Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
Nettkoden som står til høyre for oppgavetittelen brukes i søkefeltet på www.matematikk.org for å åpne oppgaven og se utfyllende løsningsforslag.
Våre samarbeidspartnere:
MAT0010 2014 VÅR
Eksamenstid:
5 timer totalt. Del 1 og Del 2 skal deles ut samtidig.
Del 1 skal du levere innen 2 timer.
Del 2 skal du levere innen 5 timer.
Hjelpemidler på Del 1:
Ingen hjelpemidler er tillatt, bortsett fra vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.
Hjelpemidler på Del 2:
Før Del 1 er levert inn, er ingen hjelpemidler tillatt, bortsett fra vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.
Etter at Del 1 er levert inn, er alle hjelpemidler tillatt, med unntak av Internett eller andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Framgangsmåte og forklaring:
Del 1 har 16 oppgaver. Du skal svare på alle oppgavene. Skriv med penn når du krysser av eller fører inn svar i Del 1.
Del 2 har 8 oppgaver. Du skal svare på alle oppgavene.
I regneruter skal du vise hvordan du kommer fram til svaret.
Ved konstruksjon skal du bruke passer, linjal og blyant.
Du skal ikke kladde på oppgavearkene. Bruk egne kladdeark.
På flervalgsoppgavene setter du bare ett kryss per spørsmål.
Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.
Vis hvordan du har kommet fram til svarene.
Før inn nødvendige mellomregninger. Skriv med penn.
I regnearkoppgaver skal du ta utskrift av det ferdige regnearket. Husk å vise hvilke formler du har brukt i regnearket.
Du skal levere utskriften sammen med resten av besvarelsen.
Dersom du bruker en digital graftegner, skal skala og navn på aksene være med på utskriften.
Eksempel:
Uttrykket har verdien
35 50 62 75
○ ○ ○ ⊗
Veiledning om vurderingen:
Den høyeste poengsummen i Del 1 er 24 og den høyeste poengsummen i Del 2 er 36, men den er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering på grunnlag av Del 1 og Del 2. Sensor vurderer i hvilken grad du
- viser regneferdigheter og matematisk forståelse
- gjennomfører logiske resonnementer
- ser sammenhenger i faget, er kreativ og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner
- kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler
- vurderer om svar er rimelige
- forklarer framgangsmåter og begrunner svar
- skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinge
DEL 1 Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (2 poeng) Nettkode: E-4BYH
Regn ut
a)
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
To flersifrede tall skal adderes.
Vi setter opp regnestykket med ener under ener, tier under tier osv:
Vi starter med enerplassen. Summen av og er , så vi setter på enerplassen:
Så ser vi på tierplassen. Summen av og er , så vi setter på tierplassen og flytter opp til hundrerne. Vi gjør det samme på hundreplassen og tusenplassen, og får:
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Addisjon
Er det samme som å legge til, legge sammen eller plusse sammen.
Regneoperasjonen 5 + 7 = 12 kalles en addisjon.
Tallene 5 og 7 kalles ledd, og resultatet, 12, kalles en sum.
Mellom leddene skrives plusstegn +.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man adderer, finner du i artikkelen Addisjon.
Ønsker du å øve mer, se oppgavesettet Addisjon i Treningsleieren.
b)
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Et flersifret tall skal subtraheres fra et annet flersifret tall.
Vi setter opp regnestykket med ener under ener, tier under tier osv:
Vi starter med enerplassen. er større enn , så vi veksler én tier fra tierplassen til ti enere. Da får vi stykket , og vi må huske å skrive over tierne siden vi vekslet inn en tier:
På tierplassen blir stykket nå . Fordi er større enn må vi låne fra hundreplassen, og vi får :
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Subtraksjon
En regneoperasjonen der vi har et tall og trekker fra et annet.
Regneoperasjonen 14 – 9 = 5 kalles en subtraksjon.
Tallene 14 og 9 kalles ledd, og resultatet kalles differensen.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man subtraherer, finner du i artikkelen Subtraksjon.
Ønsker du å øve mer, se oppgavesettet Subtraksjon i Treningsleieren.
c)
Løsningsforslag c)
Jeg tenker
Dette er et multiplikasjonsstykke med desimaltall.
Vi setter opp regnestykket:
Vi multipliserer ett og ett siffer fra faktoren til høyre inn i faktoren til venstre. Vi starter med å multiplisere inn , men lar foreløpig vær å skrive komma i mellomsvaret:
Nå multipliserer vi med faktoren til venstre. Vi setter en null under sifferet lengst til høyre for å markere at vi har flyttet oss fra tiendedelsplassen til enerplassen:
Nå adderer vi tallene. Antallet desimaler i resultatet skal være lik summen av antall desimaler i faktorene. Det er desimal i første faktor og desimal i andre faktor, så resultatet skal ha desimaler.
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Multiplikasjon
Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".
Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.
Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.
Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12
Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man multipliserer med desimaltall, finner du i artikkelen Multiplikasjon av desimaltall.
For å øve mer, se oppgavesettet Multiplikasjon med desimaltall i Treningsleieren.
d)
Løsningsforslag d)
Jeg tenker
Dette er et divisjonsstykke med store tall.
Vi setter opp stykket:
Vi ser på sifferne i dividenden. Vi kan ikke dividere på , så vi tar med neste siffer. Vi kan heller ikke dividere på , så vi tar med neste siffer. Vi dividerer og får som rest. Vi skriver i resultatet, og trekker ned :
Vi ser at med som rest, så vi setter i resultatet:
Vi setter komma bak , og trekker ned en null:
Svar:
Alternativ løsning
Vi kan skrive divisjonsstykket som en brøk
Så kan vi faktorisere telleren og nevneren. Vi skriver tallene som produkt av primtall:
Vi forkorter bort fellesfaktorer:
Mer om
Denne oppgaven er om
Divisjon
Divisjon er en regneart som er den omvendte operasjonen av multiplikasjon.
Eksempel: fordi .
Faktorisering
Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.
Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3
Se også primtallsfaktorisering
Dividend
Dividenden er det første tallet i en divisjon. Dividenden forteller hvor mye vi har før vi begynner å dele.
I eksemplet: 32 : 8 = 4, er 32 dividenden.
Divisor
Divisor er det andre tallet i en divisjon.
Eksempel: 32 : 8 = 4. Her er 8 divisoren.
Når divisjonen skrives som brøk, kalles divisoren nevner.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man dividerer, finner du i artikkelen Divisjon.
For å øve mer, se oppgavesettet Divisjon i Treningsleieren.
Visste du at?
Primtall er byggesteinene for alle tall. Et primtall er et tall som er større enn 1 og som kun er delelig med seg selv og 1. Alle tall kan faktoriseres slik at alle faktorene er primtall. Primtall blir vanskeligere å finne jo større de blir, fordi de er lenger unna hverandre. Det største primtallet vi vet om er
og det har siffer!
Oppgave 2 (2 poeng) Nettkode: E-4BYM
Gjør om
a)
= ____
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Vi ønsker å gjøre om fra timer til minutter. Vi vet at det er minutter i én time.
h er minutter. For å finne ut hvor mange minutter h er, må vi multiplisere med . Vi setter opp multiplikasjonsstykket:
Og regner ut:
Husk at antall desimaler i resultatet skal være lik summen av antall desimaler i faktorene. Den første faktoren har desimaler, og den andre faktoren har null desimaler. Svaret skal derfor ha desimaler.
Vi summerer svarene:
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Multiplikasjon
Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".
Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.
Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.
Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12
Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).
Tidsenhet
Det grunnleggende tidsmålet er sekund. Andre tidsenheter er minutt, time og døgn.
Sammenhengen mellom tidsenhetene er ikke basert på 10-tallsystemet, slik vi er vant til fra lengde og vekt.
Flere forklaringer og eksempler på multiplikasjon med desimaltall og regning med tidsenheter, finner du i artiklene Multiplikasjon av desimaltall og 60-tallsystem.
For å øve mer, se oppgavesettene Multiplikasjon med desimaltall og Tid i Treningsleieren.
Visste du at?
Vi er vant til å regne i -tallsystemet når vi betaler for noe, forteller hvor langt vi har gått eller teller personer i klassen. Tid kan derimot regnes i -tallssystemet. Det er for eksempel sekunder i ett minutt, og minutter i en time. Det kan være uvant å tenke at en halv time er minutter, og ikke minutter eller minutter!
b)
____
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Vi skal gjøre om fra tonn til kg. Vi vet at det er i .
Vi skal gjøre om til . Vi vet at er . Da er:
Svar: .
Mer om
Denne oppgaven er om
Multiplikasjon
Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".
Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.
Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.
Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12
Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).
Vekt
Vekt er et daglig uttrykk for det vitenskapen kaller masse.
Massen måler vi med en vekt. Grunnleggende enhet er kilogram (kg).
Benevning
En bokstavkode som står etter måltallet. Eksempelvis forteller 25,2 kg, at vi har med masse å gjøre. Benevningen kg er en forkortelse for kilogram. Måltallet (25,2) forteller oss noe om mengden.
Eksempel på andre benevninger:
g, dL, h, km/h, g/cm3
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man multipliserer med desimaltall finner du i artikkelen Multiplikasjon av desimaltall.
For å øve mer, se oppgavesettene Multiplikasjon med desimaltall II og Vekt i Treningsleieren.
Visste du at?
Kilo kommer fra gresk og betyr tusen, så ett kilogram betyr ett tusen gram. Kilo brukes også om andre enheter. Hvis en mobiltelefon med kjempeliten lagringskapasitet rommer kb, rommer den tusen byte. Det er omtrent nok til å lagre avsnitt med tekst!
c)
____
Løsningsforslag c)
Jeg tenker
Vi skal gjøre om fra kubikkcentimeter () til liter. Vi vet at , og at . Vi gjør først om til kubikkdesimeter, så til liter.
Vi ser for oss at én kubikkcentimeter er en kube hvor alle sidekantene er lange. Volumet er:
er , så er . Gjør vi om til er volumet av kuben:
er det samme som . Videre rommer én en liter:
Vi regner:
Vi regner om til liter:
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Multiplikasjon
Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".
Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.
Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.
Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12
Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).
Rommål
Rommål er det samme som volum.
Se Volum
Volum
Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmeter (m3).
For forklaringer og forklaringer på volumenheter, se artikkelen Volumenheter. Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner volum, finner du i artikkelen Et rett prisme.
For å øve mer, se oppgavesettet Måleenheter i Treningsleieren.
d)
____
Løsningsforslag d)
Jeg tenker
Vi må finne ut hvor mange sekunder det er i en time, og hvor mange meter det er i en kilometer.
er , og er . Da er:
er , vi skriver det med matematiske uttrykk:
Vi må gjøre om fra til . Vi skriver som brøk, og setter inn:
Vi forkorter brøken, og får:
Vi skal gjøre om . Da må vi multiplisere med :
Svar: er .
