Fra oppskrift til likningssystem

En oppskrift på fruktsalat er per person:

Appelsin + eple = 2/3

Appelsin + pære = 3/4

Appelsin + druer = 3/5

Tilsammen skal dette veie 60 gram. Hvordan regner jeg ut dette? Har prøvd mange måter allerede. Men finner ikke svaret! Kan jeg få hjelp.

Likningssystemet blir:

1. appelsin + eple = 2/3

2. appelsin + pære = 3/4

3. appelsin + druer = 3/5

4. appelsin + eple + pære + druer = 1 (1 svarer til 60 gram per person i denne oppgaven.)

Det er et likningssystem med fire ligninger i fire ukjente. Vi løser det ved addisjonsmetoden: Appelsin er med i alle likningene, og forsvinner hvis vi legger sammen alle likningene slik at 4 og 2 legges til og 3 og 1 trekkes fra. Eple og druer vil også forsvinne da, for eple er i 1 og 4 som får motsatt fortegn og druer er i 3 og 4 som også får motsatt fortegn. Pære er i 2 og 4 som begge er positive og forsvinner ikke.

Altså: likning 4 - likning 3 + likning 2 - likning 1, og vi sitter igjen med:

$2\cdot$pære $=1-\frac{3}{5}+\frac{3}{4}-\frac{2}{3}$. Fellesnevner er $3\cdot 4\cdot 5=60$,

$2\cdot$pære $=\frac{60-3\cdot 12+3\cdot 15-2\cdot 20}{60}$,

$2\cdot$pære $=\frac{60-36+45-40}{60}=\frac{29}{60}$,

pære $=\frac{29/2}{60}$. Dette svarer til 14,5 gram pære per person, siden 1 representerer 60 gram. Merk at det står 29/2 i telleren, altså "tjueni halve". Grunnen til at vi beholder en brøk i telleren er at det er praktisk å telle i sekstideler her, siden vi skal ha 60 gram totalt.

Vi kan nå sette inn i likning 2:

appelsin $+$ pære $=\frac{3}{4}$,

appelsin $+\frac{29/2}{60}=\frac{3}{4}$,

appelsin $+\frac{29/2}{60}=\frac{3\cdot 15}{60}$,

appelsin $=\frac{3\cdot 15}{60}-\frac{29/2}{60}=\frac{45-29/2}{60}=\frac{90/2-29/2}{60}$,

appelsin $=\frac{61/2}{60}$. Dette svarer til 30.5 gram appelsin per person.

Vi kan nå sette inn for appelsin i likning 1 (Mønsteret er som før):

appelsin $+$ eple $=\frac{2}{3}$,

eple $=\frac{2}{3}-\frac{61/2}{60}=\frac{40-61/2}{60}=\frac{80/2-61/2}{60}$,

eple $=\frac{19/2}{60}$. Dette svarer til 9,5 gram eple per person.

Til slutt kan vi sette inn for appelsin i likning 3, fortsatt samme metode som før:

appelsin $+$ druer $=\frac{3}{5}$,

druer $=\frac{36}{60}-\frac{61/2}{60}=\frac{72/2-61/2}{60}$,

druer $=\frac{11/2}{60}$. Dette svarer til 5,5 gram druer per person.

Vi setter svaret på prøve ved å fylle inn i likningene.

1. appelsin $+$ eple $=\frac{61/2}{60}+\frac{19/2}{60}=\frac{2}{3}$, OK!

2. appelsin $+$ pære $=\frac{61/2}{60}+\frac{29/2}{60}=\frac{3}{4}$, OK!

3. appelsin $+$ druer $=\frac{61/2}{60}+\frac{11/2}{60}=\frac{3}{5}$, OK!

4. appelsin $+$ eple $+$ pære $+$ druer $=\frac{61/2}{60}+\frac{19/2}{60}+\frac{29/2}{60}+\frac{11/2}{60}=1$, OK!

Dermed er svaret riktig, og oppskriften blir:

14,5 gram pære per person.

30,5 gram appelsin per person.

9,5 gram eple per person.

5,5 gram druer per person.