www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Alt om sirkel

Tallet π har vært kjent for mennesket så langt tilbake som til da det ble bygget pyramider i Egypt.

Sirkel

En sirkel deler planet i to områder, akkurat som mangekantene gjør det: en indre sirkelflate og et ytre område. Noen ganger mener vi sirkelflaten når vi sier sirkel. For eksempel er det helt vanlig å snakke om arealet til en sirkel. Selve kurven som danner sirkelen, kalles da periferien.

La oss se på noen viktige begreper.

a    Et linjestykke fra sentrum til et punkt på en sirkel kalles en radius.
b    To radier sammen med sirkelbuen mellom dem, begrenser en sektor.
c    Ei linje som skjærer sirkelen i to punkter, kalles en sekant.
d    En korde er et linjestykke mellom to punkter på sirkelen. En korde som går gjennom
      sentrum, er en diameter.
e    Ei linje som bare berører sirkelen i ett punkt, kalles en tangent til sirkelen.

Tangent, radius, diameter, sekant og korde.

Vi legger merke til to egenskaper ved sirkelen:
−    Enhver linje gjennom sentrum deler sirkelen i to like deler, halvsirkler.
−    Hvis punktene A og B ligger på en sirkel, og O er sentrum i denne sirkelen, så bestemmer punktene en trekant AOB som er likebeint.

 

Tallet π

Alle sirkler har samme form. Det betyr at forholdet mellom omkrets og diameter er det samme for alle sirkler. Dette forholdet har fått et spesielt symbol, den greske bokstaven π (leses pi).

π  er det tallet vi får til svar hvis vi måler omkretsen på en sirkel og dividerer denne på diameteren til sirkelen.

Hvis vi gjør målinger på sirkler og finner ut hvor stort tallet π er, vil vi få et svar litt i overkant av 3. I virkeligheten kan vi ikke skrive tallet helt eksakt som et desimaltall, men gode tilnærminger til π er 3,14 og 227=317.

 

Omkrets og areal av en sirkel

Forholdet mellom omkrets og diameter i sirkler er konstant, og lik tallet π. Siden diameteren er dobbelt så stor som radien, er forholdet mellom omkretsen og radien lik 2π. Vi har altså at

O=2πr

For å beregne arealet til ei sirkelflate, deler vi sirkelflaten inn i mange like store sektorer, klipper disse ut og plasserer dem ved siden av hverandre slik:

En sirkel delt i 12 like store deler (sektorer) og deretter

Hvis vi gjør disse sektorene svært smale, ser vi at sirkelens areal vil bli det samme som arealet til et parallellogram. Mer presist er det grensetilfellet ved uendelig mange, uendelig smale sektorer, et rektangel med lengde a lik halvparten av sirkelens omkrets, og bredde b lik sirkelradien.

Mange sektorer danner et rektangel med lengde a og bredde b.

Det betyr at vi får sirkelens areal

A=ab=2πr2r=πr2

Resultat er at formelen for arealet til en sirkel med radius r blir:

 A=πr2

 En sirkel med radius r.

Eksempel 1.

En sirkel har radius 4 dm. Regn ut omkrets og areal.

Vi setter inn i formlene og får:

O=2πr23,144 dm25 dm

A=πr23,1444 dm250 dm2 

 

Sirkelsektor

Noen ganger kan det være bruk for å beregne arealet av en sirkelsektor.

En sirkelsektor med vinkel v, radius r og sirkelbuen b.

Hele sirkelbuen er 360ο. Hvis en sektor spenner over en bue med gradtall v, betyr det at vinkelen som dannes av de to radiene er lik v. Arealet av sektoren er like stor del av hele sirkelens areal som buen er av hele sirkelens omkrets.

A=v360οπr2

Brøken v360ο angir hvor stor del av sirkelen sirkelsektoren utgjør. En sektor med buelengde på én grad har dermed et areal som er lik πr2360ο. Vinkelen v angir hvor mange slike deler sirkelsektoren består av. På figuren har vi kalt buelengden for b. Hvis vi kjenner b, kan vi finne arealet av sirkelsektoren ved hjelp av den. Hele omkretsen har jo en lengde på 2πr, og arealet til sektoren blir

A=b2πrπr2=br2

Legg merke til at formelen likner formelen for arealet av en trekant med grunnlinje b og høyde r.

Publisert: 11.08.2013 Endret: 17.08.2016

Begrep

  • Areal

    Mål for hvor stor flate en figur dekker. Noen måleenheter for areal er m2, cm2 og dm2.

  • Diameter

    Diameter

    I en sirkel er dette en rett linje som forbinder to punkter på sirkelbuen og som samtidig går gjennom sentrum.

    Lengden av en diameter, d, er lik to radier, r (d=2r).

  • Korde

    Et rett linjestykke som forbinder to punkter på en kurve eller en flate.

  • Linje

    I den euklidiske geometrien er det en udefinert størrelse som er et uttrykk for forestillingen om en rett vei med ubegrenset utstrekning i begge retninger. I ikke-euklidisk geometri er linjebegrepet generalisert og disse innskrenkningene er fjernet.

  • Linjestykke

    Et linjestykke er en sammenhengende bit av en linje, avgrenset av to endepunkter. Navnet på et linjestykke er vanligvis gitt ved de to endepunktene: AB, CD, ...

  • Omkrets

    Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene.

    Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter.

  • Pi (π)

    π er forholdet mellom sirkelens omkrets og diameter. Dette forholdet er alltid konstant og tilnærmet lik 3,14.

  • Punkt

    I geometrien tegnes punkt som en prikk eller et kryss. Den knyttes til en fast posisjon og har ingen utstrekning. Et punkt har en stor bokstav som navn, for eksempel A, B.

  • Radius

    Radius

    Radius er en linje fra sentrum av en sirkel eller kule og ut til sirkellinja eller kulens overflate. Radiens lengde er den samme, uansett hvor på sirkelen eller kulen du måler.

  • Sekant

    Sekant

    En linje som skjærer en kurve. En korde er en del av en sekant. En sekant er ikke det samme som en tangent.

  • Sirkel

    Sirkel brukes i to betydninger:
    1) Selve sirkellinjen som er den krumme linjen som går gjennom punktene som har samme avstand fra et fast punkt, nemlig senteret i sirkelen.

    2) Flaten som sirkellinjen begrenser.

    Formler (r er radius):
    Areal: A=πr2
    Omkrets: O=2πr

  • Sirkelbue

    Sirkelbue

    En sirkelbue er en sammenhengende del av sirkellinjen.

  • Sirkelsektor

    Sirkelsektor

    Det er er en del av en sirkelflate, begrenset av to radier og den mellomliggende sirkelbuen.

  • Tangent

    En tangent til en kurve i et punkt er en linje som går gjennom punktet, men bare akkurat rører kurven der.