www.matematikk.org
Trinn 5-7Elever Trinn 5-7Lærer Trinn 5-7Foresatt

Løsning av andregradslikninger

I dette avsnittet skal vi se hvor stor rolle bokstavregning spiller i løsningen av andregradslikninger, altså likninger som inneholder leddet x2.

Generelt kan vi, i likhet med for førstegradslikninger, alltid få slike likninger over på en spesiell form:

ax2+bx+c=0
Alle andregradslikninger kan skrives på denne formen ved å velge passende verdier for a, b og c. Her forutsetter vi også a0, for at det skal være en andregradslikning. Vi skal nå bruke en metode for å løse andregradslikninger. Det fører fram til en bestemt formel hvor vi til slutt bare kan sette inn aktuelle tall istedenfor parametrene a, b og c og få løsningen av enhver andregradslikning. Ideen i utledningen er å utnytte kvadratsetningene.

Vi starter med å dele på a, på begge sider av likhetstegnet:

 ax2+bx+c=0x2+bax+ca=0  

Nå vil vi ordne om på den siste likningen slik at vi kan bruke første kvadratsetning. Først subtraherer vi ca på begge sider av likhetstegnet. Da får vi likningen på formen
x2+bax=ca
Ta en titt på første kvadratsetning på formen

x2+2tx+t2=(x+t)2

Hvis vi nå tenker på ba som 2t, dvs. t=b2a ser vi at ved å addere leddet t2=b24a2 på begge sider i likningen vår, blir venstre side et fullstendig kvadrat:

x2+2b2ax+b24a2=b24a2ca

Uttrykket til venstre for likhetstegnet kan da skrives om slik:

x2+2b2ax+b24a2=(x+b2a)2      

Uttrykket til høyre for likhetstegnet setter vi gjerne på en felles brøkstrek:

b24a2ca=b24ac4a2 

Likningen har nå blitt omformet til

(x+b2a)2=b24ac4a2

Da kan vi ta kvadratroten på begge sider av likhetstegnet:
 
x=b2a±b24ac4a2=±b24ac2a      

Merk at vi må ta med begge muligheter, både pluss og minus, foran uttrykket på høyre side av likhetstegnet. Det siste som gjenstår er å trekke fra b2a på begge sider av likhetstegnet, og vi er i mål:

x=b2a±b24ac2a=b±b24ac2a

Vi har altså funnet at x kan ha maksimalt to løsninger, og de er gitt ved formelen:

x=b±b24ac2a
Dersom uttrykket under rottegnet blir negativt, har ikke likningen noe reelt tall som løsning.

 

Eksempel


La oss så se på et eksempel hvor vi først bruker metoden i utledningen. Denne metoden kalles ”fullstendig kvadrats metode”. Deretter ser vi hvordan vi også kan bruke løsningsformelen direkte.

Vi skal løse likningen 2x2+5x3=0.
Likningen kan skrives om til

x2+52x=32

Vi adderer halvparten av 52 opphøyd i 2. potens på begge sider, slik at vi på venstre side får et fullstendig kvadrat:

x2+254x+(54)2=32+(54)2

og får

(x+54)2=24+2516

dvs. x+54=±4916=±74

Dette gir de to løsningene

x=54+74=12x=5474=3

Likningen har altså to alternative løsninger: x er lik en halv, eller så er x lik -3.

 
Så ser vi hvordan vi kan finne løsningen ved den formelen vi utledet. Vi har løst problemet generelt for ax2+bx+c=0, og vi har nå i dette tilfellet a = 2, b = 5 og c = -3.
Vi setter derfor a = 2, b = 5 og c = -3 inn i formelen x=b±b24ac2a:

x=5±5242(3)22=5±25+244=5±494
Så regner vi ut de to forskjellige løsningene, for positiv og negativ rot:

x=5+74=12x=574=3

Vi har altså to metoder, og vi står fritt til å velge hvilken vi vil bruke når vi skal løse en andregradslikning.

Publisert: 28.03.2008

Skrevet av

Knut Vedeld
Rolf Venheim

Institusjon

Universitetet i Agder
Universitetet i Oslo

Tilsvarende emner behandles også i

Begrep

  • Andregradsuttrykk

    Et uttrykk på formen ax2+bx+c, hvor x er den størrelsen som varierer, og a,b og c er konstante tall.

  • Kvadratrot

    Kvadratroten av et positivt tall, for eksempel 16, er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir 16. Kvadratroten av 16 er altså +4. Det skrives 16=4.

    Generelt: Kvadratroten av et positivt tall T er det positive tallet k som multiplisert med seg selv gir T.

    OBS.
    - En kan ikke trekke roten av et negativt tall.
    - Roten er alltid positiv

  • Likhetstegn

    Likhetstegnet = forteller at det som står til venstre for likhetstegnet er akkurat like stort som det som står til høyre.

  • Subtraksjon

    Subtraksjon er operasjonen der vi har et tall og trekker fra et annet.
    Regneoperasjonen 14 - 9 = 5 kalles en subtraksjon.
    Talene 14 og 9 kalles ledd, og resultatet kalles differensen.
    Mellom leddene skrives minustegn (-).