www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Konjugatsetningen

En regel som hjelper oss å forkorte brøker, forenkle utrykk, og å løse likninger heter konjugatsetningen eller den tredje kvadratsetninge.

Konjugatsetningen kan likne på en kombinasjon av første og andre kvadratsetning. Den tar for seg produktet (a+b)(ab). La oss regne ut dette uttrykket:

(a+b)(ab)=a2+a(b)+ab+b(b)=a2ab+abb2=a2b2

Vi vet altså at 

(a+b)(ab)=a2b2.    

Dette kalles konjugatsetningen. Nå skal vi se på et eksempel med tall.

Eksempel.

La a=2 og b=4. Vi setter inn for a og b i (a+b)(ab):

(a+b)(ab)=(2+(4))(2(4))=(2)(2+4)=(2)6=12

Nå setter vi inn for a og b i a2b2:

a2b2=22(4)2=416=12

Vi ser at svaret er det samme!

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

Vi velger at a>b>0. Vi ønsker vi å finne aralet til et rektangel med sidelengder a+b og ab.

La oss først tegne et rektangel med lengde a og bredde a+b . Hvis vi deler dette rektangelet, ser vi at vi har det blå rektangelet har høyden lik a+b og bredden lik ab. Nå skal vi finne arealet til det blå rektangelet på to ulike måter.

Arealet til et rektangel er produktet av høyden og bredden, (a+b)(ab).

Et rektangel med sidelengde a+b og a. Rektangelet er delt inn i et kvadrat med sidelengde b, et rektangel med sidelengde a og b og et med sidelengde a+b og a-b og et rektangel med sidelengde a-b og b.

Men vi kan også finne dette arealet ved å trekke fra arealet av hele store rektanglet det grønne og gule arealet. 

  • Arealet av hele figuren er a(a+b).
  • Arealet av det grønne rektanglet er ab.
  • Arealet av det gule kvadratet er b2.

Arealet til det blå rektangelet er

a(a+b)abb2=a2+ababb2=a2b2.

Begge fremgangsmåter er for ett og samme areal og derfor vet vi at uttrykkene vi fant er like,

(a+b)(ab)=a2b2.  Dette er jo konjugatsetningen!

Publisert: 17.07.2013 Endret: 29.09.2014