren kan selv velge om alle skal bruke en sirkel med lik diameter. Når er det enklest å finne en god verdi for π?

Kilder:

Baumgart, J. K. et al. (1990) Historical Topics for the Mathematics Classroom. Virginia: The National Council of Teachers og Mathematics, INC

Bekken, O. B. (1984) Matematikk i utvikling, bok I, Tallsystemets røtter. Agder distriktshøgskole: Fagseksjon for matematikk

Berggren, L. et al. (1991)  Pi: A Source Book. Canada: Springer - Verlag

Blatner, D. (1997) The joy of π. Middlesex: Penguin Books Ltd

Stein, S. (1999) Archimedes. What Did He Do Besides Cry Eureka? Washington: Mathematical Association of America

Thompson, J. (1997) Matematikkleksikon.  Oslo: Kunnskapsforlaget.

Elevens oppgaveark

π i Rhind-papyrusen

I 1858 ble det i Egypt funnet en papyrus som viste seg å inneholde 85 matematiske problemer med løsninger. Den ble kjøpt av engelskmannen A. H. Rhind. Den går under navnet Rhindpapyrusen, eller Ahmes papyrus etter den egyptiske skriveren som skrev den ned omkring år 1650 f. Kr. Denne pluss Moskvapapyrusen, som inneholder 25 problemer, er vår viktigste kilde til kunnskap om den egyptiske matematikken.

Vi skal nå se på et av problemene Ahmes skrev om i Papyrusen.

Problem 50:
Eksempel på et rundt område med diameter 9. Hva er arealet?

Kutt av 19 av diameteren og konstruer et kvadrat over resten, dette er det samme arealet som sirkelen har.

Figur:

 

pi1

 

 

 

 

➢ Tegn en sirkel med diameter lik 9 cm. Regn ut arealet på sirkelen slik egypterne ville ha gjort det.

➢ Vi vet i dag at arealet av sirkelen er πr2. Kan du regne ut hva verdien av π ville vært ut fra den måten egypterne regnet på? (π=Ar2)

➢ Skiller denne verdien seg mye fra den verdien av π vi kjenner i dag?

π hos grekerne; 500 f. Kr - 200 e. Kr

 
Vi skal her se på en metode som blant annet Arkimedes brukte. Han levde i årene287 - 212 f. Kr., og brukte blant annet noe som kalles utfyllingsprinsippet i sin matematikk. Dette går ut på at han regner ut arealet av sirkelen ved hjelp av geometriske figurer som han kjenner formelen for.

Først tegner han den sirkelen han vil finne arealet av. Deretter tegner han for eksempel en likesidet trekant inne i sirkelen, hvor trekantens hjørner er på sirkelbuen. Denne trekanten klarer han å regne ut arealet av. Videre må han fylle ut mer av sirkelens areal, noe han kan gjøre ved å tegne en likebeint trekant på hver av trekantens sider, og regner ut arealet av disse. Slik fortsetter han til han har fått en mangekant som ser nesten ut som sirkelen. Arkimedes holdt på helt til han hadde en mangekant med 96 sider.

Arkimedes tegnet i tillegg mangekanter rundt sirkelen og klarte å bestemme at π hadde en verdi som ligger mellom 317 og 31071.

pi2

 

 

 

 

 

 

 

➢ Se på den verdien Arkimedes fant. Er det nærme den verdien vi har for π i dag?
➢ Nå skal du prøve å beregne arealet på en sirkel på den måten Arkimedes gjorde det. Du kan starte med å bruke bare mangekanter inne i sirkelen. Når du mener du har funnet en verdi du er fornøyd med, regner du ut hva π ville vært med din utregning. (π=arealr2) Hvor nøyaktig klarer du å gjøre det?

➢ I 1610 var det en mann som het Ludolph van Ceulen som klarte å beregne 35 desimaler på π. Hvis du ser på din egen beregning av π som du gjorde i sted, prøv å forestille deg hvor nøyaktige beregninger van Ceulen måtte foreta.

Aktuelle kompetansemål i læreplanen

Læreplan i matematikk fellesfag

  • Etter 10. årssteget
    • Tal og algebra
      • samanlikne og rekne om mellom heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, uttrykkje slike tal på varierte måtar og vurdere i kva for situasjonar ulike representasjonar er formålstenlege
      • bruke tal og variablar i utforsking, eksperimentering og praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design
    • Geometri
      • utforske, eksperimentere med og formulere logiske resonnement ved hjelp av geometriske idear og gjere greie for geometriske forhold som har særleg mykje å seie i teknologi, kunst og arkitektur

Når, hvor og hvordan

  • Klassesituasjon

    individuelt eller parvis

  • Utstyr

    arbeidsarkene, papir og blyant

  • Tidsbruk

    1 enkeltime

  • Valg av tidspunkt

    et innføringsopplegg

Skrevet av

Laila Rosmo

Institusjon

Selsbakk skole

Tilsvarende emner behandles også i