www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Regneregler for kvadratrøtter

Hvordan kan vi raskt, uten å bruke kalkulator, finne kvadratroten til et stort tall? Hvordan kan vi omforme utrykk med kvadratrot?

 

Kvadrattall

Et helt tall som er lik med kvadratet (andre potens) av et annet helt tall.
F.eks. er 9 et kvadrattall fordi 32=9.

Kvadrattallene
er de tallene vi får som svar når vi multipliserer et naturlig tall med seg selv. Vi sier at vi kvadrere et naturlig tall. De ti første, laveste kvadrattallene større enn 0 er 1,4,9,16,25,36,49,64,81 og 100.

Det å kvadrere tall og å trekke ut kvadratrot av tall er motsatte talloperasjoner på de naturlige tallene. Derfor kan vi, når vi skal finne kvadratroten, først finne primtallsfaktoriseringen av tallet og se om vi kan bruke den. Vi ser på noen eksempler.

Eksempel 1.

Vi starter med tallet 7. Vi kvadrerer tallet og får

72=77=49.

Kvadratroten er 49=7.
Men hvis vi starter med et negativt tall, blir det annerledes. Vi vet at

(7)2=49.

Men ved å ta kvadratroten av 49 kommer vi ikke tilbake til 7.

Kan vi gjøre noe lurt når vi skal finne kvadratroten til et stort tall, for eksempel 324? Først ser vi på et eksempel med et mindre tall.

Eksempel 2.


Regn ut 36.
Hvis vi er heldige husker vi at 36=6. Men la oss nå primfaktorisere 36:

36=2233=2232
Vi vet også at

2232=49=36

2=4

3=9
Da må vi ha

49=49

 

Regel
Kvadratroten av et produkt av to positive tall a og b er lik produktet av kvadratrøttene av hvert tall: ab=ab


For å forklare hvorfor det må være slik, går vi tilbake til definisjonen av kvadratrot. Siden alle kvadratrøtter er større enn eller lik null, er a0 og b0 . Men da er også ab0 , siden produktet av to positive tall er et positivt tall. I tillegg er, og det er det avgjørende:

(ab)2=abab=aabb=ab.

 

Eksempel 3.

Nå kan vi finne kvadratroten til 324. Vi faktoriserer og finner at

 324=481=2292. Og da er

324=2292=29=18.

Eksempel 4.


Regn ut 4981.

Vi ser at:

4981=7292=(79)2=79.

I beregningene brukte vi potensregelen: (ab)n=anbn.

Vi legger merke til at vi også har

4981=79.

Regel
Kvadratroten av en brøk av to positive tall a og b er lik kvadratroten av teller delt på kvadratroten av nevner: ab=ab.


Vi ser direkte ved kvadrering at dette stemmer, fordi ifølge reglene for regning med potenser av en brøk har vi at

(ab)2=(a)2(b)2=ab.

Reglene over kan brukes til å forenkle uttrykk som inneholder kvadratrøtter. Når vi skal gjøre det, lønner det seg å finne de største kvadrattallene som kan faktoriseres ut av tallene under rottegnene.

 

Eksempel 5.


Regn ut: 162+508.

Vi faktoriserer ut kvadrattall:

162+508=812+25242=922+522222

Siden vi kan dele opp faktorer når vi regner med kvadratrøtter, får vi:

 922+522222=922+522222=92+5222 

Videre har vi at

 92+5222=(9+5)222=14222=142=7 

 

Eksempel 4


Vi vil forenkle 175+772.

Vi bruker samme framgangsmåte som i forrige eksempel:

175+772=257+7362=57+762=6762=72

Til slutt kunne vi, om vi ønsket det, erstattet 72 med 72 eller med 3,5 .

Det er viktig å merke seg at selv om vi har regler for kvadratrøtter av produkt og kvotient, finnes ingen tilsvarende regel for kvadratrota av en sum a+b eller av en differens ab.

Vanlige feiloppfatninger er for eksempel å tro at a+b er det samme som a+b , eller at x2+y2 er det samme som x+y . At dette er feil kan vi se ved å kvadrere begge uttrykkene:

x2+y22=x2+y2 mens (x+y)2=x2+2xy+y2.
Vi kan også overbevise oss ved å prøve med talleksempler. Sett for eksempel

a=6,b=9 og sammenlikn a+b med a+b
a=25,b=9 og sammenlikn ab med ab
eller

x=4,y=3 og sammenlikn x2+y2 med x+y
x=5,y=3 og sammenlikn x2y2 med

Publisert: 14.08.2013 Endret: 16.08.2016

Begrep

  • Naturlige tall

    Tallene 0,1,2,3,... De naturlige tallene danner grunnlag for alle andre vanlige tall (hele tall, rasjonale tall, reelle tall, komplekse tall) ved at disse kan konstrueres ut fra de naturlige tallene ved matematiske prosesser. Mengden av naturlige tall er ℕ.

  • Kvadrattall

    Et helt tall som er lik med kvadratet (andre potens) av et annet helt tall.
    F.eks. er 9 et kvadrattall fordi 32=9.

  • Kvadratrot

    Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er altså +4. Det skrives 16=4.

    Generelt: Kvadratroten av et positivt tall T er det positive tallet k som multiplisert med seg selv gir T.

    OBS.
    - En kan ikke trekke roten av et negativt tall.
    - Roten er alltid positiv

  • Primtall

    Et positivt helt tall p som ikke inneholder andre faktorer enn 1 og p. (For eksempel 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19...). Det eneste like primtall er 2. Euklid leverte det første kjente bevis for at det er uendelig mange primtal.

  • Faktorisering

    Faktorisering går ut på å skrive tall som produkt av primtall. Alle tall større enn 1 kan skrives entydig som produktet av primtall. Eksempelvis kan tallet 36 skrives som 1 · 2 · 2 · 3 · 3.

  • Produkt

    Produktet er et resultat av en multiplikasjon.

    Eksempel : 2·7=14

    14 er produktet, mens 2 og 7 kalles faktorer.