www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Å fullføre kvadratet

Hva er et fullstendig kvadrat? Hva betyr det å fullføre kvadratet?

Hva er et fullstendig kvadrat?

Et andregradsutrykk er et fullstendig kvadrat hvis det kan skrives på formen x+d2 for et eller annet tall d.

Eksempel 1

Ved å bruke

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning sier at

 (a+b)2=a2+2ab+b2.

første kvadratsetning
finner vi ut at 

x2+6x+9=x+32

x2+6x+9 et fullstendig kvadrat.

Regel 1:

Et utrykk x2+bx+c er et fullstendig kvadrat hvis og bare hvis c=b22 og da er

x2+bx+c=x+b22

Bevis

For at et utrykk x2+bx+c skal kunne skrives som x+d2 , må

x2+bx+c=x2+2dx+d2

fordi x+d2=x2+2dx+d2 ved første kvadratsetning.

Men da må tallene foran x være like og konstantleddene (d2 og c) være like:

2d=b som gir d=b2 og

c=d2 som igjen blir c=b22.

 

Eksempel 2

Er x2+6x+9 et fullstendig kvadrat?

Vi bruker regel 1. Her er b=6 og c=9, og vi må sjekke om b=c22.

Vi setter inn for b og c, og får

9=622 

som stemmer. Vi har et fullstendig kvadrat:

x+622=x+32.

 

Eksempel 3

Er x2+3x-1 et fullstendig kvadrat?

Vi bruker regel 1. Her er b=3 og c=-1, og vi må sjekke om c=b22.

Vi setter inn for  og , og får

-1322=94

som viser at vi ikke har et fullstendig kvadrat.

 

Å fullføre kvadratet

Vi vil nå ha en metode for å skrive om utrykket x2+bx+c slik at det likner mest mulig på et fullstendig kvadrat, altså få et utrykk ax2+bx+c på formen 2+r der r er en konstant. Vi skal her se på en spesialvariant der konstantleddet c  er null. 

Regel 2:

La b være et reelt tall. Da er

x2+bx=x+b22-b22.

Bevis

x2+bx=x2+2b2x

Vi legger så til og trekker fra b22 (som til sammen blir null og ikke endrer verdien til utrykket),

=x2+2b2x+b22-b22

tilslutt bruker vi

Første kvadratsetning

Første kvadratsetning sier at

 (a+b)2=a2+2ab+b2.

første kvadratsetning
x2+2b2x+b22=x+b22 og får:

=x+b22-b22.

Nå har vi bevist regelen over.

 

Eksempel 4

For å fullføre kvadratet i utrykket x2+6x bruker vi regel 2 direkte:

x2+6x=x+62x2-62=x+32-3.

 

Eksempel 5

For å fullføre kvadratet i utrykket 2x2+6x legger vi merke til at det i utrykket står 2x2 istedet for bare x2 slik det er i regel 2. Derfor begynner vi med å faktorisere (trekke ut 2):

2x2+6x=2x2+3x

Vi bruker regel 2 på uttrykket i parentesen:

x2+3x=x2+232x=x+322-322

Vi går tilbake til det faktoriserte uttrykket og erstatter innholdet i parentesen:

2x2+3x=2x+322-322=2x+322-294=2x+322-92.

 

Eksempel 6

For å fullføre kvadratet i utrykket x2-10x-20 bruker vi regel 2 på første del av utrykket og lar konstanten -20 stå:

x2-10x-20=x2-25x-20=x-52-52-20 

nå har vi bare igjen å legge sammen konstantene: x-52-45.

Publisert: 26.06.2014 Endret: 16.08.2016