www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Parenteser og rekkefølgen i en utregning

Vi bruker parenteser i matematikken. Nå skal vi se på hva de egentlig brukes til, og hvilke regler som gjelder.

Vi starter med et spørsmål: Hva er 2 ganger 2 pluss 3?

Spørsmålet kan ha to forskjellige tolkninger som gir forskjellige svar:

Tolkning 1:    Vi kan gange 2 med 2 og deretter legge til 3. Da får vi 7.

Tolkning 2:    Vi kan gange 2 med summen av 2 og 3, altså først legge sammen 2 og 3, og deretter gange med 2. Da får vi 10.

For å gjøre spørsmålet entydig, skiller vi disse to tolkningene ved hjelp av parenteser. I tillegg er det innført noen enkle regler for rekkefølger i en sammensatt utregning slik at vi ikke trenger å skrive veldig mange parenteser.

Ved hjelp av parenteser kunne vi skrive de to tolkningene over slik:

Tolkning 1:    (22)+3=4+3=7

Tolkning 2:
    2(2+3)=25=10

Parentesen betyr i begge tilfellene at det som står inne i parentesen skal regnes ut først.
Det er imidlertid laget en tilleggsregel for rekkefølgen i en utregning for å kunne begrense antall parenteser i et uttrykk:

Regel
Dersom et uttrykk med flere ledd inneholder multiplikasjon(er), skal vi alltid gange før vi begynner å legge til eller trekke fra, med mindre noe annet er gitt ved parenteser. Da må vi regne ut innholdet av parentesene først, også kjent som å løse de opp.


Dette betyr at tolkning 1 kan skrives 22+3=7.

Eksempel


Vi skal regne ut ti minus fire ganger to.
Dette uttrykket har tilsvarende som i forrige eksempel to forskjellige tolkninger.

Tolkning 1:   1042=108=2      
Vi husker fra forrige eksempel at dette er en forkortet skrivemåte for 10(42)=2, men vi sløyfer altså parentesene rundt tallene på begge sider av et gangetegn.

Tolkning 2:    (104)2=62=12
Vi regner først ut 104=6, og deretter ganger vi 6 med 2 og får 12.

Konklusjon: Hvis det ikke er skrevet parenteser, er det tolkning 1 som gjelder.


Vi nevnte tidligere fordelingsregelen, som dreide seg om en sammensatt utregning med addisjon og/eller subtraksjon og multiplikasjon. Denne regelen kan vi nå skrive kort med parenteser, slik som i eksemplet med å gange 7 med 8. Siden 7=5+2, er

78=(5+2)8=58+28

Her skal det altså tolkes som om det står parenteser om 58 og om 28. Det gjelder selvsagt på samme måte om parentesen står til sist:

78=7(5+3)=75+73

Vi formulerer fordelingsregelen slik:

Regel
Dersom vi multipliserer et tall med innholdet i en parentes, kan vi løse opp parentesen ved å multiplisere tallet med hvert av leddene inni parentesen.


Eksempel


Regn ut 4(3+4).

Vi kan enten regne ut innholdet inni parentesen, og deretter gange med 4.

4(3+4)=47=28.

Eller vi kan gange 4 med hvert av leddene inni parentesen og deretter summere.

4(3+4)=43+44=12+16=28.

At disse to framgangsmåtene gir samme resultat, er noe som vi får mye bruk for når vi skal regne med bokstaver som ukjente og variable størrelser (algebra).

Vi vil også se på tilfellet der vi multipliserer to parenteser med hverandre. Vi går da tilbake til eksemplet med 78. Hvis vi nå både erstatter 7 med 5 + 2 og 8 med 5 + 3, får vi at 78=(5+2)(5+3). Vi hadde denne illustrasjonen:

7 kolonner og 8 rader. De to kolonnene lengst til høyre og de nederste to radene er merkert.


Resultatet er at

(5+2)(5+3)=55+53+25+23

Ved vanlig tallregning er vi kanskje ikke så ofte bevisst dette, men dersom vi regner med bokstaver, er det straks svært viktig (Se kvadratsetningsavsnittene i algebrakurset).

Publisert: 05.03.2008 Endret: 17.08.2012

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Begrep

  • Ledd

    I en addisjon, slik som
    8 + 3 + 5
    kalles tallene for addisjonens ledd

  • Multiplikasjon

    Å multiplisere er det samme som å addere samme tall flere ganger. Ofte kalt "ganging". Et av tallene i multiplikasjonen forteller hvilket tall som skal adderes. Det andre tallet forteller hvor mange ganger det skal adderes.

    Regneoperasjonen 3 · 4 = 12 kalles en multiplikasjon, og sier at vi skal legge sammen tallet 3 fire ganger, eller at vi skal ta tallet 4 og addere dette med seg selv 3 ganger.

    Tallene 3 og 4 kalles faktorer, og resultatet kalles et produkt.
    Mellom faktorene skrives multiplikasjonstegn (·).

    Produktet blir det samme, uansett hvilken rekkefølge faktorene kommer i.

    Eksempel: 3 · 4 = 12 og 4 · 3 = 12

  • Multiplikasjonstegn

    Regnetegnet for multiplikasjon er · .
    Noen ganger kan du se multiplikasjonstegnet skrevet som x.

    Eksempel : 2·3 eller 2x3