Mer om
Denne oppgaven er om
Multiplikasjon
Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging".
Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.
Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.
Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12
Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).
Fart
Fart er tilbakelagt distanse per tidsenhet.
Fart måles ofte i km/h, som leses kilometer per time, eller m/s som leses meter per sekund.
Når noe beveger seg veldig raskt, kan det være hensiktsmessig å bruke km/s.
Flere forklaringer og eksempler på omregning av fart, finner du i artikkelen 60-tallsystem.
For å øve mer, se oppgavesettet Fart i Treningsleieren.
Visste du at?
Det raskeste som finnes er lyset. Det beveger seg i ca . Lyden beveger seg også veldig raskt, i ca (i luft). Den store forskjellen i hastighetene er grunnen til at du ofte ser et lynnedslag før du hører det. Hvis du begynner å telle sekunder når du ser lynnedslaget og multipliserer det med , vet du hvor langt unna lynet slo ned!
Oppgave 3 (1 poeng) Nettkode: E-4BYR
a)
Skriv på standardform
____
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Husk at tall på standardform er skrevet på formen der er et tall mellom og og er et heltall.
Vi skal skrive på standardform. Vi flytter komma slik at det bare er ett siffer før komma. Vi multipliserer med like mange tiere som antallet ganger vi flytter komma.
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Standardform
Et tall skrevet på formen ± a⋅10n der a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.
Eksempel:
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med tierpotenser og skriver tall på standardform, finner du i lynkurset Potenser og artikkelen Tall på standardform.
For å øve mer, se oppgavesettet Tall på standardform i Treningsleieren.
Visste du at?
Vi bruker standardform når vi behandler veldig store eller veldig små tall. Det er for eksempel enklere å skrive
enn å skrive
Når vi skal multiplisere store eller små tall er det også lurt å bruke standardform. Da kan vi bruke potensregler og trekke sammen faktorene og potensene hver for seg. For eksempel:
b)
Regn ut
____
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Vi må multiplisere ut potensene og addere tallene.
Vi skal regne ut uttrykket
Vi bruker regneregler for potenser. Den første regelen sier at alle tall opphøyd i null er lik :
Den andre regelen sier at hvis en potens er opphøyd i et tall, multipliserer vi eksponenten med det tallet:
Vi bruker den første regelen til å skrive om eksponenten til potensen til høyre:
Så bruker vi den andre regelen til å løse opp den ytterste parentesen:
Potensen har grunntallet, , multiplisert med seg selv ganger:
Svar:
Mer om:
Denne oppgaven er om
Potens
En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen , som leses x opphøyd i n-te.
Eksempel:
Eksponent
En potens er et tall på formen xn, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.
xn = x · x · x...· x, n ganger
Grunntall
En potens består av et grunntall og en eksponent.
Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med potenser og parenteser finner du i artiklene Karoline bruker potensregler og Parenteser og rekkefølgen i en utregning.
For å øve mer, se oppgavesettet Potenser i Treningsleieren.
Oppgave 4 (2 poeng) Nettkode: E-4BYU
Regn ut, og forkort brøken hvis det er mulig
a)
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
For å legge sammen brøkene, må de ha samme nevner. Vi må finne fellesnevneren og utvide brøkene før vi setter dem på fellesbrøkstrek og adderer tellerene.
Fellesnevneren er . Vi utvider brøkene vedat vi multipliserer med i både teller og nevner, og vi multipliserer med i både teller og nevner:
Vi kan nå sette begge på fellesbrøkstrek og addere dem.
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Brøk
Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.
Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.
Nevner
Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.
Eksempel : . Tallet 7 er nevneren.
Teller
Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.
Eksempel: I brøken , er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.
Fellesnevner
Brøker med ulik nevner kan utvides slik at begge brøkene får samme nevner. Denne nevneren kalles fellesnevneren til brøkene.
Eksempel: , 42 er fellesnevner for disse to brøkene.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med brøk, finner du i artikkelen Addisjon og subtraksjon med brøk.
For å øve mer, se oppgavesettet Brøkregning - fellesnevneren i Treningsleieren.
b)
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Brøkene har forskjellige nevnere. Vi må finne fellesnevner og subtrahere tellerne.
Brøkene har forskjellig nevner:
er ikke en faktor i , og er ikke en faktor i , så ingen av nevnerne kan være fellesnevner. Vi multipliserer nevnerne, og får fellesnevner . Vi multipliserer teller og nevner med samme tall for å utvide brøkene:
Vi skriver felles brøkstrek og subtraherer tellerne:
Vi kan ikke forkorte brøken videre.
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Brøk
Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.
Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.
Nevner
Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.
Eksempel : . Tallet 7 er nevneren.
Teller
Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.
Eksempel: I brøken , er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.
Fellesnevner
Brøker med ulik nevner kan utvides slik at begge brøkene får samme nevner. Denne nevneren kalles fellesnevneren til brøkene.
Eksempel: , 42 er fellesnevner for disse to brøkene.
Utvide brøk
Å utvide en brøk betyr å multipliseres teller og nevner med samme tall. Brøken beholder samme verdi.
Eksempel: er utvidet til , fordi
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner med og utvider brøk, finner du i artiklene Addisjon og subtraksjon med brøk og Forkorte og utvide brøk.
For å øve mer, se oppgavesettet Brøkregning - utvidelse i Treningsleieren.
c)
Løsningsforslag c)
Jeg tenker
Når brøker skal multipliseres, multipliserer vi teller med teller og nevner med nevner.
Vi skriver felles brøkstrek:
Vi faktoriserer teller og nevner, og forkorter bort fellesfaktorer:
Legg merke til at vi ikke hadde trengt å faktorisere .
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Faktorisering
Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.
Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3
Se også primtallsfaktorisering
Brøk
Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.
Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.
Nevner
Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.
Eksempel : . Tallet 7 er nevneren.
Teller
Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.
Eksempel: I brøken , er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.
Fellesnevner
Brøker med ulik nevner kan utvides slik at begge brøkene får samme nevner. Denne nevneren kalles fellesnevneren til brøkene.
Eksempel: , 42 er fellesnevner for disse to brøkene.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan du regner med brøk, finner du i artiklene Multiplikasjon med brøk og Forkorte og utvide brøk.
For å øve mer, se oppgavesettet Brøk - forkorting i Treningsleieren.
d)
Løsningsforslag d)
Jeg tenker
Når vi dividerer en brøk med en annen brøk, så kan vi multiplisere med den omvendte (inverse) brøken.
Vi snur brøken til høyre opp ned, og endrer divisjonstegnet til multiplikasjonstegn:
Når vi multipliserer et tall med en brøk, multipliserer vi tallet med telleren:
Vi faktoriserer teller og nevner, og forkorter bort fellesfaktorer:
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Brøk
Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.
Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.
Nevner
Tallet som står under brøkstreken i en brøk.
Nevneren forteller hvor mange like deler det hele er delt opp i.
Eksempel : . Tallet 7 er nevneren.
Teller
Tallet eller uttrykket som står over brøkstreken i en brøk.
Telleren forteller hvor mange brøkdeler som skal telles med.
Eksempel: I brøken , er det 5 som er telleren. 9 kalles nevner.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man dividerer og forkorter brøk, finner du i artiklene Divisjon med brøk og Forkorte og utvide brøk.
For å øve mer, se oppgavesettet Brøkregning - brudden brøk i Treningsleieren.
Visste du at?
Når vi dividerer med brøk, får vi et tall som er større en vi startet med. Tenk deg at speiderlederen har m tau. Hvis alle får en halv meter tau hver, har han nok tau til av speiderbarna!
Oppgave 5 (1,5 poeng) Nettkode: E-4BYZ
Løs likningene
a)
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Dette er en førstegradslikning med som ukjent. Først ønsker vi å samle alle ledd med på én side av likhetstegnet.
Vi har likningen:
Vi trekker fra på begge sider av likhetstegnet:
Vi dividerer med på begge sider av likhetstegnet:
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Ligning
En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.
Eksempel:
Ukjent
I algebra brukes bokstaver for å betegne en ukjent størrelse. En ukjent størrelse kan være et tall som skal tilfredsstille en bestemt ligning.
Eksempel: x + 7 = 16. Her er x en ukjent.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man løser likninger, finner du i artikkelen Løs en førstegradslikning!.
For å øve mer, se oppgavesettet Førstegradslikning i Treningsleieren.
b)
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Dette er en andregradslikning med som ukjent. Vi ønsker å løse opp parentesen og samle alle ledd med på én side av likehtstegnet.
Dette er en annengradslikning. Vi får bruk for første kvadratsetning:
Vi har likningen:
Vi bruker første kvadratsetning og løser opp parentesen:
er det samme som multiplisert med seg selv, altså
Vi setter det inn i likningen:
Vi trekker fra på begge sider av likhetstegnet:
Vi trekker fra på begge sider av likhetstegnet:
Vi dividerer med på begge sider av likhetstegnet:
Vi forkorter bort fellesfaktoren på høyresiden:
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Ligning
En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.
Eksempel:
Ukjent
I algebra brukes bokstaver for å betegne en ukjent størrelse. En ukjent størrelse kan være et tall som skal tilfredsstille en bestemt ligning.
Eksempel: x + 7 = 16. Her er x en ukjent.
Første kvadratsetning
Første kvadratsetning sier at
.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man bruker første kvadratsetning og løser en andregradslikning, finner du i artiklene Første kvadratsetning og Løs en andregradslikning.
For å øve mer, se oppgavesettet Kvadratsetningene og Andregradslikning i Treningsleieren.
Visste du at?
Du kan vise at første kvadratsetning stemmer. Et uttrykk opphøyd i andre betyr at det er multiplisert med seg selv:
Når to parenteser multipliseres, må alle ledd i venstre parentes multipliseres med alle ledd i høyre parentes:
er det samme som , og er det samme som , så vi kan skrive:
Da har vi første kvadratsetning! Som en øvelse kan du vise at andre kvadratsetning stemmer:
Oppgave 6 (0,5 poeng) Nettkode: E-4BZ2
Mads tjener kroner per time. Hvis han jobber om kvelden, får han et tillegg i lønnen på .
Hvor mye tjener Mads hvis han jobber timer om kvelden?
- kroner
- kroner
- kroner
- kroner
Løsningsforslag
Jeg tenker
Vi må finne ut hva timeslønnen er når han får tillegg, og multiplisere den med antall timer han jobber.
