www.matematikk.org
Trinn 8-10Elever Trinn 8-10Lærer Trinn 8-10Foresatt

Første kvadratsetning

Her skal vi se på en regel som hjelper oss å forkorte brøker, forenkle utrykk, og å løse likninger.

Første kvadratsetning beskriver hvordan vi kan skrive summen av to tall multiplisert med seg selv.

La oss regnet ut (a+b)2.

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 

Uten mellomregningen har vi at

(a+b)2=a2+2ab+b2

Dette kalles den første kvadratsetningen.

den første kvadratsetningen


(a+b)2=a2+2ab+b2

 

Eksempel

I eksempelet nå viser vi at likheten stemmer når vi bruker tall i stedet for a og b.

La a=5 og b=3. Da er

(a+b)2=(5+(3))2=(53)2=22=4 

a2+2ab+b2=52+25(3)+(3)2=2530+9=4 

Vi får samme resultat akkurat slik første kvadratsetningen sier vi skal!

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

En grunn til å kalle dette første kvadratsetning er at for positive tall a og b, tolkes (a+b)2 som arealet av et kvadrat med sidelengde a+b. Arealet til dette kvadratet kan vi finne på to måter. Først kan vi si at arealet av kvadratet er produktet av lengden og høyden,
(a+b)(a+b)=(a+b)2.

Et kvadrat med sidelengde a+b. Kvadratet er delt i fire firkanter der to har sidelengde a og b og en har sidelengde a og en har sidelengde b.

Men vi kan også få arealet av kvadratet ved å legge sammen arealene til den røde, den gule og de to oransje firkantene.

  • Arealet av rød firkant: aa=a2.
  • Arealet av gul firkant: bb=b2
  • Arealet av hver oransje firkant: ab.

Legger vi sammen de fire arealene får vi

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

Begge uttrykkene,

(a+b)2

og

a2+2ab+b2,

står for det samme arealet og derfor er (a+b)2=a2+2ab+b2. Men dette er jo første kvadratsetning!

Publisert: 17.07.2013 Endret: 26.11.2015