www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Andre kvadratsetning

Nå skal vi se på en regel som hjelper oss å forkorte brøker, forenkle utrykk og løse likninger.

Den andre kvadratsetningen er et uttrykk for produktet av differansen mellom to tall.

La oss se regne ut (ab)2. Husk at a(b)=(b)a=ab og (b)(b)=b2.

(ab)2=(ab)(ab)=a2abba+b2=a22ab+b2 

Utregningen gir oss at

(ab)2=a22ab+b2

Akkurat dette kalles andre kvadratsetning!   

Den andre kvadratsetningen


(ab)2=a22ab+b2

 

Eksempel

La oss se at dette stemmer når a og b er tall.

La a=5 og b=3 . Vi setter inn for a og b i (ab)2, og får:

(ab)2=(5(3))2=(5+3)2=82=64 

Vi setter inn for a og b i a22ab+b2, og ser at resultatet blir det samme:

 a22ab+b2=5225(3)+(3)2=25+215+9=64 

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

Nå skal vi finne arealet til det blå kvadratet på to ulike måter. Først kan vi se på arealet som produktet av høyden og lengden som i et kvadrat er like lange. Det blå kvadratet har sidelengder ab. Arealet til kvadratet er (ab)(ab)=(ab)2.

Et stort kvadrat med sidelengde a som kan deles i to, b og a-b. Nederst til venstre er det et kvadrat med sidelengder a-b. Ellers består det store kvadratet av et kvadrat med sidelengder b og sidelender a.

Den andre måten å finne arealet av det blå kvadratet er å først finne arealet til hele det store kvadratet og så trekke fra arealene til lilla rektangler og det røde kvadratet. Arealet av det store kvadratet er lik a2. Hvert lilla rektangel har areal lik b(ab). Det røde kvadratet har areal lik b2. Da er arealet til det blå kvadratet lik

a22b(ab)b2=a22ab+2b2b2=a22ab+b2.

Nå ser vi at vi har funnet arealet av det samme kvadratet på to ulike måter, men det er fortsatt akkurat det samme arealet. Derfor må de to uttrykkene være like,

(ab)2=a22ab+b2

Det er jo akkurat den andre kvadratsetningen!

Publisert: 17.07.2013 Endret: 26.11.2015