Vi viser her to måter å løse oppgaven på - se også alternativ løsning.
Mads får et tillegg til lønnen på . Det betyr at han totalt får av lønnen. er det samme som av en hel. Vi kan altså multiplisere timeslønnen med for å finne ut hva han tjener i timen med tillegget:
Vi multipliserer timeslønnen med for å finne ut hvor mye han får betalt:
Svar: Mads tjener kr (alternativ ).
Alternativ løsning
Vi vil finne ut hva er av . Vi starter med å finne av , så multipliserer vi det med . For å finne dividerer vi med :
Å dividere på er det samme som å flytte komma to ganger to ganger til venstre.
Vi multipliserer med :
Vi setter opp multiplikasjonsstykket:
Husk at resultatet skal ha like mange desimaler som summen av antallet desimaler i faktorene.
av er . Den totale timeslønnen om kvelden er:
Mads jobber i timer, da tjener han:
Vi setter opp multiplikasjonsstykket:
Mads tjener:
Mer om
Denne oppgaven er om Prosent betyr hundredel og skrives %. Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? . Å multiplisere er det samme som gjentatt addisjon, ofte kalt "ganging". Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i. Prosent
Multiplikasjon
Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.
Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12
Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).
Flere forklaringer og eksempler på prosent, finner du i artikkelen Prosent av hva da?.
For å øve mer, se oppgavesettet Prosentregning i Treningsleieren.
Oppgave 7 (1,5 poeng) Nettkode: E-4BZ3
Skriv så enkelt som mulig
a)
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Vi ser etter faktorer som er like i telleren og nevneren. Vi må faktorisere teller og nevner og forkorte fellesfaktorer.
Vi skal forenkle uttrykket
Husk at en potens er grunntallet multiplisert med seg selv så mange ganger som eksponenten viser. For eksempel:
Vi faktoriserer teller og nevner:
Vi forkorter fellesfaktorer:
Svar: Vi forenkler til .
Mer om
Denne oppgaven er om forkorte
Brøk
Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.
Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.
Faktorisering
Å faktorisere et tall betyr å skrive tallet som et produkt av to eller flere tall.
Eksempel: 36 = 2 · 18, 36 = 6 · 6, 36 = 2 · 2 · 3 · 3
Se også primtallsfaktorisering
Potens
En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen , som leses x opphøyd i n-te.
Eksempel:
Eksponent
En potens er et tall på formen xn, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.
xn = x · x · x...· x, n ganger
Grunntall
En potens består av et grunntall og en eksponent.
Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man forkorter brøk finner du i artikkelen Forkorte og utvide brøk, og regneregler for potenser, finner du i artikkelen Potenser med samme grunntall.
For å øve mer, se oppgavesettet Forenkling av uttrykk i Treningsleieren.
b)
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Når vi dividerer en brøk med en annen brøk, multipliserer vi den med den omvendte (inverste) brøken).
Vi ønsker å forenkle uttrykket
Vi multipliserer brøken med den inverse andre brøken:
Når to brøker multipliseres, multipliserer vi teller med teller og nevner med nevner:
Vi trekker ut fellesfaktoren:
Og setter det inn i uttrykket:
Vi kan fortkorte fellesfaktoren :
(Herfra kan du bruke den alternative løsningen som står lenger ned!) Vi faktoriserer teller og nevner, og fortkorter fellesfaktorer:
Svar: Vi forenkler til .
Alternativ løsning
Vi kan bruke potensregelen for potenser med samme grunntall:
Vi bruker potensregelen for å forkorte:
Mer om
Denne oppgaven er om
Brøk
Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.
Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.
Algebra
Algebra er den delen av matematikken som handler om strukturer, relasjoner og kvantiteter. I skolen er algebra ofte brukt som betegnelse på regning med bokstavuttrykk og ligninger.
Et algebrauttrykk kan være:
n + n + n + n + n = 5n
Her har vi lagt sammen n til sammen 5 ganger.
Grunntall
En potens består av et grunntall og en eksponent.
Eksempel: 4 · 4 · 4 kan skrives som 4³ , der 4 er grunntall og 3 er eksponent.
Eksponent
En potens er et tall på formen xn, der verdien til n forteller hvor mange ganger vi ønsker å multiplisere x med seg selv. n kalles eksponenten.
xn = x · x · x...· x, n ganger
Potens
En potens består av et grunntall opphøyd i en eksponent. Eksponenten sier hvor mange ganger grunntallet skal multipliseres med seg selv. En potens skrives på formen , som leses x opphøyd i n-te.
Eksempel:
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man snur og forkorter brøk finner du i artiklene Divisjon med brøk og Forkorte og utvide brøk, og regneregler for potenser finner du i artikkelen Potenser med samme grunntall.
For å øve mer, se oppgavesettet Forenkling av uttrykk II i Treningsleieren.
Oppgave 8 (1,5 poeng) Nettkode: E-4BZ8
I en eske ligger det to grå kuler og tre røde kuler.
a)
Bestem sannsynligheten for at du trekker tilfeldig én rød kule.
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Vi trekker tilfeldig én rød kule fra en eske med kuler. Sannsynligheten er forholdet mellom antall gunstige utfall og antall mulige utfall.
Formelen for sannsynlighet er:
Gunstige utfall er utfall vi ønsker.
Det er 5 kuler i esken. er grå og er røde. Vi bruker formelen for sannsynlighet og finner sannsynligheten for å trekke en rød kule:
Svar: Sannsynligheten for å trekke en rød kule er .
Alternativ løsning
Sannsynligheten for å trekke hver kule er:
Vi har røde kuler, så sannsynligheten for å trekke en rød kule er:
Brøkene har fellesnevner, så vi kan skrive felles brøkstrek og trekke sammen tellerne:
Mer om
Denne oppgaven er om
Sannsynlighet
Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.
Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.
Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.
Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.
Utfall
Mulig resultat av en hendelse.
Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks. Du kaster en mynt og får kron. Kron er utfallet.
Gunstig utfall
Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.
Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.
Se Hendelse
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner sannsynligheten, finner du i artikkelen Hvordan finner vi sannsynligheten?.
For å øve mer, se oppgavesettet Sannsynlighetsregning i Treningsleieren.
b)
Du legger kulen tilbake i esken.
Bestem sannsynligheten for at du trekker tilfeldig to røde kuler når den første kulen ikke legges tilbake i esken før du trekker den andre kulen.
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Vi vil finne sannsynligheten for å trekke to røde kuler når vi ikke legger tilbake den første. Vi må finne sannsynligheten for å trekke rød den første gangen, og sannsynligheten for å trekke rød den andre gangen, og multiplisere dem.
Første gang du trekker en kule, er sannsynligheten for å trekke en rød kule
Når du har trukket en rød kule, er det kuler igjen i esken. Av disse er røde. Sannsynligheten for å trekke en rød kule er nå:
Sannsynligheten for å trekke to røde kuler er produktet av disse sannsynlighetene:
Svar: Sannsynligheten for å trekke to røde kuler er .
Mer om
Denne oppgaven er om
Sannsynlighet
Sannsynligheten for noe forteller hvor sikkert eller usikkert det er at en hendelse skal skje.
En sannsynlighet er minst 0 og maks 1.
Sannsynlighet 0 betyr at en hendelse helt sikkert ikke skjer.
Sannsynlighet 1 betyr at en hendelse helt sikkert skjer.
Når du kaster mynt og kron, er sannsynligheten for å få mynt 0,5 og kron 0,5.
Sannsynligheten for å få mynt eller kron er 1.
Utfall
Mulig resultat av en hendelse.
Eksempel: Du kaster en terning og får seks øyne. Utfallet er seks. Du kaster en mynt og får kron. Kron er utfallet.
Gunstig utfall
Et gunstig utfall er den hendelsen som er interessant for oss.
Eksempel: Vi skal finne sannsynligheten for å få terningkast 1 eller 6. Av de seks mulige utfallene er 1 og 6 gunstige utfall.
Se Hendelse
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner sannsynlighet når man trekker flere ganger, finner du i artikkelen Med eller uten tilbakelegging.
For å øve mer, se oppgavesettet Med og uten tilbakelegging i Treningsleieren.
Visste du at?
I sannsynlighetsregning er det to regler vi bruker mest: multiplikasjonsregelen og addisjonsregelen. Vi bruker multiplikasjonsregelen når vi ønsker å finne ut hvor stor sannsynlighet det er for at hendelser skjer etter hverandre. Så lenge hendelesene er uavhengige av hverandre, er sannsynligheten for at flere bestemte hendelser inntreffer etter hverandre lik produktet av sannsynlighetene for hver enkel hendelse. Et eksempel er sannsynligheten for at du kaster en toer når du kaster en terning, og så kaster enda en toer:
Addisjonsregelen bruker vi for hendelser som kan ha ulike kombinasjoner. Den sier at sannsynligheten for en kombinert hendelse kan regnes ut ved å legge sammen sannsynligheter for hver enkelt kombinasjon som kan lede til denne hendelsen. Et eksempel er sannsynligheten for at vi får én firer og én treer når vi kasteren terning to ganger. Vi kan enten få en firer så en treer, eller en treer så en firer:
Oppgave 9 (1 poeng) Nettkode: E-4BZC
Hva koster ett skolebrød, og hva koster én vannflaske?
Løsningsforslag
Jeg tenker
Vi ønsker å finne ut hva én vannflaske og hva ett skolebrød koster. Vi setter opp et likningssett med to ukjente og , og løser det.
Først leser vi teksten nøye, og skriver det vi vet:
Vi kaller prisen av ett skolebrød , og prisen av én vannflaske . Vi setter opp likningene:
Vi bruker innsettingsmetoden for å løse likningssettet. Da skriver vi om likning slik at vi får et uttrykk for :
Vi setter inn uttrykket for i likning :
Vi multipliserer med på begge sider av likhetstegnet, slik at vi får positive fortegn:
Vi dividerer med på begge sider av likhetstegnet:
Vi setter inn for i likning :
Svar: En skolebolle koster kr og en vannflaske koster kr.
Alternativ løsning
Denne oppgaven kan også løses ved addisjonsmetoden. Vi subtraherer likning II fra likning I:
Vi dividerer med på begge sider av likhetstegnet:
En vannflaske koster kr. Vi setter inn for i likning II:
Vi subtraherer på begge sider av likhetstegnet:
Vi dividerer med på bege sider av likhetstegnet:
En skolebolle koster kr.
Mer om
Denne oppgaven er om
Ligningssett
Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.
Ligning
En ligning er et åpent utsagn med en eller flere ukjent størrelser. Vi bruker som oftest x som den ukjente, men alle bokstaver kan brukes for å navngi den ukjente.
