www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Løsning av andregradslikning

Som oftest brukes abc-formelen til å løse andregradslikninger, altså likninger som inneholder leddet x2. Finnes det andre måte å løse andregradslikninger? Og forresten hvorfor kan abc-formelen brukes alltid?

en andregradslikning

En andregradslikning på denne generelle formen ser ut som

ax2+bx+c=0

Legg merke til at likningen er en førstegradslikning hvis a=0.

 

Utledning av abc-formelen 

Når en andregradslikning er på den generelle formen, bruker vi abc-formelen for å løse denne. Men abc-formelen er ikke en magisk regel som gir oss et svar. abc-formelen kan bli utledet og det er det vi skal gjøre. Ved å bruke kvadratsetningene på en smart måte kan vi komme fram til en liten formel som kan løse andregradslikninger.

Divider med a begge sider av likningen:

ax2+bx+c=0  

ax2a+bxa+ca=0

ax2+bxa+ca=0


Nå ordner vi likningen slik at vi kan bruke første kvadratsetning. Trekk ca fra begge sider av likningen. Likningen ser ut som

x2+bax=ca

Ta en titt på første kvadratsetning på formen

x2+2tx+t2=(x+t)2

Tenk på ba som 2t eller t=b2a. Legger vi til leddet t2=b24a2 på begge sider i likningen, er venstresiden et fullstendig kvadrat:

x2+2b2ax+b24a2=b24a2ca

Uttrykket til venstre for likhetstegnet skrives om til

x2+2b2ax+b24a2=(x+b2a)2      

Uttrykket til høyre for likhetstegnet settes på en felles brøkstrek,

b24a2ca=b24ac4a2 

Hele likningen ser nå ut som

(x+b2a)2=b24ac4a2

Vi tar kvadratroten på begge sider av likhetstegnet:
 
x=b2a±b24ac4a2=±b24ac2a      

Merk at vi må ta med både det positive og negative uttrykket og derfor står det pluss-minus like etter det siste likhetstegnet. Trekk b2a fra begge sider av likningen, og vi er i mål:

x=b2a±b24ac2a=b±b24ac2a

Vi har altså funnet at x kan ha maksimalt to løsninger, og de er gitt ved formelen:


x=b±b24ac2a

Dersom uttrykket under rottegnet blir negativt, har likningen ingen reelle tall som løsning.

formelen for løsning av andregradslikninger

 abc-formelen ser ut følgende uttrykk

x=b±b24ac2a

 

Eksempel

Nå skal vi først bruke metoden i utledningen, for deretter å bruke abc-formelen direkte.

Vi skal løse likningen 2x2+5x3=0.

Likningen skrives om til

x2+52x=32

Legg til halvparten av 52 opphøyd i annen potens på begge sider av likningen. Dette gir oss et fullstendig kvadrat på venstresiden:

x2+254x+(54)2=32+(54)2

Vi skriver det om til

(x+54)2=24+2516

Vi tar kvadratroten på begge siden av likningen:

x+54=±4916=±74

Dette gir to løsninger

x=54+74=12 

 x=5474=3 

Likningen har altså to løsninger: x lik en halv og x lik -3.

 

Finne løsning ved å bruke abc-formelen

Nå så vi hvordan vi kan finne løsningen ved å bruke samme metode for utledningen av abc-formelen. Men siden vi allerede har abc-formelen, la oss bruke denne.

Andregradslikningen vår er på formen ax2+bx+c=0 der a=2,b=5 og c=3. Vi setter inn for a, b og c i formelen x=b±b24ac2a:

 x=5±5242(3)22=5±25+244=5±494=5±74 

Vi får også her to løsninger:

x=5+74=12

x=574=3


Vi har altså to metoder, og vi står fritt til å velge hvilken vi vil bruke når vi skal løse en andregradslikning.

Publisert: 17.07.2013 Endret: 26.11.2015

Begrep

  • Andregradsuttrykk

    Et uttrykk på formen ax2+bx+c, hvor x er den størrelsen som varierer, og a,b og c er konstante tall.

  • Faktorisering

    Faktorisering går ut på å skrive tall som produkt av primtall. Alle tall større enn 1 kan skrives entydig som produktet av primtall. Eksempelvis kan tallet 36 skrives som 1 · 2 · 2 · 3 · 3.

  • Kvadratrot

    Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er altså +4. Det skrives 16=4.

    Generelt: Kvadratroten av et positivt tall T er det positive tallet k som multiplisert med seg selv gir T.

    OBS.
    - En kan ikke trekke roten av et negativt tall.
    - Roten er alltid positiv

  • Likhetstegn

    Likhetstegnet = forteller at det som står til venstre for likhetstegnet er akkurat like stort som det som står til høyre.

  • Likning

    En likning er et åpent utsagn der det inngår en ukjent størrelse. Den ukjente skriver vi ofte som x.
    x + 8 = 17

    er en likning.