www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Nøtten med tre dører

Spørsmål:

Erik, 71

Jeg har diskutert denne oppgaven som vi har funnet på deres nettsider med en kollega:

Oppgave 1.
I en gjettelek er det 3 dører. Bak en av disse skjuler det seg en sjekk på 1 million kroner. Bak de to andre dørene er det tomt. En deltager velger en dør. Programlederen åpner en av de to andre dørene som han vet at ikke skjuler sjekken. Dersom deltageren har valgt riktig dør, er sannsynligheten for hvilken dør programlederen åpner, lik for begge dørene. Etter at deltageren har fått sett at det er tomt bak den åpnede døren, får han anledning til å bytte dør. Bør han bytte dør?

Hva er sannsynligheten for å vinne pengene dersom han ikke bytter? Hva om han bytter?

Diskutere denne problemstillingen.
Oppgave 2.
1. Hvordan blir det i det tilfellet at det er 1000 dører å velge blant, og verten åpner 998 dører som ikke skjuler sjekken?
2. Lønner det seg å bytte dør eller ikke?
3. Stemmer resultatene med teorien?
Jeg mener at fasiten er feil, og at det skyldes mangel på opplysninger i oppgaveteksten om når valget skal tas. Nedenfor kan dere se noen av mine argumenter:


«Det er bemerkelsesverdig at du ikke klarer å forklare meg hvordan det kan være 2/3 sjans for at den ene av de to uåpnede dørene har premien, mens den jeg valgte bare har 1/3 sjans, etter at jeg har fått vite om en dør uten premie. Da står vi igjen med to dører og kunnskap om at premien er bak en av dem, og jeg kan velge pånytt hvilken av de to jeg tror. Hvis jeg derimot må ta stilling til hva jeg vil gjøre før verten åpner den første døren, er sannsynlighetene slik du beskriver, gitt at han åpner en dør han vet er tom. Hvis han ikke visste det, og åpnet en dør med premie, vil du fortsatt fastholde at jeg har 1/3 sjans på premie når jeg åpner min utvalgte dør eller 2/3 hvis jeg bytter til den andre uåpnede døren? Jeg ville sagt at sjansen er null!»


«Jeg gir meg ikke så lett. Men jeg har en følelse av at spørsmålet stilles feil. Slik jeg har oppfattet spørsmålet, blir jeg tilbudt å velge dør på nytt etter at verten har åpnet en dør og jeg har fått vite utfallet. Men hvis jeg blir spurt før døren åpnes om hva jeg vil gjøre når jeg får vite utfallet, vil det kanskje stille seg annerledes. Med den informasjonen jeg har da, er det bare 1/3 sjans for å velge første dør riktig, og 2/3 sjans for at det er en av de andre dørene. Når jeg så får vite hvilken av de to dørene det ikke er premie bak, vil det være naturlig for meg å skifte, men den betraktningen er bare korrekt før noen av de tre dørene er åpnet.
Hva er eventuelt feil med mitt resonnement? Jeg står overfor 2 dører, bak en av dem er det en premie. Det kan være den jeg valgte først, eller det kan være den andre. Hvilken skal jeg velge? Hva som har skjedd tidligere, påvirker ikke sannsynligheten på noen annen måte enn at den stiger for hver ny dør jeg får vite at det ikke er premie bak.»

«Jeg har fortsatt å tenke på nedenstående oppgave, og kan ikke begripe noe annet enn at mitt svar er riktig, så sant det ikke er noe feil med opplysningene som gis. Er det tre dører, jeg velger en som ikke åpnes, verten åpner en der vi får vite at den var tom, så gjenstår to dører, der vi vet at premien finnes bak en av de to dørene. Da er det 50% sjans for riktig førstevalg og tilsvarende for at det er galt, og at det ville være lurt å skifte. Følgelig tilsier sannsynlighetsberegningen at det ikke spiller noen rolle om man skifter eller ikke. Det spiller ingen rolle om verten vet eller ikke vet hvor premien finnes. Han vil alltid åpne en tom dør, vise deg det negative utfallet og gi deg en ny mulighet. Om det er tre dører, øker sannsynligheten for at hver av de gjenstående dørene gir premie fra 33% til 50% gjennom handlingen. Om det er 100 dører, og han åpner én dør, øker sannsynligheten for hver av de gjenstående dørene fra 1/100 til 1/99. Den døren du har valgt får også denne økningen. Åpner han 98 tomme dører, er vi tilbake til det første resonnementet.
Jeg har en følelse at det mangler noen opplysninger eller at det gis feil betingelser nedenfor, når du sier at mitt svar er feil. Skulle gjerne visst hvilken betydning det har for sannsynlighetsberegningen sett fra din side, om verten vet eller ikke vet hvor premien ligger. Hans bidrag er å øke sannsynligheten for at hver av de gjenstående dørene gir premie, inklusive den du allerede har valgt. Poenget er jo at du får vite utfallet av hans valg før du får tilbud om å gjøre et nytt valg.»

Selv om jeg ikke er realistutdannet, har jeg jobbet med anvendt statistikk i 45 år, så denne typen spørsmål er ikke ukjent for meg. Jeg vil sette stor pris på om noen kan påvise hvor bristen i mitt resonnement finnes.

Hilsen Erik

Svar:

Hei, Erik!

Den enkleste måten å tenke på er at i 2/3 av tilfellene velger du feil dør. Men når du velger feil dør vil programlederen definitivt åpne den andre gale døra, slik at den døra med pengene står igjen. Med andre ord er du garantert å åpne vinnerdøra hvis du bytter, når den første døra du velger er gal.

I 1/3 av tilfellene velger du døra med pengene i. Da har det ikke noe å si hvilken dør programlederen lukker opp, døra som gjenstår er uansett en gal dør. Med andre ord er du garantert å åpne en gal dør hvis du bytter, når den første døra du velger er vinnerdøra.

Som du kan se, Hvis du vet du kommer til å bytte, så har du 2/3 sjanse for å vinne. Da følger det veldig enkelt at du har 1/3 sjanse for å vinne hvis du vet du kommer til å beholde døra du starter med.

Samme prinsippet kan benyttes i tilfellet med 1000 dører. I 999/1000 tilfeller velger du feil dør. I hvert av de tilfellene er programlederen nødt til å åpne de gjenværende dørene slik at døra med premien står igjen. Derfor er det 99.9% sannsynlighet for at det er lurt å bytte dør. Da følger det at det er 0.01% sannsynlighet for at det er lurt å beholde døra du starter med. Det betyr at det er 99.9% sjanse for at du vinner hvis du bytter, og 0.01% hvis du beholder. 

Det er altså alltid lurest å bytte dør i disse tilfellene.

Vennlig hilsen,
Oraklet

Publisert: 15.09.2017 Endret: 20.09.2017