Eksempel:
Ukjent
I algebra brukes bokstaver for å betegne en ukjent størrelse. En ukjent størrelse kan være et tall som skal tilfredsstille en bestemt ligning.
Eksempel: x + 7 = 16. Her er x en ukjent.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man setter opp og løser likningssystemer, finner du i artikkelen Likningssystemer.
For å øve mer, se oppgavesettet Likningssystem i Treningsleieren.
Oppgave 10 (0,5 poeng) Nettkode: E-4BZE
På et kart er avstanden mellom to byer . I virkeligheten er avstanden (i luftlinje) mellom byene .
Målestokken på kartet er
Løsningsforslag
Jeg tenker
Målestokk sier hvor mye lenger avstander er i virkeligheten enn på kartet. For eksempel betyr målestokk at på kartet er i virkeligheten.
Vi ønsker å finne målestokken på kartet.
Vi vet at avstanden mellom byene er i virkeligheten, og at avstanden er på kartet. Først konverterer vi til .
Vi vet at er , og at er .
Da er det samme som .
Vi konverterer:
på kartet er i virkeligheten. Målestokken er:
Vi trekker ut fellesfaktoren , og får:
Målestokken er .
Svar: Målestokken er (alternativ 4).
Mer om
Denne oppgaven er om
Målestokk
Målestokken angir hva en måleenhet på for eksempel kartet svarer til i terrenget.
Eksempel:
Et kart har målestokken 1 : 25000 (leses: en til tjuefemtusen)
Dette betyr for eksempel at:
- | 1 cm på kartet tilsvarer 25000 cm i terrenget (25000 cm = 250 m) |
- | 1 dm på kartet tilsvarer 25000 dm i terrenget |
- | 4 cm på kartet er 25000 · 4 cm i terrenget (25000 · 4 cm = 100000 cm = 1000m = 1 km). |
Eller mer generelt:
1 bestemt måleenhet på kartet er 25000 slike måleenheter i terrenget.
Flere forklaringer og eksempler finner du i artikkelen Målestokk.
For å øve mer, se oppgavesettet Målestokk i Treningsleieren.
Oppgave 11 (0,5 poeng) Nettkode: E-4BZG
Et basseng fylles med vann på .
Hvor lang tid tar det å fylle vann i bassenget?
Løsningsforslag
Jeg tenker
Vi vet at det tar å fylle bassenget med vann. Vi skal ha vann, altså mer. Vi multipliserer tiden det tar å fylle med , og gjør om til timer.
Det tar å fylle vann. For å fylle vann tar:
I time er det . Vi dividerer med . Herfra kan du bruke den alternative løsningen!
Vi regner ut divisjonsstykket:
Vi får timer, med min som rest.
Svar: Det tar (alternativ 4).
Alternativ løsning
For å få et enklere divisjonsstykke skriver vi stykket som en brøk og forkorter fellesfaktorer:
Vi dividerer:
Svaret blir timer, med som rest. Vi vil finne resten i minutter. Vi subtraherer timer fra :
Resten er . Vi adderer og får:
Mer om
Denne oppgaven er om
Tidsenhet
Det grunnleggende tidsmålet er sekund. Andre tidsenheter er minutt, time og døgn.
Sammenhengen mellom tidsenhetene er ikke basert på 10-tallsystemet, slik vi er vant til fra lengde og vekt.
For forklaringer og eksempler på hastighet og divisjon, se artiklene 60-tallsystem, Målingsforhold og Divisjon.
For å øve mer, se oppgavesettet Fart og tid i Treningsleieren.
Oppgave 12 (1,5 poeng) Nettkode: E-4BZJ
Vi beregner skostørrelse etter denne formelen:
- er skostørrelse
- er fotlengde ()
Håkons fot er lang.
a)
Hvilken skostørrelse bruker han?
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Vi setter fotlengden til Håkon inn i formelen for skostørrelse.
Vi har formelen
Håkons fot er lang. Vi setter inn for i formelen:
Svar: Håkon bruker skostørrelse .
Mer om
Denne oppgaven er om
Formel
En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.
Eksempel: , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.
Brøk
Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.
Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.
Flere forklaringer og eksempler på formler og funksjoner, finner du i lynkurset Funksjoner.
For å øve mer, se oppgavesettet Lineære funksjoner i Treningsleieren.
b)
Kathrine bruker skostørrelse .
Hvor lange er føttene hennes?
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Vi vet nå skostørrelsen til Kathrine, altså . Vi vil vite hva lengden på føttene er. Enten sett inn og regn ut, eller først skriv om formelen slik at vi får alene på venstresiden av likhetstegnet.
Vi viser først hvordan vi kan skrive om formelen. I den alternative løsningen finner du den første metoden beskrevet.
Vi skriver om formelen for skostørrelse slik at det står er lik:
Vi multipliserer med på begge sider av likhetstegnet:
Vi subtraherer på begge sider av likhetstegnet:
Vi bytter plass på uttrykkene slik at vi har på venstresiden. Så dividerer vi med på begge sider av likhetstegnet:
Vi setter inn for skostørrelsen :
Svar: Føttene til Kathrine er cm lange.
Alternativ løsning
Vi setter inn for skostørrelsen i formelen
Vi løser likningen for . Først multipliserer vi med på begge sider av likhetstegnet:
Vi trekker fra på begge sider av likhetstegnet:
Vi bytter plass på uttrykkene og dividerer med på begge sider av likhetstegnet:
Mer om
Denne oppgaven er om
Formel
En formel i matematikk er en måte å uttrykke sammenhenger på, skrevet i et symbolsk språk.
Eksempel: , er en formel for flateinnholdet av en sirkel med radius r.
Ukjent
I algebra brukes bokstaver for å betegne en ukjent størrelse. En ukjent størrelse kan være et tall som skal tilfredsstille en bestemt ligning.
Eksempel: x + 7 = 16. Her er x en ukjent.
Flere forklaringer og eksempler på regning med bokstaver, finner du i artikkelen Regnereglene.
For å øve mer, se oppgavesettet Algebra I i Treningsleieren.
Oppgave 13 (2,5 poeng) Nettkode: E-4BZN
a)
Fyll ut det som mangler i verditabellen for funksjonene og gitt ved
og
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Vi ønsker å fylle ut verditabellene. Vi må sette -verdiene inn i funksjonene for å finne verdiene til og . Koordinatene til punktene er verdiparene og .
Vi starter med funksjonen :
Vi skal finne for -verdiene , , og . er allerede regnet ut, så vi setter inn for i funksjonen:
Koordinatene til punktet er . Vi gjør det samme for lik og , og setter det inn i tabellen:
Nå ser vi på funksjonen :
Vi skal finne for -verdiene , , , og . Vi starter med . Vi setter inn for i funksjonen:
Koordinatene til punktet er . Vi regner ut verdiene for også:
Koordinatene til punktet er . Vi gjør det samme for de andre -verdiene og fullfører tabellen:
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Funksjon
En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).
Eksempel: For funksjonen , vil alltid gi
Koordinat
Koordinatene til et punkt måles langs aksene i et koordinatsystem og forteller nøyaktig hvor vi finner punktet.
Eksempel: I punktet (1,3) er 1 førstekoordinat og 3 er andrekoordinat.
Se Koordinatsystem
Verditabell
En tabell med verdier av en variabel, for eksempel , og tilhørende funksjonsverdier, for eksempel , kalles for en verditabell.
Verditabellen gir oss oversikt over verdier som hører sammen. Den hjelper oss enten med å finne punkter som ligger på grafen til en funksjon eller funksjonsuttrykket til en graf.
Lineære funksjoner
Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan du lager en verditabell, finner du i artikkelen Fra funksjon til graf.
For å øve mer, se oppgavesette Lineære funksjoner i Treningsleieren.
b)
Tegn grafene til f og g i koordinatsystemet nedenfor.
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
er en linear funksjon, og er en omvendt proporsjonal funksjon.
Vi tegner grafene ved å tegne punktene vi fikk fra verditabellen, og tegne en linje som kobler punktene.
Mer om
Denne oppgaven er om
Graf
En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.
Funksjon
En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).
Eksempel: For funksjonen , vil alltid gi
Stigningstall
Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.
Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.
Flere forklaringer og eksempler på lineære og omvendt proporsjonale grafer finner du i artiklene Rette linjer og Proporsjonalitet. For forklaringer på hvordan du tegner en graf, se artikkelen Fra en funksjon til en graf.
For å øve mer, se oppgavesettet Grafisk fremstilling i Treningsleieren.
c)
Skjæringspunktet mellom grafene til og er (____,____)
Løsningsforslag c)
Jeg tenker
Skjæringspunktet mellom to grafer er punktet der linjene krysser hverandre.
Vi kan finne skjæringspunktet ved å lese av grafene. Grafene krysser hverandre i punktet og dette er skjæringspunktet.
Vi kan også se på verditabellene. I begge verditabellene er punktet og dette er skjæringspunktet.
Svar: Skjæringspunktet er punktet .
Mer om
Denne oppgaven er om
Ligningssett
Et ligningssett er to eller flere ligninger med to eller flere ukjente.
Funksjon
En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).
Eksempel: For funksjonen , vil alltid gi
Graf
En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.
Skjæringspunkt
Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.
For forklaringer og eksempler på skjæringspunkter, se artikkelen Grafisk løsning av likninger.
For å øve mer, se oppgavesettet Grafisk fremstilling II i Treningsleieren.
Visste du at?
Vi kan se på funksjonene og som et likningssett med to ukjente:
Skjæringspunktet mellom grafene er løsningen til likningssettet. Fordi skjæringspunktet i denne oppgaven er , er løsningen av likningssettet og . Som en øvelse kan du løse likningssettet ved regning!
Oppgave 14 (3 poeng) Nettkode: E-4BZT
Konstruer der .
En sirkel går gjennom punktene i . Sentrum i sirkelen er punktet der midtnormalene på de tre sidene i skjærer hverandre.
Konstruer sentrum og slå sirkelen om . Konstruer en tangent til sirkelen i .
Ta med hjelpefigur og en kort konstruksjonsforklaring.
Løsningsforslag
Jeg tenker
I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene like store. Vinklene er . En tangent til en sirkel i et punkt er en linje som går gjennom punktet, men bare rører kurven akkurat i punktet.
Hjelpefigur:
Konstruksjonsforklaring:
-
Markerer et punkt på en linje. Markerer et punkt på linjen som ligger unna.
-
Konstruerer i .
-
Markerer punkt som ligger unna på vinkelbeinet.
-
Trekk linjen .
-
Konstruerer midtnormalene på alle tre linjer.
-
Markerer punktet der midtnormalene møtes.
