Derivasjon av logaritme- og eksponentialfunksjoner

Hei.

Jeg har en elev på 15 år som tar R1 på vgs. Jeg jobber på ungdoms-trinnet.

Jeg har ikke jobbet med dette på 40 år så jeg trenger noen tips for å hjelpe ham. Han har fått to derivasjonsoppgaver:

a) Hva er den deriverte av ln 6x?
b) Hva er den deriverte av $x^3{e}^x$?

a) Hvis vi ser på uttrykket som satt sammen av to funksjoner, $g\left(h\right(x\left)\right)$ der

$g\left(x\right)=\ln \left(x\right) h\left(x\right)=6x$

kan vi bruke kjernereglen. Akkurat i dette tilfellet er det enklere å skrive om uttrykket. Av regler for logaritmer har vi at

 $\ln \left(6x\right)=\ln \left(6\right)+\ln \left(x\right)$ 

Siden vi nå har en sum, bruker vi addisjonsregelen for derivasjon og deriverer hvert ledd for seg og legger disse sammen. Siden $\ln \left(6\right)$ er en konstant, er den deriverte lik 0 og ${(\ln (x\left)\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$. Vi setter nå dette sammen slik at 

${\ln \left(6x\right)}^{\prime }={(\ln (6)+\ln (x\left)\right)}^{\prime }=0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}$ 

b) Her ser vi at vi har en funksjon som er et produkt av to faktorer. Vi bruker produktregelen for derivasjon som sier at ${\left(uv\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$  der $u$ og $v$ er funksjoner. I vårt tilfelle er

$u=x^3$

$v=e^x$

Da regner vi ut de deriverte:

$u^{\text{'}}={3x}^2$

$v^{\text{'}}=e^x$

Her har vi bare brukt formelen for derivasjon av potenser av $x$, og at ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ . Den deriverte til funksjonen er derfor lik

 ${\left(x^3{e}^x\right)}^{\prime }=3x^2{e}^x+x^3{e}^x=x^2{e}^x(3+x)$