www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Likningssystemer

Så langt har vi sett på likninger med bare én ukjent, nemlig x. Mange problemer vi vil løse er for sammensatte til at de kan formuleres i kun én likning med én ukjent.

La oss se på likningen 2x+1=0. For at venstre side skal være lik 0, må x=0,5. Ofte er vi interessert i å finne ut hvilke andre verdier enn null 2x+1 kan gi oss. Vi formulerer problemet ved å introdusere en variabel til, ofte kalt y. Vi setter da y=2x+1. Dermed ser vi at likningen 2x+1=0 er et spesialtilfelle av y=2x+1, nemlig det tilfellet der y=0.

På samme måte som vi har funnet ut at x=0,5 og y=0 danner et tallpar som oppfyller likningen 2x+1=0, kan vi dermed finne uendelig mange tallpar som oppfyller likningen y=2x+1. Dermed er ikke venstresiden et spesielt tall, men varierer etterhvert som x varierer. x kan nå være hva som helst og variere ettersom vi bestemmer det. Disse uendelig mange tallparene danner en linje som vi kan framstille i et koordinatsystem. La oss tegne likningen.

Grafen til y = 2x + 1. Punktene som er merkert på grafen er (1,3), (2,5) og (3,7).



Når vi ser på likningen i koordinatsystemet, ser vi at den gir oss en rett linje, den er lineær. Dette er grunnen til at man også kaller 1.gradslikninger for lineære likninger.
 

Regel 1
1.gradslikning = lineær likning
1.gradslikninger er på formen y=ax+b.


Vi har tidligere sagt at a og b er tall. Vi må legge til et tilleggskrav: a må være forskjellig fra 0, hvis ikke er likningen konstant. Med det menes at den ikke varierer ettersom x-verdien varierer. Det skriver vi a0. Hvis a hadde vært lik 0 ville likningen vår sett for eksempel slik ut:

y=1

Ved å sette a=0 mister vi x-leddet. Det betyr at y=1 uavhengig av hvilken verdi x har. I koordinatsystemet ser dette slik ut:

Grafen til y = 1. En horisontal strek som går gjennom 1 på y - aksen.



Av den første figuren over kan vi lære mye om 1.gradslikningen. I tillegg til Regel 1 har vi at:

 

Regel 2
Tallet a representerer er stigningstallet til linja.
Når stigningstallet er negativt synker linjen når vi beveger oss mot høyre langs x-aksen. Når stigningstallet er positivt vokser linjen når vi beveger oss mot høyre langs x-aksen.



I vårt eksempel er stigningstallet a=2. Det betyr at når vi går et steg til høyre langs x-aksen, så stiger grafen 2 hakk oppover på y-aksen. Dette kan du sjekke at stemmer ved å bruke figur 1 over.

 

Regel 3
Tallet b representerer forteller hvor linjen krysser y-aksen.



I vårt eksempel er b=1. Det betyr at linjen (grafen) krysser y-aksen når y=1. Dette stemmer godt med både figur 1 og figur 2.

Dersom vi har to ukjente, må vi ha to likninger (et likningssett eller likningssystem) for å finne løsningen. Det eneste vi oppnår ved å ha en likning med to ukjente, er å finne uendelig mange tallpar som oppfyller likningen. Disse tallparene har vi sett at danner en rett linje i koordinatsystemet. Har vi derimot to likninger med de samme to ukjente, kan vi finne en verdi for x og en verdi for y som passer i begge likningene i likningssettet. Finner vi en slik løsning sier vi at den er entydig.

 

Setning

For å ha mulighet til å få en ENTYDIG LØSNING på likningssettet, må vi ha like mange likninger som ukjente.



For eksempel vil ikke y=3x+45 ha entydig løsning. For hver x vi velger får vi en ny y-verdi.

 

Eksempel

Vi starter med et eksempel som vi bruker som utgangspunkt når vi skal se på hvordan likningssett løses:

y=6x+120(1)y=3x+150(2)

(Tallene i parentes er en nummerering av likningene som er til hjelp når likningssettet skal løses.)

Begge disse likningene er lineære siden de ukjente, x og y, bare finnes i 1. potens. Vi sier at vi har et lineært system med to ukjente.

Vi skal se på fire måter å løse et slikt system på.

Metoder:

   I) Substitusjonsmetoden (innsettingsmetoden).

   II) Grafisk løsning.

   III) Eliminasjonsmetoden.

   IIII) Prøve- og feile-metoden.

Publisert: 27.02.2008

Institusjon

matematikk.org

Begrep

  • Akse

    Linje eller linjestykke knyttet til symmetri i geometriske figurer, eller en av linjene som spenner ut et koordinatsystem.

  • Koordinatsystem

    Et koordinatsystem i planet består av to akser, x-aksen og y-aksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. x-aksen er horisontal og y-aksen er vertikal. Punktet der aksene krysser kalles for origo. Koordinatsystemet gir oss muligheten til å presentere punkter i planet i form av to tallverdier (x,y). Origo har koordinatene (0,0).

  • Likning

    En likning er et åpent utsagn der det inngår en ukjent størrelse. Den ukjente skriver vi ofte som x.
    x + 8 = 17

    er en likning.

  • Likningssystem

    Et likningssystem er to eller flere likninger som inneholder to eller flere ukjente.

  • Linje

    I den euklidiske geometrien er det en udefinert størrelse som er et uttrykk for forestillingen om en rett vei med ubegrenset utstrekning i begge retninger. I ikke-euklidisk geometri er linjebegrepet generalisert og disse innskrenkningene er fjernet.

  • Lineære likninger

    Likninger der alle de ukjente opptrer i første grad.

  • Negative tall

    Tall som er mindre enn null, kalles negative tall. Vi viser at tallet er negativt ved å sette - foran tallet.

  • Positive tall

    Tall som er større enn null kalles positive tall.

  • Stigningstall

    Stigningstall

    Stigningstallet forteller hvor mye grafen stiger eller synker når vi øker med en enhet på x-aksen. På figuren øker vi med 1 enhet på x-aksen, a1 = 1. Dette gjør utslag i at vi øker med to enheter på y-aksen; a2 = 4 - 2 = 2. Dermed er stigningstallet = 2/1 = 2.

  • Tallpar

    Et tallpar skrives slik: (5,3)
    Tallparet beskriver plasseringen av et punkt i et koordinatsystem

  • Variabel

    En bokstavbetegnelse på et vilkårlig element i en mengde. Det motsatte er en konstant. I uttrykket y = 10x er 10 en konstant og x en variabel. y er en annen variabel, avhengig av x.

  • Ukjent

    En likning er et åpent utsagn der det inngår en ukjent størrelse. Den ukjente skriver vi ofte som x.
    x + 8 = 17 er en likning der x er den ukjente.

  • x-akse

    x-akse

    Den horisontale aksen i et koordinatsystem. Kalles også førsteakse.

  • y-akse

    y-akse

    Den loddrette aksen i et koordinatsystem. Kalles også andreaksen.