-
Slår sirkelen om .
-
Konstruerer på i . Dette er tangenten i til sirkelen i .
Her ser du skritt for skritt hvordan figuren er konstruert. I din eksamensbesvarelse vil du vise alle trinnene i en og samme figur. Sett passerspissen i det blå krysset, slå de lilla linjene med passeren og trekk de gule linjene med blyant og linjal.
1. Vi setter av et punkt som ligger cm fra .
2. Vi konstruerer i punktet .
3. Vi trekker linjen mellom punktene og .
4. Vi konstruerer midtnormalen mellom punktene og .
5. Vi konstruerer midtnormalen mellom punktene og .
6. Vi konstruerer midtnormalen mellom punktene og .
7. Vi markerer punktet der midtnormalene møter hverandre.
8. Vi konstruerer sirkelen med sentrum i punktet , som går igjennom punktene , og .
9. Vi konstruerer på siden .
10. Da er vi ferdig.
Mer om
Denne oppgaven er om
Trekant
En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.
Vinkel
En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.
Vinkelsum
Summen av alle vinklene i en mangekant.
Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader og vinkelsummen i en firkant er alltid 360 grader.
For forklaringer og eksempler på likesidede trekanter, se artikkelen Trekant og firkant, og for konstruksjon, se artikkelen Konstruksjon av figurer.
For å øve mer, se oppgavesettet Konstruksjoner i Treningsleieren.
Oppgave 15 (2 poeng) Nettkode: E-4BZX
På skissen er (formlike).
En rett linje går gjennom punktene , og .
a)
Regn ut .
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Trekanten er en rettvinklet trekant. Vi kan bruke Pytagoras læresetning for å finne den ukjente siden.
Vi kan bruke pytagoras læresetning for å finne siden (hypotenusen). Pytagoras læresetning er:
Vi vet at og at . Vi setter det inn i formelen:
Så er lik . Vi må ta kvadratroten på begge sider for å finne siden . Vi vet at:
er kvadratroten til . Vi setter det inn i uttrykket:
Svar: Siden AB er lang.
Mer om
Denne oppgaven er om rettvinklet
Trekant
En trekant er en todimensjonal figur med tre hjørner og tre sidekanter.
Pytagoras læresetning
Pytagoras læresetning sier at:
Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.
Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen :
Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.
Kvadratrot
Kvadratrot har symbolet .
Kvadratroten av et tall a er et tall b, som multiplisert med seg selv gir a.
Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er 4, fordi . Det skrives .
Flere forklaringer og eksempler på Pytagoras' setning, se artikkelen Pytagoras' setning, og på hvordan finne kvadratroten av et tall, se artikkelen Kvadratrøtter.
For å øve mer, se oppgavesettet Pytagoras' læresetning i Treningsleieren.
b)
Regn ut .
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Trekantene på figuren er formlike. Det betyr at de har parvis like store vinkler, og at forholdet mellom samsvarende sider er det samme. Vi vil finne siden , og vet hva er. Vi bruker det vi vet om trekanten og formlikhet.
I formlike trekanter er forholdene mellom de samsvarende sidene det samme. Forholdet mellom katetene i trekantene er:
Vi skriver om formelen slik at det står er lik. Da multipliserer vi med på begge sider av likhetstegnet:
Vi vet at , og . Vi setter inn tallene i uttrykket:
Vi forkorter:
Svar: Siden BE er .
Mer om
Denne oppgaven er om
Formlike trekanter
To trekanter er formlike hvis de har parvis like store vinkler.
Eksempel: , det leses trekant ABC er formlik med trekant DBE.
Katet
Side i en rettvinklet trekant. Den rette vinkelen dannes av to linjestykker som kalles kateter.
Hypotenus
Den siden som er motstående til den rette vinkelen i en rettvinklet trekant. De andre to sidene kalles kateter.
Flere forklaringer og eksempler på formlikhet og forhold mellom sider, finner du i artikkelen Formlikhet og kongruens.
For å øve mer, se oppgavesettet Formlikhet og kongruens i Treningsleieren.
Visste du at?
Forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet til en vinkel i en rettvinklet trekant kaller vi tangens av vinkelen. Tangens forkortes til og vi kaller vinkelen :
Fordi vinklene og er like, er tangens av disse vinklene like. Vi kunne derfor brukt tangens for å finne den ukjente siden i denne oppgaven.
Oppgave 16 (1 poeng) Nettkode: E-4C03
Et stort kvadrat består av to mindre kvadrater og to rektangler.
Skriv et uttrykk for arealet til det store kvadratet .
Løsningsforslag
Jeg tenker
Vi ser av figuren at det store kvadratet består av flere mindre kvadrater og rektangler. Arealet av det store kvadratet er derfor det samme som å legge sammen arealene til de mindre kvadratene og rektanglene.
Formelen for arealet av et kvadrat med sider er:
Formlen for arealet til et rektangel med sider og er:
Vi kan finne arealet til de to kvadratene og rektanglene, og summere dem for å finne arealet av kvadratet .
Vi starter med det hvite kvadratet. Kvadratet har sidelengde . Vi bruker formelen for kvadratet for å finne arealet:
Så finner vi arealet av det blå kvadratet. Det har sidelengde . Vi bruker formelen for kvadratet:
Vi kan bruke andre kvadratsetning for å multiplisere ut parentesen. Andre kvadratsetning er:
Da får vi at:
Nå finner vi arealet av rektanglene. Rektanglene er like store, så vi kan finne arealet av det ene og multiplisere det med to. Rektangelet har sider og . Vi bruker formelen for arealet av et rektangel for å finne arealet:
Når vi multipliserer et tall med en parentes, multipliserer vi tallet med alle ledd i parentesen:
Vi har to rektangler. Tilsammen har de areal:
For å finne arealet av det store kvadratet legger vi sammen arealene:
Du kjenner kanskje igjen denne formen? Vi kan bruke første kvadratsetning:
I resultatet vårt er lik , og vi kan skrive svaret slik:
Svar: Arealet av kvadratet er .
Alternativ løsning
Sidene i kvadratet er:
Vi setter inn i formelen for areal for et kvadrat med side , :
Mer om
Denne oppgaven er om
Areal
Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m2, dm2 og cm2.
Kvadrat
En firkant der alle sider er like lange og alle vinkler 90°.
Rektangel
Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.
Areal:
Omkrets:
Andre kvadratsetning
Andre kvadratsetning sier at
.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man bruker kvadratsetningene, finner du i artikkelen Kvadratsetningene, og om areal i artiklene Et kvadrat og Et rektangel.
For å øve mer, se oppgavesettet Areal i Treningsleieren.
DEL 2 Med hjelpemidler
Oppgave 1 (4 poeng) Nettkode: E-4C07
Anne (18 år), Eva (15 år) og Charles (14 år) går sammen til Badeland. Alle kjøper enkeltbillett.
a)
Hvor mye må Anne, Eva og Charles betale til sammen?
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
I spørsmålet står det til sammen. Dette betyr at vi må legge sammen prisene av enkeltbillettene.
Les teksten nøye. Anne er over år, så hun betaler voksenbillett. Eva og Charles er mellom år, og begge betaler ungdomsbillett. Tilsammen må de betale for en voksenbillett og to ungdomsbilletter:
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Addisjon
Er det samme som å legge til, legge sammen eller plusse sammen.
Regneoperasjonen 5 + 7 = 12 kalles en addisjon.
Tallene 5 og 7 kalles ledd, og resultatet, 12, kalles en sum.
Mellom leddene skrives plusstegn +.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man adderer, finner du i artikkelen Addisjon.
For å øve mer, se oppgavesettet Addisjon i Treningsleieren.
b)
For å spare penger vil Anne kjøpe klippekort.
Regn ut hvor mange prosent Anne sparer dersom hun kjøper klippekort ( klipp) i stedet for enkeltbilletter.
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Hvor mye Anne sparer, er samme som differansen mellom prisen på for et klippekort og enkeltbilletter. For å finne ut hvor mange prosent hun sparer, gjør vi om differansen fra kroner til prosent.
Anne er over år, så hun betaler voksenbillett. Et klippekort med klipp koster .
enkeltbilletter koster:
Herfra kan du bruke den alternative løsningen!
Nå vil vi finne hvor mange prosent er av . Da dividerer vi med , og multipliserer med :
Vi runder av til . kr er av kr.
For å finne ut hvor mye hun sparer må vi trekke fra :
Svar: Anne sparer .
Alternativ løsning
Vi finner ut hvor mye Anne sparer i kr hvis hun kjøper klippekort:
Anne sparer kr. Vi skal finne ut hvor mye dette er i prosent. Vi dividerer med og multipliserer med :
Anne sparer når hun kjøper klippekort.
Mer om
Denne oppgaven er om
Prosent
Prosent betyr hundredel og skrives %.
Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? .
Flere forklaringer og eksempler på prosent, finner du i artiklene Prosent av hva da? og Når kan vi legge sammen prosenttall?.
For å øve mer, se oppgavesettet Prosentregning i Treningsleieren.
Visste du at?
Når vi skal finne ut hvor mye Anne sparer, må vi først finne forskjellen i de to prisene. Så kan det være vanskelig å vite om vi skal finne prosent av den største eller minste prisen. Dersom vi vil vite hvor mye Anne sparer må vi ta prosent av den høyeste prisen. Dersom vi vil vite hvor mye mer hun betaler må vi finne prosent av den laveste prisen.
c)
I løpet av et år kjøpte Charles ett klippekort med klipp og ett klippekort med klipp. I tillegg kjøpte han enkeltbilletter.
Regn ut hva Charles betalte i gjennomsnitt hver gang han var i svømmehallen dette året.
Løsningsforslag c)
Jeg tenker
Gjennomsnitt er summen av det Charles betalte, dividert med antall ganger han var der.
Charles er år, så han kjøper ungdomsbillett. Han betalte totalt:
For å finne gjennomsnittet må vi dividere med antallet ganger Charles var i svømmehallen:
Gjennomsnittet er da
Svar: Charles betalte i gjennomsnitt kr.
Mer om
Denne oppgaven er om
Gjennomsnitt
Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.
Gjennomsnittet finner du ved å:
1) summere alle data
2) dele summen på total antall data
Eksempel: Gjennomsnittet av 2, 2, 4, 3 er 2,75 fordi
1)
2) antall data er 4.
Les mer om hvordan du regner ut gjennomsnittet av noe i artikkelen Gjennomsnitt.
For å øve mer, se oppgavesettet Gjennomsnitt i Treningsleieren.
Oppgave 2 (3 poeng) Nettkode: E-4C0C
Et svømmebasseng har baner.
a)
På hvor mange ulike måter kan svømmere stille seg opp på de banene?
