www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Å løse 2.gradslikninger

Vi ser nærmere på de forskjellige løsningsmåtene for de 4 generelle utgavene av 2.gradslikninger.

 

Utgave 1: ax2=0

Når både b og c er null får vi en likning på formen ax2=0. Prøver vi å løse denne likningen, ser vi fort at å sette x=0 er den eneste måten å få null også på venstresiden av likhetstegnet. x=0 er derfor eneste løsning på denne utgaven av 2.gradslikningen.

 

Utgave 2: ax2+c=0

Når b=0 er ax2=c, som gir at x2=ca. Dermed kan denne utgaven av 2.gradslikningen gi oss to relle løsninger på formen

x=±ca.

Dersom a>0 og c>0 får vi ingen reelle løsninger på grunn av at tallet under rottegnet er negativt. I stedet får vi det vi kaller komplekse løsninger. Hvis c<0 og a fremdeles er positiv får vi derimot et positivt tall under rottegnet. Da får vi to reelle løsninger.
Det motsatte blir tilfellet om a<0, da må c være positiv for at vi skal ha løsninger.

 

Utgave 3: ax2+bx=0

Når c=0 har alle ledd i likningen x i seg. x-en kan vi faktorisere ut:

ax2+bx=x(ax+b)=0

Likningen har to løsninger, nemlig x=0 eller x=ba.

 

Utgave 4: ax2+bx+c=0

Det er mange måter å løse denne 2.gradslikningen på. I dag bruker de fleste kalkulator. Kalkulatoren finner løsningene sine ved hjelp av følgende formel:

x=b±b24ac2a
Vi skal ikke utlede denne formelen her. Vi nøyer oss med å se på et eksempel for hvordan den brukes.

 

Eksempel

Si at vi har likningen x2+10x24=0. Her er a=1,b=10 og c=24. Vi setter disse verdiene inn i formelen:

x=10±10241(24)21
Dette gir at

x=10±100+962 som igjen gir at

x=10±142

Dermed er x=10+142 eller x=10142.

Dette gir verdiene x=2 eller x=12.

Dette betyr at denne 2.gradslikningen har to reelle løsninger. Setter vi inn 2 for x i x2+10x24 får vi 0. Tilsvarende skjer hvis vi setter inn -12 for x. Dermed har vi løsningene.

 

Regel
Får vi null under rottegnet, har likningen kun én reell løsning, nemlig x=b2a.
Får vi negativt tall under rottegnet, har likningen ingen reell løsning.
Publisert: 27.02.2008

Institusjon

matematikk.org

Begrep

  • Andregradsuttrykk

    Et uttrykk på formen ax2+bx+c, hvor x er den størrelsen som varierer, og a,b og c er konstante tall.

  • Faktor

    Når tall multipliseres, kalles tallene faktorer. Resultatet kalles et produkt. Eksempel: 5 · 3 = 15. 5 og 3 er faktorer. Tallet 15 er produktet, og vi kan si at produktet består av faktorene 5 og 3.

  • Faktorisering

    Faktorisering går ut på å skrive tall som produkt av primtall. Alle tall større enn 1 kan skrives entydig som produktet av primtall. Eksempelvis kan tallet 36 skrives som 1 · 2 · 2 · 3 · 3.

  • Formel

    En formel er en matematisk måte å beskrive sammenhenger. Vi bruker bokstaver som representanter for verdiene som er med.

  • Komplekse tall

    Komplekse tall er en utvidelse av de reelle tall. De er satt sammen av en realdel og en imaginærdel. Tallene kan fremstilles i et tallplan hvor førsteaksen er de reelle tallene og andreaksen de imaginære tallene. Den imaginære enheten er i=1. Et komplekst tall angis ofte på formen a + ib, hvor a og b er reelle tall.

  • Likning

    En likning er et åpent utsagn der det inngår en ukjent størrelse. Den ukjente skriver vi ofte som x.
    x + 8 = 17

    er en likning.

  • Negative tall

    Tall som er mindre enn null, kalles negative tall. Vi viser at tallet er negativt ved å sette - foran tallet.

  • Reelle tall

    Et tall som enten er rasjonalt eller er grenseverdi for en følge av rasjonale tall. Mengden av reelle tall er ℝ.