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Det er svømmere og baner. Vi begynner med å se på én bane av gangen.
På den første banen kan hvilken som helst av de svømmerne stille seg:
Når en har stilt seg på den første banen, er det svømmere igjen. Hvem som helst av dem kan stille seg på plass nummer to. For hver svømmer som kan stille seg på den første plassen, kan ulike svømmere stille seg på den andre plassen. Det er
muligheter for de to første plassene.
Når vi kommer til den tredje banen, har vi seks svømmere igjen. Hvem som helst av dem kan stille seg på plassen, så vi har muligheter:
Slik fortsetter vi:
Antall muligheter er:
Svar: De kan stille seg på forskjellige måter.
Mer om
Denne oppgaven er om
Kombinatorikk
Handler om å finne antall mulige kombinasjoner i ulike sammenhenger.
Eksempel: antall måter å kombinere Lotto-tallene på, eller hvor mange ulike antrekk vi kan ha på oss dersom vi har 2 bukser og 3 skjorter.
Flere kombinasjoner og eksempler på kombinatorikk, finner du i artikkelen Kombinasjoner.
For å øve mer, se oppgavesettet Kombinatorikk i Treningsleieren.
Visste du at?
Et tall med utropstegn bak heter fakultet. For eksempel heter fire-fakultet, og er produktet av de naturlige tallene fra til :
Fakultet brukes i binomialkoeffisienten:
Binomialkoeffisienten forteller hvor mange måter vi kan velge elementer av elementer. Hvis du har en kortstokk med kort og vil trekke ut kort, kan du gjøre det på
måter! Sjansen for å få royal flush når du spiller poker er med andre ord ganske liten!
b)
Anne og Eva skal svømme og starter samtidig. Anne bruker . Eva bruker .
Med hvor mange meter vinner Anne?
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Vi vet hvor lang tid jentene har brukt på å svømme . Vi ønsker å finne ut hvor langt Eva har kommet når Anne er i mål.
Først regner vi om tidene til sekunder. er det samme som , så tiden Anne bruker er:
Anne svømmer på .
Tiden Eva bruker er:
Eva svømmer på . Fart er strekning over tid, så hennes fart er:
Etter har Anne nådd mål, hun har svømt . Da har Anne svømt:
Eva har svømt når Anne når mål. Vi finner hvor mange meter Anne vinner med ved å trekke fra :
Svar: Anne vinner med m.
Mer om
Denne oppgaven er om
Vei, fart og tid
Sammenhengen er v =s/t , der vei = s, fart = v og tid = t .
Flere forklaringer og eksempler på hvordan du kan regne om fart, finner du i artikkelen 60-tallsystem og Måleforhold.
For å øve mer, se på oppgavesettet Fart i Treningsleieren.
Oppgave 3 (6 poeng) Nettkode: E-4C0G
Oppgave 3 skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt. Ta utskrift.
I tabellen nedenfor ser du besøkstallet hos Badeland for hver måned i 2013.
a)
Lag en tilsvarende tabell i et regneark. Regn ut totalt besøkstall for 2013.
Regn ut gjennomsnittlig besøkstall per måned for 2013.
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Gjennomsnittet er summen av alle besøkstallene, dividert med antall måneder.
Totalt besøkstall er summen av besøkstallene hver måned. For å regne i ExCel trykk på cellen til høyre for Totalt besøkstall. Skriv
Og velg alle cellene med besøkstall. Klikk enter.
For å regne gjennomsnittet klikk på cellen til høyre for Gjennomsnittlig besøkstall per måned. Skriv
og klikk på det totale besøkstallet. Skriv så og klikk enter.
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Gjennomsnitt
Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.
Gjennomsnittet finner du ved å:
1) summere alle data
2) dele summen på total antall data
Eksempel: Gjennomsnittet av 2, 2, 4, 3 er 2,75 fordi
1)
2) antall data er 4.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man regner ut gjennomsnitt, finner du i artikkelen Gjennomsnitt.
For å øve mer, se oppgavesettet Gjennomsnitt i Treningsleieren.
b)
Framstill besøkstallet for hver måned i 2013 i et linjediagram.
Løsningsforslag b)
Lage linjediagram: Marker månedene og besøkstallene, og klikk på Diagram. Velg Linjediagram, og skriv inn tittel og aksetitler.
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om linjediagrammer, flere eksempler finner du i artikkelen Linjediagram.
Visste du at?
Linjediagrammer gjør det lettere å se utvikling over tid. Hvilken månad var det flest besøkende? Er det flest besøkende i sommer- eller vintermånedene? Økte antall besøkende i løpet av året? Disse spørsmålene kan vi enkelt svare på ved å se på linjediagrammet.
c)
Badeland må spare penger. Derfor skal de holde stengt hver mandag i 2014. De regner med at stengingen vil redusere besøkstallene med fra 2013 til 2014.
Lag en ny kolonne for 2014 med nye besøkstall for hver måned, totalt besøkstall og gjennomsnittlig besøkstall per måned.
Løsningsforslag c)
Jeg tenker
Vi lager en ny kolonne med nye besøkstall for hver måned, totalt besøkstall og gjennomsnittlig besøkstall per måned.
Lag en celle med . Trekk fra fra alle besøkstallene, og gjenta a..
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Gjennomsnitt
Gjennomsnitt er en middelverdi av alle dataene.
Gjennomsnittet finner du ved å:
1) summere alle data
2) dele summen på total antall data
Eksempel: Gjennomsnittet av 2, 2, 4, 3 er 2,75 fordi
1)
2) antall data er 4.
Flere forklaringer og eksempler på gjennomsnitt og linjediagram finner du i artiklene Gjennomsnitt og Linjediagram.
For å øve mer, se oppgavesettene Gjennomsnitt og Presentasjonsformer i Treningsleieren.
Oppgave 4 (7 poeng) Nettkode: E-4C0L
Overflaten i svømmebassenget i Badeland har form som et rektangel. Svømmebassenget har to ulike dybder. Mellom de to dybdene er det et skråplan med form som et rektangel.
Se skissen nedenfor.
a)
Tegn overflaten av svømmebassenget sett rett ovenfra i målestokk .
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Målestokk betyr at på tegningen er i virkeligheten.
Vi skal tegne overflaten av bassenget. Overflaten har sidelengder og . Vi vet at . Vi gjør om sidelengdene til :
Vi skal bruke målestokk , så vi dividerer sidelengdene med for å finne målene på tegningen:
Svar: Tegn et rektangel med sider og .
Mer om
Denne oppgaven er om
Målestokk
Målestokken angir hva en måleenhet på for eksempel kartet svarer til i terrenget.
Eksempel:
Et kart har målestokken 1 : 25000 (leses: en til tjuefemtusen)
Dette betyr for eksempel at:
- | 1 cm på kartet tilsvarer 25000 cm i terrenget (25000 cm = 250 m) |
- | 1 dm på kartet tilsvarer 25000 dm i terrenget |
- | 4 cm på kartet er 25000 · 4 cm i terrenget (25000 · 4 cm = 100000 cm = 1000m = 1 km). |
Eller mer generelt:
1 bestemt måleenhet på kartet er 25000 slike måleenheter i terrenget.
Rektangel
Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.
Areal:
Omkrets:
For flere forklaringer og eksempler på målestokk og forholdsregning, se artikkelen Målestokk.
For å øve mer, se oppgavesettet Målestokk i Treningsleieren.
Visste du at?
Vi kan også finne arealer i virkeligheten og på tegningen ved å bruke målestokk. Dersom på tegningen er i virkeligheten, er arealet av et kvadrat med sider på tegningen:
I virkeligheten er arealet av figuren:
Målestokken for arealene er altså:
b)
Regn ut og arealet av skråplanet .
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Vi finner høydeforskjellen mellom dybdene og bredden til området med skråplan for så å bruke Pytagoras læresetning.
Først finner vi dybdeforskjellen i bassenget:
Så finnner vi lengden av bassenget over skråplanet:
Høyden av skråplanet, lengden av skråplanet og siden danner en rettvinklet trekant. For å finne den ukjente siden kan vi bruke Pytagoras læresetning:
Katetene er høyden og lengden, og hypotenusen er . Vi kaller høyden og lengden . Vi kan skrive om likningen slik at det står er lik:
Vi tar kvadratrot på begge sider, og bytter om på plassene til uttrykkene, slik at vi får på venstre side:
Nå setter vi inn for og for :
Bredden av hele bassenget er . Arealet av skråplanet er da:
Svar: Siden
Mer om
Denne oppgaven er om
Pytagoras læresetning
Pytagoras læresetning sier at:
Arealet av kvadratet utspent av hypotenusen i en rettvinklet trekant er lik summen av arealene til kvadratene utspent av katetene.
Hvis lengden av katetene er a og b, og lengden av hypotenusen er c, har vi denne sammenhengen :
Setningen kan brukes til å finne lengden til en side i en trekant.
Rettvinklet trekant
En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er rett, altså 90 grader.
Rektangel
Et rektangel er en firkant der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.
Areal:
Omkrets:
Flere forklaringer og eksempler på hvordan du kan regne ut sidelengder finner du i artikkelen Pytagoras læresetning.
For å øve mer, se oppgavesettet Pytagoras læresetning i Treningsleieren.
c)
Vis ved regning at volumet av svømmebassenget er ca. ().
Løsningsforslag c)
Jeg tenker
Vi klarer å finne volum til en prisme og andre kjente figurer. Vi deler derfor bassenget i tre: det grunne partiet til høyre, skråpartiet i midten og det dype partiet til venstre. Summen av volumet av disse delene er volumet til bassenget.
Vi har delt bassenget i tre partier. Vi starter med det grunne partiet, som har form som et rett prisme. På figuren ser vi at dybden er , lengden er og bredden er . Formelen for volumet av et firkantet prisme er:
Vi setter inn målene:
Nå ser vi på volumet av det dype partiet. Her er lengden , bredden og dybden . Sett det inn i formelen for volumet:
For å finne volumet av skråpartiet kan vi se på det som et trapes multiplisert med bredden. Et trapes er en firkant som har to parallelle sider som kan være av forskjellig lengde. Kaller vi lengden av de to parallelle sidene og , og høyden mellom dem , er arealet:
Vi ser på figuren igjen. Trekker vi en linje fra til toppen av bassenget, og en linje fra til toppen av bassenget, ser vi at disse linjene er parallelle. Vi vet at lengdene på disse linjene er forholdsvis dybdene i det dype og det grunne bassenget, og . Fra oppgave b vet vi at avstanden mellom dem er . Vi ser på figuren som et trapes og finner arealet:
Vi multipliserer arealet med bredden av bassenget for å finne volumet:
Det totale volumet er:
Det siste likhetstegnet med en krøll betyr ’omtrent lik’.
Mer om
Denne oppgaven er om
Prisme
Et prisme er en tredimensjonal figure satt sammen av parallelle, kongruente mangekanter (som topp og bunnflate) og med sideflater som alle er parallellogrammer.
Har et prisme grunnflate G og høyde h, er volumet lik G · h.
Rommål
Rommål er det samme som volum.
Se Volum
Trapes
Firkant der to sider er parallelle.
Areal =
Areal
Areal kalles også for flatemål eller flateinnhold og angir hvor stor en flate er.
Noen måleenheter for areal er m2, dm2 og cm2.
Volum
Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmeter (m3).
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner areal, finner du i artikkelen Et trapes.
For å øve mer, se oppgavesettet Volum i Treningsleieren.
Visste du at?
Det er ikke enkelt å finne volum og areal av alle geometriske figurer. Ved å bruke integraler kan vi finne både areal og volum av de mest kompliserte figurer. Når vi regner ut et integral deler vi opp en figur eller området under en graf i mange små rektangler som vi kan finne arealet av. Arealet av hele figuren er summen av de små arealene. Tegnet for integral er . Hvis vi for eksempel skal finne arealet under grafen til funksjonen skriver vi det slik:
d)
Svømmebassenget er helt fullt av vann. Vannet i svømmebassenget skal tappes ut med per minutt.
Hvor mange centimeter har vannstanden sunket etter ?
Løsningsforslag d)
Jeg tenker
Vi ønsker å finne hvor mange cm vannstanden har sunket etter . Vi kan gjøre om fra til , og finne ut hvor mye av volumet som har rent ut.
Vi vet at rommer L. Da kan vi gjøre om fra til . er det samme som , så
L er det samme som cm. Det tappes L i minuttet. Etter min har det rent ut:
Etter har rent ut. Vi dividerer med arealet til vannoverflaten, for å finne ut hvor mye vannet har sunket, altså høyden. Vi gjør om sidene i overflaten til :
Arealet av overflaten er:
Høyden er volumet dividert med arealet:
Svar: Etter min har vannet sunket cm
Mer om
Denne oppgaven er om
Rommål
Rommål er det samme som volum.
Se Volum
Volum
Volum er et måltall som uttrykker tredimensjonal utstrekning i rommet (bredde, lengde og høyde). Volum er målt i kubikkenheter, som foreksempel kubikkcentimeter (cm3) og kubikkmeter (m3).
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner volum, finner du i artikkelen Et rett prisme.
For å øve mer, se oppgavesettet Volum i Treningsleieren.
Oppgave 5 (6 poeng) Nettkode: E-4C19
I oppgave 5 kan du spare tid og arbeid ved å bruke en datamaskin med graftegner.
Svømmebassenget i Badeland på 645 000 L skal tømmes for vann. Det tappes ut 18 000 L per time.
a)
Forklar at antall liter som er igjen i svømmebassenget etter timer, kan beskrives av funksjonen gitt ved
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Funksjonen har et konstantledd og et stigningstall.
Vi har funksjonen:
Konstantleddet forteller oss hvilken verdi starter på, når er null. I vårt tilfelle er dette når bassenget er fullt. Stigningstallet forteller oss hvor mye som tømmes hver time. Tallet er negativt, fordi vannet renner ut av bassenget.
Svar: Antall liter som er igjen, , er antall liter bassenget startet med subtrahert med antall liter som har rent ut etter timer.
Mer om
Denne oppgaven er om
Lineære funksjoner
Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.
Stigningstall
Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen.
Eksempel: Når vi øker enheten på x-aksen med 1, a1 = 1, fører det til at enheten på y-aksen: a2 = 4 - 2 = 2, øker med 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.
Flere forklaringer på de forskjellige leddene i en funksjon finner du i artikkelen Hva er en funksjon?.
For å øve mer, se oppgavesettet Lineære funksjoner i Treningsleieren.
Visste du at?
Vi kan regne ut hvilken hastighet vannet har når det renner ut av et hull. Vi antar at hullet er et kvadrat med sider . Arealet av hullet er da:
Fra funksjonen vet vi at det renner ut vann per time. er det samme som , så:
Hastigheten til vannet er volumet som renner ut på en time dividert med arealet av hullet det renner ut av:
h er det samme som , og er det samme som , så farten i meter per sekunder er:
Når vannet renner ut av bassenget gjennom et stort hull har det farten .
b)
Bestem ved regning når svømmebassenget er tomt for vann.
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Når bassenget er tomt for vann er lik null. Vi må finne hva er når er lik null.
Vi setter inn i funksjonen:
Vi har en likning med som ukjent. Vi trekker fra på begge sider av likhetstegnet:
Vi dividerer med på begge sider av likhetstegnet og forkorter:
Svar: Bassenget er tomt etter dager.
Mer om
Denne oppgaven er om
Lineære funksjoner
Lineære funksjoner er funksjoner som er skrevet på formen .
Disse funksjonene er rette linjer der a er stigningstallet og b er punktet grafen krysser y-aksen.
Lineære ligninger
Ligninger der alle de ukjente opptrer i første grad.
Eksempel:
Ukjent
I algebra brukes bokstaver for å betegne en ukjent størrelse. En ukjent størrelse kan være et tall som skal tilfredsstille en bestemt ligning.
Eksempel: x + 7 = 16. Her er x en ukjent.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan an løser likninger finner du i artikkelen Løs en førstegradslikning!.
For å øve mer, se oppgavesettet Førstegradslikninger i Treningsleieren.
c)
Tegn grafen til .
Løsningsforslag c)
Skriv kommandoen Funksjon(<funksjon>, <start>, <slutt>) der funksjonen er
og den starter på og slutter på .
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Funksjon
En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).
Eksempel: For funksjonen , vil alltid gi
Graf
En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man tegner en graf finner du i artikkelen Fra en funksjon til en graf.
For å øve mer, se oppgavesettet Grafisk fremstilling i Treningsleieren.
Visste du at?
Vi ser på grafen. Den er en rett linje, som betyr at det er en lineær graf, eller en førstegradsfunksjon. Grafen synker når vi beveger oss møt høyre langs x-aksen. Det betyr at stigningstallet er negativt. Dette gir intuitivt mening, fordi vi tømmer bassenget for vann. Vi kunne satt et annet basseng ved siden av og fylt det med vannet vi tømte ut fra det første bassenget. Da ville funksjonen for vannmengden i dette bassenget ha et positivt stigningstall. Vi ser også at grafen skjærer y-aksen i . Dette er konstantleddet, eller startverdien. Konstantleddet er mengden vann som er i bassenget før vi begynner å tømme det.
d)
Bestem grafisk når det er 285 000 L igjen i svømmebassenget.
Løsningsforslag d)
Vi skal bestemme grafisk når det er igjen i svømmebassenget. Vi tegner en linje gjennom på -aksen med kommandoen:
Vi vil finne skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen . Tiden er -verdien i dette punktet. Klikk på Skjæring mellom to objekter og velg de to grafene. Punktet du får er skjæringspunktet.
Skjæringspunktet er .
Svar: Når det er igjen har det gått timer.
Mer om
Denne oppgaven er om
Funksjon
En funksjon er en sammenheng mellom to eller flere størrelser. En funksjon tilordner til hvert element i en mengde (definisjonsmengden) ett element i en annen mengde (verdimengden).
Eksempel: For funksjonen , vil alltid gi
Graf
En graf er en tegning av en funksjon i et koordinatsystem. Inn-verdi (x) og ut-verdi (y) i funksjonen danner et tallpar. Vi tegner tallparene fra funksjonen som punkter i koordinatsystemet, og trekker en sammenhengende strek mellom punktene.
Skjæringspunkt
Der to eller flere linjer krysser hverandre, sier vi at de har et felles skjæringspunkt. I et koordinatsystem kan skjæringspunktet leses av ved å trekke en loddrett strek ned til x-aksen og en vannrett strek bort til y-aksen.
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man tegner en graf finner du i artikkelen Fra en funksjon til en graf. Eksempler på hvordan man løser likningssett finner du i artikkelen Grafisk løsning av likningssett.
For å øve mer, se oppgavesettet Grafisk fremstilling og likningssett i Treningsleieren.
Oppgave 6 (5 poeng) Nettkode: E-4C1N
Vi regner med at jorda har tilnærmet form som en kule. Jordas diameter er .
a)
Regn ut jordas radius og omkrets.
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Diameter er det dobelte av radius.
Formelen for omkrets av en sirkel kan skrives som:
og
Jordas diameter er . For å finne radius dividerer vi med :
Vi setter diameter inn i formelen for å finne omkrets:
Svar: Radius er km og omkrets er km.
Mer om
Denne oppgaven er om
Kule
Et tredimensjonalt objekt der alle punktene på overflaten har en fast avstand til sentrum i objektet. Denne avstanden fra et punkt på overflaten til sentrum kalles radius.
Radius
Radius er en rett linje fra sentrum av en sirkel eller kule og ut til sirkellinja eller kulens overflate. Radius sin lengde er den samme, uansett hvor på sirkelen eller kulen du måler.
Diameter
En rett linje som forbinder to punkter på sirkelbuen og som samtidig går gjennom sentrum.
Lengden av en diameter, d, er lik to radier, r. d=2r.
Omkrets
Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.
Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.
Flere forklaringer og eksempler på radius, diameter og omkrets, finner du i artikkelen Alt om sirkel.
For å øve mer, se oppgavesettet Omkrets i Treningsleieren.
b)
Eratosthenes beregnet jordas omkrets ut fra måling av skygger i to byer, Aleksandria og Syene. Aleksandria lå nord for Syene.
Da sola sto høyest på himmelen en dag i Aleksandria, laget solstrålene en skygge fra en loddrett søyle.
Samtidig skinte solstrålene rett ned i en loddrett brønn i byen Syene.
Eratosthenes fant at vinkelen mellom søylen og solstrålene var av 360°.
Regn ut hvor mange grader vinkelen mellom søylen og solstrålene var.
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
Vi ønsker å finne hvor mange grader vinkelen mellom søylen og solstrålene var.
Vi må dividere med for å finne en femtiendedel:
Svar:
Mer om
Denne oppgaven er om
Grader
Grader er et mål for størrelsen til en vinkel. Vi bruker symbolet °.
En vinkel på 1° tilsvarer 1/360 av en hel sirkel. En rett vinkel er 90°.
Brøk
Brøk er et rasjonalt tall der teller og nevner er hele tall. Det er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Nevneren må være forskjellig fra null.
Brøk kan sees som et tall på tallinja eller som del av en mengde.
Flere forklaringer og eksempler på vinkler finner du i artikkelen Forskjellige typer vinkler.
For å øve mer, se oppgavesettet Vinkler i Treningsleieren.
c)
Avstanden mellom Aleksandria og Syene var egyptiske stadion. .
Regn ut hvor mange kilometer det var mellom Aleksandria og Syene.
Løsningsforslag c)
Jeg tenker
Vi ønsker å finne avstanden mellom Aleksandria og Syene i . Vi må gjøre om fra stadion til .
Vi vet at avstanden mellom Aleksandria og Syene var egyptiske stadion. stadion er det samme som :
er . Da er er det samme som . stadion er:
Vi regner om stadion til :
Svar: Avstanden er
Mer om
Denne oppgaven er om
Avstand
Mål for hvor langt geometriske objekter ligger fra hverandre. For eksempel avstanden mellom to punkter.
Lengdeenhet
Måleenheten for lengde er meter med forkortelsen m. Andre lengdemål avledet av meter er: kilometer (km), desimeter (dm), centimeter (cm) og millimeter (mm).
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man multipliserer desimaltall, finner du i artikkelen Multiplikasjon av desimaltall. For forklaringer og eksempler om lengdeenheter, se artikkelen Lengdeenheter.
For å øve mer, se oppgavesettene Multiplikasjon og Måleenheter - lengde i Treningsleieren.
Visste du at?
Stadion var en lengdeenhet brukt av grekerne i antikken. Det tilsvarte greske fot. Man brukte begrepet stadion om kappløpbaner som hadde form som et rektangel, og som hadde tribuner rundt til tilskuerne. Et stadion var like langt som lengden av det gamle stadionet i Olympia i Hellas.
d)
Vi regner med at av jordas overflate er dekket med vann. Overflaten av en kule er gitt
ved formelen .
Hvor stort er arealet av jordas overflate som er dekket med vann?
Oppgi svaret ditt på standardform.
Løsningsforslag d)
Jeg tenker
Vi har fått oppgitt formelen for overflaten av en kule. Vi ønsker å finne ut hvor stor overflaten av jorda er, og hvor mye som er dekket av vann.
Formelen for overflaten av en kule med radius er:
Radius til jorda er . Vi setter det inn i formelen og finner overflaten:
av overflaten er dekket med vann. Vi starter med å finne av overflaten. Det gjør vi ved å dividere med :
Vi multipliserer med for å finne :
Vi skal oppgi svaret på standardform. Å skrive et tall på standardform betyr å skrive det som produktet av et tall mellom og , og en tierpotens.
Svar: Arealet av jorda som er dekket av vann er ca .
Mer om
Denne oppgaven er om
Standardform
Et tall skrevet på formen ± a⋅10n der a er et tall mellom 1 og 10 og n er et heltall.
Eksempel:
Kule
Et tredimensjonalt objekt der alle punktene på overflaten har en fast avstand til sentrum i objektet. Denne avstanden fra et punkt på overflaten til sentrum kalles radius.
Prosent
Prosent betyr hundredel og skrives %.
Eksempel: Hvor mange prosent er 1 av 4? .
Flere forklaringer og eksempler på hvordan man finner overflaten av en kule finner du i artikkelen En kule, og mer om standardform finner du i artikkelen Tall på standardform.
For å øve mer, se oppgavesettene Overflate, Prosentregning og Tall på standardform i Treningsleieren.
Visste du at?
Eratosthenes sies å ha oppfunnet geografi, inkludert terminologien vi bruker idag. Man tror han klarte å regne ut avstanden mellom jorda og sola, og at han oppfant skuddagen. Eratosthenes beregnet omkretsen til jorda slik som du gjør i disse oppgavene. Han visste at solen stod rett over Syene i midtsommeren i Egypt fordi han var blitt fortalt at skyggen til noen som så ned i en dyp brønn i Syene ville blokkere solen på bunnen av brønnen!
Oppgave 7 (3 poeng) Nettkode: E-4C1X
Nedenfor ser du en skisse som viser solstrålene, søylen i Aleksandria, brønnen i Syene, avstanden mellom Aleksandria og Syene og jordas radius og sentrum.
Siden sola er så langt borte, antar vi at alle solstrålene som treffer jorda, er parallelle.
a)
Begrunn hvorfor .
Løsningsforslag a)
Jeg tenker
Alle solstrålene som treffer jorda er parallelle med hverandre. De er også parallelle med linjen mellom jordas sentrum og brønnen i Syene.
Solstrålen som danner vinkel med søylen i Aleksandria, er parallell med linjen mellom jordas sentrum og brønnen i Syene. Vinklene og deler et vinkelbein, nemlig linjen mellom jordas sentrum og søylen i Aleksandria. Vinklene og er derfor samsvarende vinkler. Det betyr at .
Mer om
Denne oppgaven er om
Samsvarende vinkler
To vinkler som enten har venstre vinkelben eller høyre vinkelben felles. Samsvarende vinkler behøver ikke være like store.
Eksempel: ∠a og ∠b er samsvarende vinkler, fordi de har høyre vinkelben felles.
Flere forklaringer og eksempler på samsvarende vinkler finner du i artikkelen Forskjellige typer vinkler.
For å øve mer, se oppgavesettet Vinkler i Treningsleieren.
Visste du at?
I denne oppgaven antar vi at lysstrålene fra solen er parallelle og rette mellom jorda i sola. I virkeligheten vil gravitasjonen til jorda bøye lysstrålene litt! Denne effekten heter linsing. Det er grunnen til at man kan se noen himmellegemer som ligger bak andre himmellegemer. Store galakser og stjerner med stor masse bøyer lyset, og kan få det til å se ut som det er flere legemer enn det faktisk er.
b)
Eratosthenes kom fram til at jordas omkrets var stadion ().
Vis dette ved regning.
Løsningsforslag b)
Jeg tenker
er en hel runde rundt en sirkel. Vi vet at avstanden mellom søylen i Aleksandria og brønnen i Syene er stadion. Vi vil finne ut hvor stor vinkelen mellom disse to stedene er, for å finne ut hvor langt det er rundt hele jorda.
Vinkler som har felles toppunkt, og som har vinkelbein i stikk motsatt retning, kalles toppvinkler. Toppvinkler er like store.
Fra oppgave vet vi at vinkelen mellom søylen i Aleksandria og solstrålen var av . Vi kaller denne vinkelen . Vi ser på figuren at og er toppvinkler, så .
I oppgave a) har du vist at vinkelen er lik . Det betyr at er lik av . Herfra kan du bruke den alternative løsningen!
er det samme som en hel runde rundt en sirkel. Da er av det samme som av runden rundt sirkelen. Vi ser på runden rundt sirkelen som omkretsen.
av omkretsen er stadion. For å finne omkretsen må vi multiplisere med :
Svar: Jordas omkrets er stadion.
Alternativ løsning
Avstanden mellom søylen i Aleksandria og brønnen i Syene er en sirkelbue som er en del av omkretsen til jorda. Lengden av en sirkelbue med vinkel , i en sirkel med radius er:
Vi skriver om formelen slik at det står er lik:
Vi dividerer med på begge sider av likhetstegnet:
Vi multipliserer begge sider med :
Vinkelen mellom de to stedene er og sirkelbuen er stadion. Vi setter inn for og for :
Radius av jorda er altså stadion. Formelen for omkretsen av en sirkel er:
Vi setter inn uttrykket for og finner omkretsen av jorda:
Mer om
Denne oppgaven er om
Omkrets
Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.
Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.
Vinkel
En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.
Toppvinkler
Når to rette linjer skjærer hverandre, dannes to par like store vinkler. Et slikt par kalles toppvinkler.
Samsvarende vinkler
To vinkler som enten har venstre vinkelben eller høyre vinkelben felles. Samsvarende vinkler behøver ikke være like store.
Eksempel: ∠a og ∠b er samsvarende vinkler, fordi de har høyre vinkelben felles.
Sirkelbue
Er en sammenhengende del av sirkellinjen.
Flere forklaringer og eksempler på toppvinkler, finner du i artikkelen Forskjellige typer vinkler, og om sirkelbue og omkrets, finner du i artikkelen Alt om sirkel.
For å øve mer, se oppgavesettet Omkrets og vinkler i Treningsleieren.
Oppgave 8 (2 poeng) Nettkode: E-4C26
Byen A ligger nord for byen B. Byene ligger langs samme lengdegrad. På et tidspunkt er det mellom en stolpe og solstrålene i byen A. På samme tid er det en vinkel på mellom en stolpe og solstrålene i byen B.
Regn ut hvor mange kilometer det er mellom byen A og byen B.
Løsningsforslag
Jeg tenker
Vi kjenner to av vinklene, og ønsker å bruke samsvarende vinkler for å finne hvor stor vinkelen mellom byene er. Vinkelen kan vi bruke for å finne avstanden .
Alle solstrålene er parallelle. Vi kaller jordas sentrum , og punktet der den midterste solstrålen treffer jordoverflaten kaller vi .
Vinkel er samsvarende vinkel med den nordligste vinkelen, . De har parallelle vinkelbein, og deler ett vinkelbein.
Vinkel er samsvarende vinkel med den sørligste vinkelen, . De har parallelle vinkelbein og deler et vinkelbein. Det betyr at .
Vi ser at vinkelen er summen av vinklene og , så
Hele sirkelen er .Vi vil finne hvor stor del av sirkelen er, så vi multipliserer med hele omkretsen:
Svar: Avstanden mellom byene A og B er .
Mer om
Denne oppgaven er om
Vinkel
En vinkel er en geometrisk figur satt sammen av to rette linjer med samme startpunkt. Vinkler måles i grader.
Samsvarende vinkler
To vinkler som enten har venstre vinkelben eller høyre vinkelben felles. Samsvarende vinkler behøver ikke være like store.
Eksempel: ∠a og ∠b er samsvarende vinkler, fordi de har høyre vinkelben felles.
Omkrets
Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.
Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.
Flere forklaringer og eksempler på omkrets og sirkelbue finner du i artikkelen Alt om sirkel.
For å øve mer, se oppgavesettet Omkrets, sirkel og vinkler i Treningsleieren.
Visste du at?
Når en linje skjærer to andre linjer og får vi mange vinkler. Dersom linjene og er parallelle (det betyr at de aldri skjærer hverandre), får vi samsvarende vinkler. Dette er vinkler som har forskjellig toppunkt, men der begge har høyre eller venstre vinkelbein langs overskjæringslinja .